a/a与1的争议(a≠0,a∈R）

elim

1+x+x^2+... 与 1/(1-x) 的差是多少？ 如果这个差是变数，那么现在变到哪里了？

jzkyllcjl

elim 发表于 2018-9-24 13:46
1+x+x^2+... 与 1/(1-x) 的差是多少？ 如果这个差是变数，那么现在变到哪里了？

无穷级数的前n项和序列{Sn}是无限变化着永不停止的随着变数n的变化而变化着的变数，与时间无关，可以研究其在某个n处的值，可以研究其极限。而不能提出现在变到哪里的问题。

195912

       题：若 -1<x<1 ,试求
                 (1)     (1-x^n)/(1-x) (其中 n∈N.)展开式;
                 (2)        1/(1-x)  展开式.
       解：（1）∵ -1<x<1 ,n∈N,
根据 n次方差公式
                         x^n - y^n=(x-y)[x^(n-1)+x^(n-2)y+......+xy^(n-2)+y^(n-1)]
                     ∴  (1-x^n)=(1-x)[1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)]
                     ∴  (1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)
              （2）∵ -1<x<1
根据二项式幂的展式:
                         (1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+......+[m(m-1)......(m-n+1)/n!]x^n+......    -1<x<1
                     ∴  (1-x^n)/(1-x)=1+x+x^2+x^3+......+x^(n-1)+x^n+......

       根据上述解答 (1-x^n)/(1-x) 展开式与 1/(1-x)  展开式有相似的地方,其表述的意义不同,且
                           (1-x^n)/(1-x) ≠ 1/(1-x)

195912

       题：若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 试求 lim_(n→∞) S(x) ?

jzkyllcjl

195912 发表于 2018-9-25 12:08
题：若 -1

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim_(n→∞) S(x)=1/(1-x) ..
这是很显然的问题。你为什么提这个问题？

195912

jzkyllcjl 先生：
          先生说
          “若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim_(n→∞) S(x)=1/(1-x) ..
这是很显然的问题。你为什么提这个问题？”
        "很显然" ,楼主的问题 "a/a与1的争议(a≠0,a∈R）"是一个不应该产生争议的问题,正如楼主的预期,还是引来了围观与争议.
       我们研究
              (1-x^n)/(1-x),其中(-1<x<1 )
       是讨论
             1+x+x^2+......+x^(n-1)
的有限表达式.
       我们研究
             1/(1-x),其中(-1<x<1)
      是讨论
               1+x+x^2+......+x^n+......
的无限表达式.
      先生还坚持认为
      "改写后的表达式已经给你说过多次。是 1/（1- x）=lim n→∞（1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1）."
       正确吗?
      

            

jzkyllcjl

195912 发表于 2018-9-26 04:32
jzkyllcjl 先生：
          先生说
          “若 -1

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim（n→∞）(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
的过程用到 lim（n→∞）(1-x^n)=1, 哪一点不正确？

195912

jzkyllcjl 先生：
           "很显然"
            "若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim（n→∞）(1-x^n)/(1-x)=1/(1-x) "
正确。
           同样， "很显然"
              "改写后的表达式已经给你说过多次。是 1/（1- x）=lim n→∞（1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1）."
错的离谱。

jzkyllcjl

195912 发表于 2018-9-26 10:36
jzkyllcjl 先生：
           "很显然"
            "若 -1

若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim（n→∞）(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
的过程用到 lim（n→∞）x^n)=0，与 lim（n→∞）(1-x^n)=1,最后得到
lim(n→∞) S(x)=lim（n→∞）(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ..
你说说 ： 哪一步，哪一点不正确？

195912

jzkyllcjl 先生：
         自己比较一下吧！
          “是                                     1/（1- x）=lim n→∞（1+x+x^2+x^3+...  =x^n)   -1<x<1）.”
          “若 -1<x<1 ,设 S(x)=(1-x^n)/(1-x), 则 lim(n→∞) S(x)=lim（n→∞）(1-x^n)/(1-x),=1/(1-x) ”