[pK专家和数学爱好者]关于素数对个数的几个命题

ysr

，差为2A的相邻素数对公式：
公式：x内相邻素数差为2A的素数对个数占素数个数的2√lnx/（zc（x）-2），其中zc（x）为X内最大相邻素数的差，所以个数公式为：L（x）=2a（pai（x）-3）/（A*（zc（x）-2））-7，其中pai（x）为X内的素数个数,a=√lnx

白新岭

ysr 发表于 2019-7-16 13:20
，差为2A的相邻素数对公式：
公式：x内相邻素数差为2A的素数对个数占素数个数的2√lnx/（zc（x）-2），其 ...

你拿几个实际数据演示一下你给的公式，并与实际素数对比较一下，看一看相对误差，如果相对误差在80%以上，说明公式有一定的道理。

白新岭

njzz_yy 发表于 2019-6-1 14:42
咱的《概率素数论》可以定量分析，X内任意有限长度的K生素数组的个数，极限是bX/（lnX）^K，常数b只有在K=1 ...

一切k生素数的系数都可以给出，只要给出具体的间距和排列顺序即可。
如（0，2m）的二生素数，任何一个m值都可以给出系数，且可以有积分得到数量。
如（0,2a，2b），a<b,且mod（a，3）≠mod（b，3），即a，b关于模3不同余，任意的符合前述条件的三生素数。
在这里需要特殊说明的是，每种k生素数中都是以0（本位，也是余数为0的值）开始，后续皆为偶数，不允许有奇数，因为那样的k生素数是唯一的，通不过素数2的关卡。
在本论坛有专贴讨论此类问题：“新函数Bxl（Ak）参数为偶数点序”。

ysr

谢谢关注！有空再拜读，我的公式验证过，误差不大，但数据太少不能确定只能做参考。

ysr

素数无穷多的证明，这里给出欧几里得的证法（欧几里得之前是否有人已用过不知道）：
证明：

假设素数是有限的，假设素数只有有限的n个，最大的一个素数是p。

设q为所有素数之积加上1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1不是素数。

那么，q可以被2、3、…、p中的数整除。

而q被这2、3、…、p中任意一个整除都会余1，与之矛盾。

所以，素数是无限的。

扩展资料：

（1）质数p的约数只有两个：1和p。

（2）所有大于10的质数中，个位数只有1,3,7,9。

（3）初等数学基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。

（此证法简单，由于自然数列是公差为1的等差数列，故前面的等差数列含有无穷素数也可用此法，欧拉的证法用到了欧拉函数，复杂不必学习）

ysr

欧拉的证法（其实还有许多，较复杂，不做介绍了，其中的解析法我也看不懂）：
利用代数数论的证明

数学犹如一棵大树， 数论乃是一个分支， 本身又包含若干分支， 代数数论和解析数论便是其中两个。 这两个分支对证明素数有无穷多个也各有手段， 值得分别作一个简单介绍。

利用代数数论手段证明素数有无穷多个的出发点之一是利用所谓的欧拉 φ 函数 (Euler's phi function)。 对任一正整数 n， 欧拉 φ 函数的取值 φ(n) 定义为：

φ(n) := 不大于 n 且与 n 互素的正整数的个数

或者用符号表示为 (a 为正整数)：

φ(n) := ‖{a | 1 ≤ a ≤ n; gcd(a, n) = 1}‖

其中 gcd(a, n) 表示 a 和 n 的最大公约数 (greatest common divisor)， ‖{...}‖ 表示集合 {...} 的元素个数。

这个函数是欧拉于 1763 年提出的， 德国数学家高斯在 1801 年出版的《算术研究》 (Disquisitiones Arithmeticae) 一书中以 φ 表示之， 故而得名。 除这一名称外， 1879 年， 英国数学家西尔维斯特 (James Sylvester) 用源自拉丁文， 含义为 “这么多” 的 “totient” 一词表示这一函数 (因这一函数给出的是： 对任一正整数 n， 总计有 “这么多” 个不大于 n 的正整数与之互素)， 受之影响， 欧拉 φ 函数有时也被称为 Euler's totient function， 中文译为欧拉总计函数。 为了对欧拉 φ 函数有一个直观了解， 读者可对最小的 n 验证一下欧拉 φ 函数的取值， 比如 φ(2) = 1， φ(3) = 2， φ(4) = 2， φ(5) = 4， φ(6) = 2， 等等。

细心的读者也许会抱怨： 在上述定义及说明中， 明明是只见数论不见 “代数” 嘛！ 这是由于我们只对证明素数有无穷多个感兴趣， 为免生枝节， 免作不必要的概念铺垫， 刻意回避了代数色彩。 对于想见 “代数” 一面的读者， 欧拉 φ 函数可以这样来定义： 对任一正整数 n， φ(n) 给出的是环 &#8484;/n&#8484; 中的可逆元 (invertible element) 的数目。

接下来我们直奔主题， 介绍对素数有无穷多个的证明。

这个证明需要用到欧拉 φ 函数的几个简单性质。

首先是对任一素数 p， φ(p) = p — 1， 这是因为 1, ..., p — 1 这 p — 1 个不大于 p 的正整数显然都跟 p 互素。

其次是对两个不同——从而当然互素——的素数 p1 和 p2， φ(p1p2) = (p1 — 1)(p2 — 1)， 这是因为从 1 到 p1p2 这 p1p2 个正整数中， p1, 2p1, ..., p2p1 这 p2 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p1； p2, 2p2, ..., p1p2 这 p1 个正整数跟 p1p2 有共同素因子 p2； 其余全都跟 p1p2 互素。 由此得到 φ(p1p2) 为 p1p2 — p2 — p1。 但其中 p1p2 被重复计算了一次， 因此要补回一个 1， 由此得到 φ(p1p2) = p1p2 — p2 — p1 + 1 = (p1 — 1)(p2 — 1)[注六]。

上述第二个性质显然可以推广为针对任意多个彼此不同——从而当然彼此互素——的素数 p1, ..., pn， 即 φ(p1···pn) = (p1 — 1)···(pn — 1)。 很明显， 对所有 n ≥ 2， 连乘积 (p1 — 1)···(pn — 1) 中至多有一项是 1 (对应于 pi = 2)， 其余皆不小于 2， 乘积当然也不小于 2， 即 φ(p1···pn) ≥ 2。 这说明在 1 与 p1···pn 之间至少有两个正整数与 p1···pn 互素， 两个中的一个显然是 1， 另一个则不小于 2 且不能以 p1, ..., pn 中的任何一个为素因子 (否则不可能跟 p1···pn 互素)。 从而其素因子 (可以是它自身) 必然是 p1, ..., pn 之外的新素数。

上述推理可无穷重复， 从而表明素数有无穷多个。

上述证明虽名为 “利用代数数论的证明”， 代数味其实很淡。 利用代数数论的证明还有代数味更浓的， 直接用到戴德金整环 (Dedekind domain)、 素理想 (prime ideal) 之类如假包换的代数数论概念， 由于需作较多的概念铺垫， 就不介绍了， 只弱弱地提醒一句： 这类证明并非独木桥。

ysr

以上证法用到的知识点都是初等数论的，所以这些问题都是基础理论的容易的，所以哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都不难，容易理解也容易证明，为啥到今天没有彻底解决？
就是因为专家尤其当代“专门家”都是剑走偏锋，而不重视基础理论！
如此简单的基础理论都不明白，谈何探索宇宙奥秘，发展科学技术？

ysr

解析数论的证明也不过如此，还没有初等数论的透彻明白简洁合理。

利用解析数论的证明

利用解析数论手段证明素数有无穷多个的出发点也跟欧拉有关， 是利用所谓的欧拉乘积公式 (the formula of Euler's product)：

Σnn—s = Πp(1 — p—s)—1    (s > 1)

这一公式是欧拉于 1737 年发表的， 公式中左侧的求和针对所有正整数， 右侧的连乘积则针对所有素数。 欧拉乘积公式的证明并不复杂， 启发性的思路是将右侧连乘积中的 (1 — p—s)—1 展开成 1 + p—s + p—2s + ...， 故而连乘积本身将包含所有不同组合的素数连乘积的 —s 次方之和。 另一方面， 算术基本定理 (fundamental theorem of arithmetic) 表明所有不同组合的素数连乘积恰好给出所有不小于 2 的正整数， 这个， 连同已包含在连乘积中的 1， 恰好给出 Σnn—s， 也就是左侧[注七]。

欧拉乘积公式的左侧经解析延拓后， 可变为解析数论中极重要的函数： 黎曼 ζ 函数 ζ(s)， 其定义域为除去 s = 1 之外的整个复平面。 对于 s = 1， 欧拉乘积公式的左侧是被称为调和级数 (harmonic series) 的发散级数 (“发散” 在数学上不是讨人喜欢的性质， 这个发散级数之所以被冠以 “调和” 这么一个 “褒义” 名称， 是因该级数的每一项恰好都是前项与后项的 “调和平均”)： 1 + 1/2 + 1/3 + ...。 左侧是发散级数， 右侧当然也必须发散， 然而如果素数只有有限多个， 欧拉乘积公式右侧的连乘积乃是有限乘积， 从而是有限的， 这就出现矛盾了。 这个矛盾表明素数有无穷多个[注八]。

除利用 s = 1 的情形外， s = 2 时的欧拉乘积公式的左侧 ζ(2) 是欧拉本人于 1734 年证明过的一个漂亮结果： π2/6。 另一方面， 1794 年， 法国数学家勒让德 (Adrien-Marie Legendre) 证明了 π2 是无理数。 这两者合起来也意味着素数有无穷多个——因为否则的话， 欧拉乘积公式的右侧是有限多个分数项的连乘积， 是有理数， 与左侧为无理数相矛盾。

类似地， 从 s 的很多其它取值也可证明素数有无穷多个。

ysr

解析数论的证明中的那个等式是欧拉发现并证明的，证明不难需要用素数定理等初等数论的基础理论，用这个再去证明素数无穷多这样的基础理论，岂不是本末倒置走了弯路？
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的证明也是这样，非说要用解析数论以上的理论，甚至还没有找到的理论工具去证明这样简单的道理，岂不荒谬？
爱好者搞出来了，还要打压排挤不让发表，这还是科研机构吗？还是科学精神吗？还是科学的态度和作法吗？这样的科学院尤其数学所还合格吗？是不是该砸牌子了？

ysr

谁穷尽了初等数论的证明方法？我前面的证法你知道吗？用过吗？
用我的证法来证明素数有无穷多，是这样：
证明：自然数列中每连续2个数必有1个能被2
整除，每连续3个必有1个能被3整除，……，一个素数因子p在其周期p内占有一个位置，相邻素因子的差若大于2，就不可能占完位置，素因子占不完的，就是素数位置，偶有等于2的不影响结果，不可能到某项之后都是差为2的素数，此过程无穷多，所以素数是无穷的。