向陆教授请教，我下面的推理什么地方不合理

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/09 10:45am 第 1 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2010/10/09 02:57am 发表的内容：
设 S 是所有有限的自然数的集合. 因为 0 是有限自然数，所以 0 在 S 中。 如果 x 是 S 中的元素， 那么 x 是自然数而且有限， 那么 x 的后继 x'; = x+1 也是自然数而且有些。
根据自然数公理， S = N 即 S 　...

    楼上 elimqiu 的推理很对！
    在楼上的推理中，其实是用到了自然数的 Peano 公理。
    自然数的 Peano 公理，是由意大利数学家 Peano（皮亚诺）于 1889 年提出的，
这个公理由下列 5 条组成：
（1）1 是自然数。
（2）每一个确定的自然数 x ，都有一个确定的后继 x';=x+1 ，x'; 也是自然数。
（3）1 不是任何自然数的后继。
（4）如果自然数 x≠y ，那么它们的后继也不同，即必有 x';≠y'; 。
（5）任何一个自然数的集合，如果包含 1 、并且当它包含 x 时必包含 x'; ，那么，
这个集合必定包含所有的自然数。
    Peano 公理是现代标准数学的基础。
    正像楼上所作的那样，由 Peano 公理，很容易推出：包含在自然数集合 N 中的
“无穷大自然数”是不存在的。

awei

[color=#0000FF] 胡思乱想，呵呵!我个人认为自然数的 Peano 公理和“无穷大自然数”体系相兼容，如同机械钟表，钟表的盘面上的刻度是有限的，而时间却是无限的，因为指针可以转任意圈。
    如果把自然数和超自然数的分界点定义为0，如同12点和0点。那么“无穷大自然数”0也可以参加运算。可以得出所有自然数的和0，所有自然数的积也为0。0并不只代表无。大于12的时间如13点，我们可以认为是1点，因为钟表盘面上只有12个小时刻度。所谓的有穷自然数才能和所谓的无穷大自然数相兼容，用负整数数表示“无穷大自然数”的记数方法更容易参加运算，无穷大自然公理应不同于皮亚诺自然数公理，但是两者又并不矛盾。呵呵!

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/10/09 00:19pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2010/10/08 11:32am 发表的内容：
......
其实我在主帖中已经给出了这个逻辑需要，因为自然数集是无限集，因此经过无限次的后继，就会产生无限大自然数，因此要定义无穷大自然数。

   zhaolu48 先生的基本思想，就是下面这句话：
“因为自然数集是无限集，因此经过无限次的后继，就会产生无限大自然数，因此要定义无穷大自然数。”
    这句话问题出在哪里呢？主要出在对“无限集”的理解上。
在标准分析中，说一个集合是“无限集”，意思是说：“这个集合中的元素个数是没有上限的”。
也就是说，当这个集合中的元素个数达到 1000 个时，这个集合中必定还有第 1001 个元素，
当这个集合中的元素个数达到 10000 个时，这个集合中必定还有第 10001 个元素，
当这个集合中的元素个数达到 100000 个时，这个集合中必定还有第 100001 个元素，……
当这个集合中的元素个数达到 n 个时，这个集合中必定还有第 n+1 个元素，……
上面说到的元素个数 1000，10000，100000，… ，n ,… ,不管多么大，都是有限的自然数。
可见“无限”就是“个数没有上限”的意思，并没有“存在一个编号为无穷大的元素”的意思。
    标准分析中的说到的“无限”“无穷”，其实都是类似这样的意思。
标准分析中的“无穷大”就是“要多大就多大”的意思，并不认为真的有一个“无穷大”存在。
标准分析中的“无穷小”就是“要多小就多小”的意思，并不认为真的有一个“无穷小”存在。

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2010/10/09 10:42am 发表的内容：
    楼上 elimqiu 的推理很对！
    在楼上的推理中，其实是用到了自然数的 Peano 公理。
    自然数的 Peano 公理，是由意大利数学家 Peano（皮亚诺）于 1889 年提出的，
这个公理由下列 5 条组成：
1）1 是自然数。
（2）每一个确定的自然数 x ，都有一个确定的后继 x';=x+1 ，x'; 也是自然数。
（3）1 不是任何自然数的后继。
（4）如果自然数 x≠y ，那么它们的后继也不同，即必有 x';≠y'; 。
（5）任何一个自然数的集合，如果包含 1 、并且当它包含 x 时必包含 x'; ，那么，
这个集合必定包含所有的自然数。
...

教授先生，这五条公理中，只说任何一个自然数的后继仍是自然数，并没有说必是有限自然数。
自然数集是无限集，即有无限个互不相等的自然数，因此存在一个自然数可表示为无限个1的和，无限个1的和是定义其为有限自然数合理，还是称其为无限自然数合理。
标准分析也认为无限个1的和是无穷大，那么这个无穷大可称其为有限自然数吗？这合理吗？
有无限个互不相等的有限自然数，这是标准分析的结论吗？把这样荒谬的结论与都能就标准分析的结论，我相这只是你们强加给标准数学的。标准数学中根本不会有这样的结论。
当然这种观点是比较流行的。但流行的，并不一定是正确的。正如鲁迅说的“感冒就是流行，感冒也就是正确的吗？”

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2010/10/09 08:16pm 发表的内容：
教授先生，这五条公理中，只说任何一个自然数的后继仍是自然数，并没有说必是有限自然数。
自然数集是无限集，即有无限个互不相等的自然数，因此存在一个自然数可表示为无限个1的和，无限个1的和是定义其为有限　...

你能指出我的证明的错误？ 为什么“因此存在一个自然数可表示为无限个1的和”？

zhaolu48

下面引用由luyuanhong在 2010/10/09 00:16pm 发表的内容：
   zhaolu48 先生的基本思想，就是下面这句话：
“因为自然数集是无限集，因此经过无限次的后继，就会产生无限大自然数，因此要定义无穷大自然数。”
    这句话问题出在哪里呢？主要出在对“无限集”的理解上。 ...
在标准分析中，说一个集合是“无限集”，意思是说：“这个集合中的元素个数是没有上限的”。

这个跟帖说了半天，还是转移论题。
而这恰好说明了，自然数集里的自然数的大小是没有上限的。从而不都是有限的。

zhaolu48

陆教授始终没正面回答：
我在一楼即主帖提出的问题：我的推论是否合理。

elimqiu

其实对于标准分析，无穷是靠大于任意自然数来定义的。换句话说，有限就是不大于某自然数，进一步说就是自然数皆有限。

zhaolu48

下面引用由elimqiu在 2010/10/09 01:27pm 发表的内容：
你能指出我的证明的错误？ 为什么“因此存在一个自然数可表示为无限个1的和”？

如果有n元素的集合{1,2,3,......,n},则n为n个1的和。
那么对于有无限个自然数的集合,也就是说从1开始作无限次后继，得到的自然数难道是有限个1的和吗？