夏道行在为康托帮倒忙

数学小不点

所以，对于无限集合的探究，数学家并不比神父更高明，无穷或许是属于上帝的一种奥秘之一，人类终究无法完全了解，数学理论对于无穷的解释其实更像是一种宗教，你信仰，他就正确；你不信，他就无所谓，如此而已。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
当然，这里并不排除每个人的自然选择，人有自由意志，根据个人喜好，可以自由抉择。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/18 03:00pm 第 1 次编辑]

下面引用由zhaolu48在 2010/10/18 08:20pm 发表的内容：
elimqiu先生不感到可笑吗？自以为找到了一个很好的类比办法。
我把你的意思详细说一下：
就是把1,2,3,4,5,…,n依次放到2,4,8,16,32,…,2^n的位子上，
6,10,12,14,18,20,22,24,26,28,30,34,36,…,2^n-2的位子都空 ...

zhaolu48 的计算为什么常常忘记这里说的不是你那种“有开头就有结束”的扯蛋无穷集？ 你说2^n-n个自然数没被放置是你的丢人现眼么。
{2,4,6,...}中值为 2^n 的元（位子，或说第 2^(n-1)个元）配给{1,2,3,..} 中的元 n 有问题吗？怎么会有自然数没位子放？
神志恍惚了吧？[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
你说第一个没有位子放的自然数是几？ 说呀？ 真不知道你怎么教学的...

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2010/10/18 03:34pm 第 2 次编辑]

下面引用由数学小不点在 2010/10/18 08:53pm 发表的内容：
所以，对于无限集合的探究，数学家并不比神父更高明，无穷或许是属于上帝的一种奥秘之一，人类终究无法完全了解，数学理论对于无穷的解释其实更像是一种宗教，你信仰，他就正确；你不信，他就无所谓，如此而已。 ...

终极地说，我可以认同你的说法。不过这里的讨论立即给出‘所以’没有什么根据呀。
人们不能完全了解无穷这一点可以说已经被哥德尔证明。不过这不是说人们对无穷的了解就与理性相悖么。 具体到这里的讨论，其实还是很小儿科的。脑筋转不过来还是个人的问题么。
我们经验地生活在有限世界里，我们对无限的认识始于对有限的逻辑否定。然后我们用超越经验的灵性/理性越过‘经验王国的边界’在上帝的奥秘世界的上空屡屡探险，领略无限广袤的奥秘世界的一角，每每以高处不胜寒而难入纵深...
然而人就是介于天地之间的万物之灵么，人的使命就是没有终结地去认识大千世界..

zhaolu48

下面引用由elimqiu在 2010/10/18 02:18pm 发表的内容：
你说第一个没有位子放的自然数是几？ 说呀？ 真不知道你怎么教学的

注意：你说的最后一个偶数是2^n，从2到2^n共有2^(n-1)个偶数，也就是只有2^(n-1)位子，因此只能放2^(n-1)个自然数，并且移动后，放在你的编号为2^n的自然数是2^(n-1)，而自然数2^(n-1)+1便是第一个没有位子放的自然数。
看来你连“数数”的能力都这么差！

elimqiu

下面引用由zhaolu48在 2010/10/18 10:53pm 发表的内容：
注意：你说的最后一个偶数是2^n，从2到2^n共有2^(n-1)个偶数，也就是只有2^(n-1)位子，因此只能放2^(n-1)个自然数，并且移动后，放在你的编号为2^n的自然数是2^(n-1)，而自然数2^(n-1)+1便是第一个没有位子放的　...

我说了么。你根本就没有无穷集的理解能力。还扯什么最后？谁说有最后了？ 全体偶数的最后一个是哪个？ 扯蛋么
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
不知道为什么哪壶不开还偏要提哪壶...哈哈

数学小不点

根据就是：如果承认整体可以等于部分，则确实可以找到一种一一对应的关系来证明之；然而，如果不承认整体等于部分，也可以找到更多的不能一一对应的方式来证明之，这就隐含有某种悖论，或许只能解释为，对于无穷集合，其实已经超越了人类的认知能力，或者说：集合这个人造的概念本身有不可克服的缺陷，并不能被完全认知。比如任意线段有一样多的点，使用不同的几何关系，得到的结论全然不同，当然其中却有可以一一对应的情况存在，但同时也可得到许多的不能一一对应的情况。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
但康托尔非要选择那种可以一一对应的情况，在他的承认的定义下，开始了不平凡的无穷集合之旅。

elimqiu

下面引用由数学小不点在 2010/10/19 03:22am 发表的内容：
根据就是：如果承认整体可以等于部分，则确实可以找到一种一一对应的关系来证明之；然而，如果不承认整体等于部分，也可以找到更多的不能一一对应的方式来证明之，这就隐含有某种悖论，或许只能解释为，对于无穷集合，其实已经超越了人类的认知能力，或者说：集合这个人造的概念本身有不可克服的缺陷，并不能被完全认知。比如任意线段有一样多的点，使用不同的几何关系，得到的结论全然不同，当然其中却有可以一一对应的情况存在，但同时也可得到许多的不能一一对应的情况。

整体等于部分？这是很奇怪的说法。我不觉得任何人会接受。我们这里所说的是对等（一一对应）。这在逻辑上是不会导致悖论的。另外，我还从来没有见识过集合的比较会引起悖论。我以为关键是一个概念一旦数学地被确立，那么就不应该把非数学的意义混杂进来。基数的比较并不是几何的或有限情况的计算的感性扩充，而是逻辑的，相容于有限计数的扩充。如果没有概念上的误解，这里没有悖论。 能拿一个反例看看吗？

wangyangkee

elimqiu不是笨蛋，不愚蠢，不驴打滚，不狗屎堆逻辑，elimqiu不是白痴，elimqiu不是饭桶，不是网痞，不是下三滥，，，

数学小不点

elimqiu的提法是比较专业的，下面我简单谈谈对康托尔理论的几点不很成熟的看法。
一、按照经典泛函分析理论，Bernstein定理讲如果两个集合A与B分别等于对方的一个个子集，则A与B对等。这里对等概念是建立势理论的基础。
二、对等概念的基础是一一对应，首先康托尔提出了能够自洽的定义：设A、B是两个集合，如果存在一个A到B的一一对应，那么A与B对等，注意：一一对应又是对等概念的基础。
康托尔理论被人质疑的要害之处不在于伯恩斯坦定理，而是在于这个一一对应的定义，如果我们承认康托尔的一一对应的定义，则伯恩斯坦定理可证明成立，康托尔的理论自洽。问题在于，当时不是所有的数学家都愿意承认康托尔的这个定义合理，如Luyuanhong老师的观点，首先要承认，才会有结论。否则不然，这个定义其实隐含了（如果存在一个A到B的一一对应），只要存在一种可以一一对应的方式即可，那为什么要舍弃许多的其他的其实不能做到一一对应的方式呢？这只能是一个人为的规定或称作定义，如果我们采取针锋相对的定义：设A、B是两个集合，如果存在一个A到B的非一一对应，那么A与B不对等，再次请注意：一一对应又是对等概念的基础，只要我们不承认康托尔的有选择性的一一对应的定义，那康托尔的理论就无从谈起。不过，既然现在大家并未找到比康托尔理论更好的理论，那我们就只好先使用他的理论，说到底，数学必须从公理和定义做起，而定义与公理的选择，未必能说服所有的人。
具体到Bernstein定理的证明：两个集合A、B的关系，经典的教材从四种可能入手，1、A＜B;2、B＜A;3、A=B;4、A、B关系无法判定，对于第四种情况，至今也无法证明，第四种情况一定不出现，或举例证明一定出现，1908年Zermelo(策梅洛）提出了选取公理，如果我们承认这个公理，那就能保证第四种情况不出现，从而任意两个集合可以比较势的大小，当然我们还必须承认康托尔的关于只要存在一种一一对应的定义（那为什么不谈还存在不能一一对应的情况呢？），否则也无从谈起，不知elimqiu的看法如何？比如，偶数一一对应于自身，奇数剩余，所以我们说：偶数与自然数的数量不等，前提是我们要否定康托尔的一一对应的定义，而不是要否定伯恩斯坦定理，只要承认了康托尔的有关定义，则这个定理成为了逻辑之必然，那时，就无法反对了，是不是这样，elimqiu老师？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 在 时添加 -=-=-=-=-
所以，贝克莱主教当时批评数学家，包括牛顿与莱布尼兹，他们都无言以对，数学家的理论并不比神学更令人信服，最终要取决于自身的内在的信仰，真理就在你的心中，而不是纸上的定义，希尔伯特的形式主义注定不会成功，数学的发展更加依靠直觉、洞察力和实际世界的需要，只要有实用的价值，最终可以找到可接受的逻辑，但逻辑也只能使正确的东西看起来更有条理，逻辑也不能代表真理。

申一言

   在《中华单位论》面前康托的集合论休矣！
   希尔伯特的证明论---元数学兴亦！！