无穷大的一个数学游戏

门外汉

下面引用由zhujingshen在 2011/05/12 00:21pm 发表的内容：
当 n→∞，{An} 就是最终元，当然，这里不可能实际写出来，在这里，就是标示一下。
从数学上讲，无穷也是有极限的，无穷就是最大，
不能超越“无穷大”=1/(1-0.99999......)，
所有的无穷都是（精确）相等的。
...

为什么你在大讲特讲无穷大自然数的时候，完全无视皮亚诺公理呢？
一边承认皮亚诺公理是正确的，一边又说无穷大自然数是存在的，这不就是数学版的以子之矛，刺子之盾吗？
早就说过了：要么你推翻皮亚诺公理，要么你承认所有的自然数全都有限。

zhujingshen

什么叫如果是？你怎么鉴别？其实（0）……1111 中的那个 0 就是 {An} 的最终元，不过它可没有办法从 “n→∞，{An} ”得到。 化句话说， 最终元是扯蛋，进而你的‘如果是（0）’，‘如果是（1）’是扯蛋。
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这里，说的都是如果。
{An} 可以从序列中看到：
{1，10，100，1000，10000，……}
1实际写不出来，判断{An}为 （1）。
如果，是一个有限数，判断{An}为 （0）。
其实，这都是没影的事，游戏而已。

zhujingshen

下面引用由门外汉在 2011/05/12 05:47pm 发表的内容：
为什么你在大讲特讲无穷大自然数的时候，完全无视皮亚诺公理呢？
一边承认皮亚诺公理是正确的，一边又说无穷大自然数是存在的，这不就是数学版的以子之矛，刺子之盾吗？
早就说过了：要么你推翻皮亚诺公理，要么 ...

“精确相等”和“绝对相等”是矛盾的。
无穷大自然数+1=无穷大自然数(这是“精确相等”）
无穷大自然数+1》无穷大自然数(这是“绝对不等”）
我说有无穷大自然数，基于“精确相等”。基于不同的道理。
你不承认就算了。

elimqiu

下面引用由zhujingshen在 2011/05/12 05:58pm 发表的内容：
{An} 可以从序列中看到：
{1，10，100，1000，10000，……}
1实际写不出来，判断{An}为 （1）。
如果，是一个有限数，判断{An}为 （0）。
其实，这都是没影的事，游戏而已。

是的。即使这么确定{An}，其各项还都是0，从而‘最终项’，根据你的极限性定义，还是0而不是1.
总的说来，形式地把自然数从p进制表达‘推广’到无穷的情况，是不可行的。这就是说无限是一道坎，过这道坎很多东西是会产生质变的。不能直觉地把在有限那里玩熟了的东西不加检验地搬到无限的情形去，或者认为天经地义地在无限的情形也成立。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/12 10:41am 发表的内容：
所有的无穷都（精确）相等，导致所有的无穷大整数相等，于是游戏可以结束了。

无穷大整数不同，但是相等。
就像0.9999....和1不同，但是相等，一样。

elimqiu

peano 公理虽然简单明了，却是非常强有力的分析工具。它在同构的意义上唯一确定了自然数系。没有容纳无穷的可能。在这个抽象的层面上看问题，又简单又彻底。就好象不管孙悟空的筋斗怎么翻，peano 公理还是如来的手掌。

zhujingshen

peano 公理适用于有限数，对于无穷应当是不适用的。
我不想再讨论了。到此为止。

elimqiu

peano 公理不仅是适用于有限，而且否定了含有无穷的数系能够继续满足自然数的运算和序性质的可能。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/12 11:43am 发表的内容：
peano 公理不仅是适用于有限，而且否定了含有无穷的数系能够继续满足自然数的运算和序性质的可能。

我开始是论述无穷小（1-0.9999....）或序列{0.1  0.01 0.001 0.0001}的极限的倒数1/（1-0.9999....）=10000000......是无穷大数，是实数。
后来，被你们引导，成了“无穷自然数”“无穷整数”，并用皮亚诺公理进行了否定。
和你们的辩论，我也认识到这个“无穷大数”，不是自然数，不是整数。不能满足自然数的运算和序性质的可能。
如果，“无穷大数”不是自然数，整数，而是和无限小数一样的实数，还需要受到皮亚诺公理限制吗。

zhujingshen

peano 公理不仅是适用于有限，而且否定了含有无穷的数系能够继续满足自然数的运算和序性质的可能。
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含有无穷的数系当然要用无穷数系的运算方法。