素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-20 10:38
素数的发生率π(x)/x 本来就是两个无穷大之比，也就是两个无穷小量（1/x)/[1/π(x)]之比。
极限基础理论 ...

      我只觉得可笑。素数趋于无穷多和素数的发生率π(x)/x →0根本不矛盾。自然数也趋近无限大，但是比起自然数的平方，x/（x^2）→0是你不能否认的，这是两回事并不矛盾。你口口声声说“1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，所以它们之比的极限limx→∞时，有π(x) /x=c,(c≠0)”，现在请你给出c的具体值，你如果拿不出来，你说的一切不过是废话而已。违反极限基础理论，自以为聪明的证明素数发生率趋于c(c≠0)恰恰是你，而且又不知道c的具体值，不过是睁着眼说瞎话，毫无逻辑可言。

愚工688

你好可笑。举的例子与论点毫无关系。
x/（x^2）→0是你不能否认的，
1/x^2是比1/x 高阶的无穷小量；1/x是比1/√x 高阶的无穷小量；
但是1/x是比1/π(x) 高阶的无穷小量吗？
谁告诉你，极限趋向不为零的常数c 就一定能够求出具体值的？
两个无穷小量的比值的极限理论告诉你的？

之所以说：1/π(x) 与1/x是同阶的无穷小量，只是比较它们与低价无穷小量1/√x的比值时，趋于0的速度差不多；
而1/π(x) 与1/x 的比值趋小的速度相对很慢。（详见24#的数据）
x=10^20,π(10^20)=2220……；      √x/π(x) ≈4.503e-9 ;     (1/√x)=1e-10；   π(x)/x ≈ .0222082;
x=10^22,π(10^22)=2014……；      √x/π(x) ≈4.964e-10;    (1/√x)=1e-11；   π(x)/x ≈ .0201467;

根据无穷小量阶的概念理论，当然1/π(x) 与1/x 属于同阶无穷小量。

愚工688

教科书上对于无穷小量的阶的概念做确切的叙述：（摘自《高等数学》教材28页，书号：13012.096）
设u,v是两个无穷小量，即lim u=0,lim v=0,
(1)若 lim u/v =0 ,这说明分子u趋于0的速度比分母v趋于0的速度要快得多，则称为u为比v高价的无穷小量，记为u=0(v);
(2)若 lim u/v =∞ ,这说明分母v趋于0的速度比分子u趋于0的速度要快得多，则称为u为比v低价的无穷小量；
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
(4)若 lim u/v =1 ,这说明分子u与分母v趋于0的速度一样，则称为u与v 是等阶的无穷小量，记作u～v。


无穷小与极限 资料（https://wenku.baidu.com/view/f4e265d476eeaeaad1f33023.html）
8、无穷小量的比较   

  设α(x),β(x)都是对应于某同一极限过程的无穷小量.      
若lim α(x)／β(x)= c ≠0, 则α(x)与β(x)是同阶无穷小.   
若 lim α(x)／β(x) =0，则 α(x)是β(x)的高阶无穷小，记为 α=ο(β);
特别 lim α(x)／β(x) = 1 ，则α(x)是β(x)是等价无穷小，记为 α~β

无穷小量的比较，都是对应于某同一极限过程的无穷小量.  

在x→∞的极限过程中：
x=10^22,π(10^22)=2014……；      √x/π(x) ≈4.964e-10;    (1/x)/(1/√x)=1e-11；趋小的速度相差无几，它们都是比(1/√x)高阶的无穷小量；
但是 π(x)/x ≈ .0201467;趋小的程度是极其有限的，两者之间不可能有阶的高低区别；

不按照无穷小量阶的概念理论，得出的两个无穷小量的极限比值，会正确吗？

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-20 22:17
你好可笑。举的例子与论点毫无关系。
x/（x^2）→0是你不能否认的，
1/x^2是比1/x 高阶的无穷小量；1/x是 ...

      1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，因为(1/x)/[1/π(x)]=π(x) /x，我已经证明了π(x) /x→0，不会因为你说不符合两个无穷小量的比值的极限理论就不成立。
      1/x与1/π(x)的比值趋小的速度比1/x与1/√x趋小的速度确实相对较慢。但是当x趋近无限大时它们两个之比都趋近0。
      我让你求极限趋向不为零的常数c是因为我知道根本就没有这样的常数c存在，所以你压根就不可能得到常数c的值。
     有些话不知说了不少遍，普通学过高中极限理论的学生都明白的道理，不知为什么学过《高等数学》教材的人却不明白，让人百思不得其解。那就祝你钻进死胡同，一条道走到黑吧。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-20 12:38
我只觉得可笑。素数趋于无穷多和素数的发生率π(x)/x →0根本不矛盾。自然数也趋近无限大，但是比 ...

可笑之极！
  1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，—— 就凭你的认为就可以了？那么还要遵守无穷小量比较阶的概念么？
在x→∞的同一极限过程中：
为什么x=10^22,π(10^22)=2014……；      √x/π(x) ≈4.964e-10;    (1/√x)=1e-11； 两个无穷小量之比都很快接近0，显示出有阶的高低现象；
而 1/x与1/π(x)之比 仅仅只是 π(x)/x ≈ .0201467;趋小的速度很慢呢？哪里有阶的高低现象？
不要说趋于无穷小接近0，哪怕是 π(x)/x ≈1e-3，也就是0.001的x值你能够计算吗？

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-25 20:55
可笑之极！
  1/x就是比1/π(x) 高阶的无穷小量，—— 就凭你的认为就可以了？那么还要遵守无穷小量比较 ...

      因为x=10^22,π(10^22)=2014……；所以1/x与1/π(x)之比 就是 π(x)/x ≈ .0201467;虽然趋小的速度很慢，但是一直无限的趋小就可以趋近0,这是毫无疑问的。
      至于π(x)/x ≈1e-3，也就是0.001的x值是x=e^1000。举个例子想让π(x)/x ≈0.00000000001时x值是x=e^100000000000。还可以一直这么下去当x=e^∞时π(x)/x=1/∞→0，也就是(1/x)/[1/π(x)]→0。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-25 14:58
因为x=10^22,π(10^22)=2014……；所以1/x与1/π(x)之比 就是 π(x)/x ≈ .0201467;虽然趋小的速度 ...

可笑之极！
在x→∞的同一极限过程中x=10^22时：
(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11接近，因此判断1/π(x) 也是比(1/√x) 高阶的无穷小量；
而 π(x)/x ≈ .0201467，就是(1/x )与[1/π(x) ]的趋于0的速度相近，不存在阶的差别，属于同阶无穷小量；

所以说，本帖子的标题“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”是没有错的！

顺便说一下：
你帖子下面的“n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”正是利用连乘式近似计算偶数的素数对低位数量的公式；
而“1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”则是也是两个无穷小量之比：
  π(1-2/p）=π[(p-2)/p] =π(1/p)/π[1/(p-2)]；
当偶数N→∞时，p→∞，
但是π(1/p)与π[1/(p-2)]同样是两个同阶的无穷小量，它们的比值趋于一个不为零的常数c ，因此任意大偶数的素对低位数量接近于“n*1/2*[1/3*3/5*5/7......(1-2/p)]”而不为零，哥猜是成立的。

而我在1楼所述的
同样依据两个无穷小量的阶的概念，来分析π(1-1/p）的极限：
  π(1-1/p）=π[(p-1)/p] =π(p-1)／π(p)；
实验证明，两个无穷小量π(1/p)与π[1/(p-1)]趋于零的速度是相似的；
实验数据摘录：
p( 2 )= 3  , 1/π(p)= .3333333 , 1/π(p-1)= .5
p( 3 )= 5  , 1/π(p)= 6.667D-02 , 1/π(p-1)= .125
p( 4 )= 7  , 1/π(p)= 9.524D-03 , 1/π(p-1)= 2.083333E-02
p( 5 )= 11  , 1/π(p)= 8.658D-04 , 1/π(p-1)= 2.083333E-03
p( 6 )= 13  , 1/π(p)= 6.660007E-05 , 1/π(p-1)= 1.736111E-04
……
p( 135 )= 761  , 1/π(p)= 1.59E-318 , 1/π(p-1)= 9.469E-318
p( 136 )= 769  , 1/π(p)= 2.07E-321 , 1/π(p-1)= 1.233E-320
p( 137 )= 773  , 1/π(p)= 0 , 1/π(p-1)= 0  
（这是电脑在中精度数值运算时做的判断同个p值时两个无穷小量同时趋于0 ）
因此它们是同阶无穷小量。
因此哪怕素数p再大， π(1-1/p）也是不为0的常数。

考察一下 p1=πp/(p-1)的值与素数p的对应关系：（p0=π(1-1/p)）—— 也就是依据筛法得出的素数出现率。

p( 1 )= 2 , p1= 2 , p0= .5
p( 2 )= 3 , p1= 3 , p0= .3333333333333333 ————开始阶段，p1与素数p同步增大；
p( 3 )= 5 , p1= 3.75 , p0= .2666666666666667
p( 4 )= 7 , p1= 4.375 , p0= .2285714285714286
p( 5 )= 11 , p1= 4.8125 , p0= .2077922077922078
p( 6 )= 13 , p1= 5.213541666666667 , p0= .1918081918081918
p( 7 )= 17 , p1= 5.539388020833334 , p0= .1805253569959452
p( 8 )= 19 , p1= 5.847131799768519 , p0= .1710240224172113
p( 9 )= 23 , p1= 6.112910517939816 , p0= .1635881953555934
p( 10 )= 29 , p1= 6.331228750723381 , p0= .1579472231019522 ----仅仅到第10个素数，p1的增大速率降低了，p1值仅仅为p值的21.8%；
p( 100 )= 541  ,  p1= 11.26762038958268 ,p0= 8.874988377532984D-02 ,
p( 1000 )= 7919  , p1= 16.00855677936198 , p0= 6.246659294666633D-02 ,
p( 10000 )= 104729  , p1= 20.59351703447172 , p0= 4.855897117166011D-02 ,
p( 100000 )= 1299709  , p1= 25.0748126240785 , p0= 3.988065693618515D-02 ,
p( 1000000 )= 15485863  , p1= 29.48664645332186 , p0= 3.391365652866394D-02 ,
p( 3000000 )= 49979687  , p1= 31.57358211303948 , p0= 3.16720477397835D-02 ,
p( 4000000 )= 67867967  , p1= 32.11845787028502 , p0= 3.113474513747165D-02 ---此时一百万个素数仅仅使得p1值增大了0.54，所谓的p1=πp/(p-1)→∞只是一个臆想！
……

大傻8888888

愚工688 发表于 2019-12-28 14:57
可笑之极！
在x→∞的同一极限过程中x=10^22时：
(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/ ...

“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11接近，因此判断1/π(x) 也是比(1/√x) 高阶的无穷小量；
而 π(x)/x ≈ .0201467，就是(1/x )与[1/π(x) ]的趋于0的速度相近，不存在阶的差别，属于同阶无穷小量。”
上面的论述纯属诡辩，[1/π(x) ]/(1/√x)≈4.964e-10; 与1/√x=1e-11的值之比已经小于1/2了，有这样的接近吗？照这个逻辑(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量，同时(1/x^2 )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量，难道可以说(1/x^2 )和(1/x )是属于同阶无穷小量吗？
还有既然是讨论问题，应该是一问一答，你的问题我都有回答。而你对我的问题不敢正面回答，反而转移话题，我按你的逻辑举例子，你喜欢反驳我，实际上你在反驳你自己。既然这样，再讨论下去也是我说东你是西，我让你赶狗你抓鸡，那就再见吧。啥时候你得出(1/x)/[1/π(x)]=c(c≠0)的值望告知，祝你成功。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-28 15:22
“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4 ...

本来我的帖子就是讲“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，
你既然认为我的观点不对，那么就应该在无穷小量比较的极限基础理论基础上进行讨论。
教科书上面说：
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
但是谁告诉你，这个不等于0的同阶的无穷小量之比值的常数a一定能够计算出来？
我们已知的自然常数e,圆周率π等都是无限不循环的不等于零的常数，难道它们的倒数必须趋于0么？

同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？
两个无穷大之比，也就是两个无穷小量之比，难道可以不按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论吗？

所以说，要按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论，而不是用自己自以为是的方法讨论两个无穷大的比的极限值。
当然你不愿意按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论问题，那是你的自由，但是在我的这个帖子中，有那么一点不符合题意。
你说对吗？

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-12-28 15:22
“(1/x )/(1/√x) =1/√x=1e-11 ,而(1/x )是已知的比(1/√x) 高阶的无穷小量；
[1/π(x) ]/(1/√x)≈4 ...

本来我的帖子就是讲“素数出现率等于零的观点不符合无穷小量比较的极限基础理论”，
你既然认为我的观点不对，那么就应该在无穷小量比较的极限基础理论基础上进行讨论。
教科书上面说：
(3)若 lim u/v =a (a≠0 ),这说明分子u与分母v趋于0的速度差不多，则称为u与v 为同阶的无穷小量；
但是谁告诉你，这个不等于0的同阶的无穷小量之比值的常数a一定能够计算出来？
我们已知的自然常数e,圆周率π等都是无限不循环的不等于零的常数，难道它们的倒数必须趋于0么？

同样，π(x)/x的比值，你证明了它们有阶的高低没有？
两个无穷大之比，也就是两个无穷小量之比，难道可以不按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论吗？

所以说，要按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论，而不是用自己自以为是的方法讨论两个无穷大的比的极限值。
当然你不愿意按照无穷小量比较的极限基础理论进行讨论问题，那是你的自由，但是在我的这个帖子中，有那么一点不符合题意。
你说对吗？