数学难题，难度相当大，解决很困难

elim

红树

注意：第四题，小圆和椭圆相切，大圆和椭圆相交，EF=AP

红树

elim 发表于 2015-6-20 07:37

这两个问题都错了吗？

elim

红树，也就是太阳不满AP=1的假设，沒关系，利用相似关系把所有量乘以AP倍就OK了。

太阳

注意：第四题，小圆和椭圆相切，大圆和椭圆相交，EF=AP

太阳

elim，这题能解决吗？

太阳

第四题，小圆和椭圆相切，大圆和椭圆相交，EF=AP，没友问题存在

太阳

第四题，小圆和椭圆相切，大圆和椭圆相交，EF=AP

elim

太阳 发表于 2015-6-19 21:06
第四题，小圆和椭圆相切，大圆和椭圆相交，EF=AP

这个题目是错的: 即使大圆与椭圆不是相切而是相交， EF=AP, 题目结论还是不成立。

不过论证较繁。大致叙述如下：

不妨设大圆半径为1. 假定题目结论成立, 则小圆半径为 1/3.  不难证明此时小圆与大圆的切点是 (1/2, (√3)/2), 小圆的中心是  (1/3, 1/√3).

此时椭圆的参数方程是  x = (1+cos t)/2,  y = (1+sin t) / 8,  由此求出小圆中心到椭圆的距离 (椭圆的点到小圆中心的距离的最小值)的数值解, 它大于 1/3.  即小圆与椭圆没有公共点！

由于小圆与椭圆非常接近 ( < 1/10000), 一般的作图总感觉两者相切. 为了论证两者不交, 作以下处理：

(1) 考虑小圆中心到椭圆上一般点的距离的平方, 它是一个关于 cos, sin 的多项式, 为了求所论距离，对其关于参变量求导，并令其为 0.

(2) 做万能变换 s = tan(t/2), 得到关于 s 的四次方程.  再由关系 cos t = (1-s^2)/(1+s^2),  sin t = 2s/(1+s^2) 得到椭圆上最靠近小圆中心的点。然后求出这个(大于 1/3)距离.

(3) 这个四次方程有根式解. 虽然精确却非常繁, 为了我们的目的，只需 取其充分精确的近似即可.

elim