[讨论]数系构造的逻辑历程

popo

下面引用由申一言在 2010/10/06 04:31pm 发表的内容：
  他是大师一级的！
  在启发大家开拓创新！

我是完全菜鸟级的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
事实上，我连数学和物理的区别在哪里
都是完全不知道的
正因为这个，我总是习惯于找数学的具象，或者说找到物理中的一般性的实质在哪里

申一言

    言简意赅道理深！
    一语惊醒梦中人，
    千变万化宇宙大，
    天圆地方是中心！

ygq的马甲

下面引用由popo在 2010/10/06 06:45pm 发表的内容：
我是完全菜鸟级的-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在  时添加 -=-=-=-=-
事实上，我连数学和物理的区别在哪里
都是完全不知道的
正因为这个，我总是习惯于找数学的具象，或者说找到物理中的一般性的实质在哪里

数学，往往是理想中的；
物理，必须是现实中的

changbaoyu

相应空间的生成法则，则公理系统能最简洁化[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 changbaoyu 在 时添加 -=-=-=-=-
：喜欢自言自语 ？？？

elimqiu

下面引用由popo在 2010/10/06 02:46pm 发表的内容：
本质上，公理系统是知识体系是方法论意义上的，而不是认识体系和认识论意义上的
公理系统的优缺点都来自这点：
公理中蕴涵的生成法则的局限性，必然带来相应知识系统的局限性
如果公理中完全蕴涵了相应空间的生成法则，则公理系统能最简洁化了统一本知识体系

这些说法很有意思。
公理系统是人们确切地表达知识，论证知识的方式。的确不提供自动产生知识的机制。
然而建立形式系统本身就是建立一种方法论和认识论。
公理系统是一种可道的道，因而不是完备的道。 但是建立一个包罗万象的完备的系统有意思吗？ 那是道不可道么。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
数系的形式表达是偶对 （Ω，{operations}）
其中Ω是对象空间，{operations} 是运算全体。
这在主贴中已经被贯彻了。所以数系是一种代数结构。概括了空间和运算。

popo

下面引用由elimqiu在 2010/10/06 01:49pm 发表的内容：
这些说法很有意思。
公理系统是人们确切地表达知识，论证知识的方式。的确不提供自动产生知识的机制。
然而建立形式系统本身就是建立一种方法论和认识论。
公理系统是一种可道的道，因而不是完备的道。 但是建立 ...

同意说数系本身就是代数结构
但这种代数结构的可操作性如何呢？
如果你认为数系本身就充分的代表了代数结构
那么代数表达和证明的一般化完成了吗？
如果这种一般化没有完成
那么是不是我们可以这么说：代数结构是没有认识清楚的
那么到底是哪里没有认识清楚呢？
另外，能否请你将代数结构展开简述一下？
还有，除了运算外，变换是什么意思？
（大家都知道变换是在证明中经常使用到的东西）
变换，以是否可变换的判定依据是什么？
再有，几何与代数的关系又是如何的？
我们知道代数和几何间的相互变换是非常常见的
而且几何在很大程度上被几何化了
这又应该如何理解呢？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
数学上一直就有一种观点：数学本身必须是可构造的
这是什么含义呢？至少有一个含义：
我们明白的代数，必须是可以构造或者是举例的，而且要找到相应的存在的对应或表现
如果达不到这一步，那么这种所谓的认识，就一定存在着巨大的盲区[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
上面有个地方打字错了，应为：
“几何在很大程度上被代数化了”[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
我个人更倾向于这样的观点：
数系本身就是代数结构，但仅是代数结构的一部分，而且是很不完善的一部分
如果说数系是完善的，那么我们应当拥有一种一般化的方法
来完全数系的一般化运算
（比如欧氏几何可以视为射影几何的特例，而射影几何又可视为拓扑的特例）
即是否可以这么说：
说一个结构完成，那么这个结构应该具备一般化的基础，而不是这个一般化的基础不清晰，事实上，好象代数的公理化进程所努力的，也是这个东西吧[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
事实上，似乎连一些最基本的概念认识都是没有完成的：
比如说边界、封闭、无限有限这些概念到底是什么样的关系，似乎都没有统一解释的
这个程度，应该是一个体系的基础，似乎不该被指为道不可道的程度吧
当然了，我也不清楚这些东西
我自己唯一能够稍微确定一些的，似乎只有两个东西：
1、存在是存在的（哈哈）
2、存在似乎更倾向于是生成的，或者说至少不倾向于是构成的
我们都知道，一个构成的系统，需要系统结构的许多部分一次成型才可能存在，而一个生成的系统，所要求的基础，就少得多了
也就是说：推断生成系统具备简洁的一般化基础（即所谓“道”），并要求人的知识系统向这个方向努力，不算非分要求吧

popo

事实上，在分析领域中算子概念的引入
不但把数作为运算的材料在运用
甚至开始把函数的生成都作为研究领域了
（也许可以理解为对于变换，或者说运算的运算的研究）
可见，仅把数系作为代数结构的主体，是相当局限的
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
其实要认识现在体系的局限
有一个非常简单直接的办法，肯定体会强烈：
大家可以跑到金融市场里去
去想想和找一找现在可有任何一种数学方法
能够比较稳定的描述金融市场
立刻的，就能明白现有数学体系的局限了[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
或者可以换一些别的方式：
不要关在所谓数学的大门里，去找任何自然现象和生活中遇到的东西
现有的数学体系，能够在多大程度上对之进行过程拟合（预测的含义，至少有一半在过程拟合上），同样立刻的
就能明白我们现在的认识体系（包括数学）究竟达到什么程度了
太有限了，有限得以至于
人类现在只能着在自己人造的房子里
当上帝，哈哈哈[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
说实话，我个人
完全不知道数学是科学的皇后
以及我们的科学体系之类的自许
到底有些什么道理

elimqiu

下面引用由popo在 2010/10/06 10:55pm 发表的内容：
同意说数系本身就是代数结构
但这种代数结构的可操作性如何呢？
如果你认为数系本身就充分的代表了代数结构
那么代数表达和证明的一般化完成了吗？

一个形式系统，有一套公理，一套原子公式，一套生成规则，一套变形规则。
从这些东西出发，原则上说这个系统的全部表达（命题，定理，...）都已经确定。
问题在于，这对认识主体：人来说有什么意义？ 这无非是说我们有了一套生成五线谱的基本语言要素和某些规则，于是所有可能的曲子都在那里了。也许吧，不过不是所有的曲子都是人能听的不是吗？ 那些人能听的也许对应于命题，好听的也许对应于定理。只是从这大堆喧嚣中你如何听出真正的歌，那是系统不能帮你做的。
注意命题未必是对的论断。一般地说只是合适公式。而定理是可以从公理和规则演绎地得到的命题。

如果这种一般化没有完成
那么是不是我们可以这么说：代数结构是没有认识清楚的
那么到底是哪里没有认识清楚呢？

如上所说，原则上的完成和认识主体对这种完成的认可没有必然关系。这是一个现实：有些人就是无法认识清楚他人已经清楚的东西。所以系统无法对此作出任何承诺。

另外，能否请你将代数结构展开简述一下？
还有，除了运算外，变换是什么意思？
（大家都知道变换是在证明中经常使用到的东西）
变换，以是否可变换的判定依据是什么？

一个代数结构就是一个代数系统在同构意义下的等价类。
例如 （Ω，{·,+}），（W，{⊙,※}） 是两个代数系统，
如果有一个从Ω到W的一一对应f,以及运算之间的一一对应，使得
   f(a·b)=f(a)⊙f(b), f(a+b)=f(a)※f(b)
则称这两个系统同构，即它们的代数构造本质上是一样的。只是存在的形式不同而已。注意这里的运算的个数未必是2，未必是二元运算...
所有同构的系统所成的集合叫作一个代数等价类。里面的任一特例都是这个等价类所确定的代数结构的代表。

再有，几何与代数的关系又是如何的？
我们知道代数和几何间的相互变换是非常常见的
而且几何在很大程度上被代数化了
这又应该如何理解呢？

这可以用同构来理解。几何点与坐标的一一对应以及几何操作与坐标运算的同态就是它们的关系。

数学上一直就有一种观点：数学本身必须是可构造的
这是什么含义呢？至少有一个含义：
我们明白的代数，必须是可以构造或者是举例的，而且要找到相应的存在的对应或表现
如果达不到这一步，那么这种所谓的认识，就一定存在着巨大的盲区

这种观点多见于搞计算，有限数学的人中。是一个有争议的见解。没有人反对构造（从已知的构造性存在有限步地搭建新的对象）。但是数学界绝大多数人接受现存的无限集合。例如认为单位圆周作为一个点集是确定的，不变的。存在的。这导致接受非有限构造的数学对象。现行数学的基础是建立在这种所谓实无穷的无穷观之上的。

changbaoyu

到底有些什么道理：很清楚！
引：但是▕建立一个包罗万象的完备的系统有意思吗？ 那是道不可道么。
好玩吗？！

popo

一个形式系统，有一套公理，一套原子公式，一套生成规则，一套变形规则
你的形式系统，首先是一套公理，公理哪里来的？经验的还是先验的
（我们知道公理或公设不用证明，而且无法在本形式系统内部证明，在系统的
推演过程中，只能作到自洽或者现出悖论（通常出现悖论的时候，原形式系统就面临重组了））
一套原子公式（能理解为原子运算或构造方式吗？）哪里来的
应该是公理中隐含或者蕴涵的吧
一套生成规则（能理解为运算所服从的基本规则或者限制吗，比如加法中的交换律）
这生成是从哪里来的？被公理所完全蕴涵吗？
一套变形规则。所谓变形或者变换的基础是不是“变换中的不变”
或者说变换需要有个基本的等价基础存在，变换才是可信的
这个变换中的不变，又是从哪里来的？
一个完备的形式系统，至少要求这四者是匹配的吧
一旦出现不相匹配的情况，那么该形式系统的完备性，肯定就完蛋了
兄弟，把你的形式系统的四个要素的含义略微推演一下
我们看到什么了？至少看到了两点：
1、基础就是假设的，或者基于经验，或者基于先验或者直觉
2、系统构建的基本匹配如何保证其是完备的，好象没有可信的依据
到头来，所谓的公理系统，是不是就类似于不撞墙不知错的体系
这种体系，是不是很脆弱，而且可知性，似乎是很弱的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
上面有些地方打字错了，改正一下：
“生成规则哪里来的”
“或者说变换需要有个基本的等价基础存在，或者更准确的说，变换需要有不变的存在，才是可信或者说可操作的”[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 popo 在 时添加 -=-=-=-=-
另外，你所说的等价，以及同构的含义到底是什么？
到底是基于什么，才能称为等价？
是基础性的等价，还是仅仅是运算中的等价（比如两个三角形面积相同，也可称为等价的）
同构是基于同源的（比如拓扑中的同源性连续变形）还是基于其他什么东西的？
这些最基本的概念，你有一般性的解释吗？