[求助]请luyuanhong和elimqiu二位老师审查：这是不是对角线方法的一个疏漏?

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 10:15am 发表的内容：
康托定理是先假设自然数集的基数等于其幂集的基数，推出矛盾，所以结论就是自然数集的基数小于于其幂集的基数；
而我的证明则是由自然数集的基数小于其幂集的基数出发，最后推出自然数集的基数等于其幂集的基数　...

这么说是您的臆测而已。有什么根据？

elimqiu

下面引用由天茂在 2010/11/01 10:11am 发表的内容：
请问陆老师：下面的这种排列方法只能穷尽有限小数吗？无限小数是不是也包含在其内呢？
把上的全体二进制小数按照二进制进位的相反方向进行排列，如下所示：
0.0，0.1,0.01,0.11,0.001,0.101,0.011,0.111,0.0001, ...

其实这个排列里面只有有理数。一个无理数都不会有。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
这个排列连有理数都没有遍历

天茂

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 10:29am 发表的内容：
这样的排列方法，不能说“无限小数也包含在内”。
因为，对任何一个无限小数，你都不可能用一个具体的数字，说出它是排列中的第几个。

我知道我这篇文章的结论肯定是错的，但却不知道错在哪里。
前四小节是一个整体，希望陆老师能继续针对前四小节提出批评指导意见。
也就是说，[0,1]上全体小数组成的矩阵，到底是不是方阵？
我认为：
[0,1]上全体二进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为2^阿列夫0；
[0,1]上全体三进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为3^阿列夫0；
[0,1]上全体四进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为4^阿列夫0；
……
[0,1]上全体十进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为10^阿列夫0。
请陆老师批评。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 04:39am 发表的内容：
这么说是您的臆测而已。有什么根据？

1、康托定理是先假设自然数集的基数等于其幂集的基数，推出矛盾，所以结论就是自然数集的基数小于于其幂集的基数；
2、而我的证明则是由自然数集的基数小于其幂集的基数出发，最后推出自然数集的基数等于其幂集的基数。
1、这是康托定理，您不会否定吧？
2、关于我的证明（主楼的文章），暂不考虑第五小节，请指出前四小节中的错误。

天茂

下面引用由elimqiu在 2010/11/01 04:41am 发表的内容：
其实这个排列里面只有有理数。一个无理数都不会有。
-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在  时添加 -=-=-=-=-
这个排列连有理数都没有遍历

当然，如果说这个排列一个无限小数都不包括的话，那么，无限循环小数（除从某一位开始均为1的循环）也不包含在内，而这些也都是有理数。

luyuanhong

下面引用由天茂在 2010/11/01 04:42pm 发表的内容：
我知道我这篇文章的结论肯定是错的，但却不知道错在哪里。
前四小节是一个整体，希望陆老师能继续针对前四小节提出批评指导意见。
也就是说，[0,1]上全体小数组成的矩阵，到底是不是方阵？
我认为：
[0,1]上全体二进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为2^阿列夫0；
[0,1]上全体三进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为3^阿列夫0；
[0,1]上全体四进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为4^阿列夫0；
……
[0,1]上全体十进制小数组成的矩阵，宽度为阿列夫0，高度为10^阿列夫0。
请陆老师批评。

    按照数学中的规定，“阿列夫0”是集合论中的基数，不是数，不能作为数来运用。
说什么“宽度为阿列夫0”，高度为“高度为2^阿列夫0”等等，就是把“阿列夫0”当作一个数
来运用，这是不符合数学中的规定的。

zhaolu48

[这个贴子最后由zhaolu48在 2010/11/01 07:17pm 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2010/11/01 09:42am 发表的内容：
那么，说一个无限小数的小数位数就应该是阿列夫0个，这就是说矩阵的宽度是阿列夫0。
高度是多少呢？下面就来计算一下：

[color=#8B008B]
凡是用对角线法证明[0,1]不可数，都是用十进制小数完成的，但要想证明出“[0,1]至少要用p(p>3)进制的小数才“可以”。
比如用二进制小数证明，
因为第k(k=2,3,4,…)位为1的小数占所有小数的一半，那么因此我们总可以取到一个第k位是1的小数，把它排在这k个的位置上，即a(k,k)=1，而排第一位的小数取第一位为0的小数，即对角线上的数字除第一个小数的第一位是0，其它各个数字都是1，那么相应的“不属于”这个排列的小数就是0.1000…了。能说把全体小数的一个排列，单单就把0.1000…除外了吗？
对任意实数a，当把“不存在小于a的最大实数，也不存在大于a的最小实数”当做实数的一条性质，那么每一个实数都变成了“孤立”点，从而在这样的性质下的实数就变成了离散性集合，从而可数，且“实数集”的测度为零。
所以取其概念称为“实数”，其中的“实”从字典上查，其第一解释是“实心”意思，即没有空隙。而在这条性质下“实数”根本就“不实”。

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2010/11/01 07:55pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2010/11/01 06:05pm 发表的内容：
    按照数学中的规定，“阿列夫0”是集合论中的基数，不是数，不能作为数来运用。
说什么“宽度为阿列夫0”，高度为“高度为2^阿列夫0”等等，就是把“阿列夫0”当作一个数
来运用，这是不符合数学中的规定的。

我手头有一本柳潘、钱佩玲编《实变函数与泛函分析》（北师大出版社1987.6）教科书，在24页有：
定理4.5 设集合A的势为μ，用2^μ表示A的一切自己所组成的集的势，则μ＜2^μ。
这就是赫赫有名的康托尔定理。
请教陆老师：定理中的μ，难道只能是有限数，而不包括“阿列夫0”吗？

天茂

下面引用由zhaolu48在 2010/11/01 07:07pm 发表的内容：
凡是用对角线法证明不可数，都是用十进制小数完成的，但要想证明出“至少要用p(p>3)进制的小数才“可以”。
比如用二进制小数证明，
因为第k(k=2,3,4,…)位为1的小数占所有小数的一半，那么因此我们总可以取　...

凡是用对角线法证明[0,1]不可数，怎么都是用十进制小数完成的呢？用二进制数不是更简便吗？
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天茂 在 时添加 -=-=-=-=-

用对角线的方法，不仅仅只排除0.1000…这一个数，实际上是排除了大多数的有限和无限小数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/11/01 08:39pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2010/11/01 07:35pm 发表的内容：
我手头有一本柳潘、钱佩玲编《实变函数与泛函分析》（北师大出版社1987.6）教科书，在24页有：
定理4.5 设集合A的势为μ，用2^μ表示A的一切自己所组成的集的势，则μ＜2^μ。
这就是赫赫有名的康托尔定理。
请　...

这里的“势”，其实就等价于“基数”，当然包括“阿列夫0”在内。
在集合论中，说“阿列夫0＜2^阿列夫0”是可以的。但是，这样说，并不意味着“阿列夫0”
是一个数字，并不意味着“阿列夫0”可以像数字一样运算。
在集合论中，集合的势（基数）是可以比较大小的，但这样的比较，不是普通数字的比较大小，
而是另外有定义：如果集合 A 能与集合 B 的一个真子集一一对应，但是集合 A 不能与集合
B 本身一一对应，就说集合 A 的势小于集合 B 的势。
在集合论中，可以写“2^阿列夫0”，表示由一个势为“阿列夫0”的集合的所有子集构成的
集合（幂集）的势。但这并不意味着“阿列夫0”可以像数字一样作幂运算，比如说，写
“3^阿列夫0”、“4^阿列夫0”都是没有意义的。