[求助]请教陆老师和elimqiu老师：这道概率题应该如何来计算呢？

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 02:22am 发表的内容：
那个推导会导致矛盾。不过表面上符合了您的认为。

如果用同样的方法能够得出事件A=“在[0,1] 区间中随机地取一个点，恰好取到 1/2 这个点”的概率也是无穷小量的话，那就不会有矛盾了。

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2011/05/31 10:10am 发表的内容：
如果用同样的方法能够得出事件A=“在 区间中随机地取一个点，恰好取到 1/2 这个点”的概率也是无穷小量的话，那就不会有矛盾了。

逻辑上不能是无穷小的[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

其实，就是交点是否存在

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/05/31 10:33am 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2011/05/31 09:19am 发表的内容：
谢谢陆老师严格的推导，得出了P(A1)、P(B1)这两个概率值都是无穷小量的结论。
那么，请教陆老师：能否继续用类似的方法，求得事件A=“在区间［0,1］中随机地取一个点，恰好取到 1/2 这个点”的概率应该是多少呢？

elimqiu

在可数基本事件的情形，在标准分析中，概率分布不可能是均匀的。于是必有某数 a 使得取到它的概率是正数。不管陆老师的非标准推导如何，他得出的结论：取到某数的概率是无穷小通过转换就是标准分析中的0概率。如果对于可数空间，每点的0概率就导致全空间的0概率。当然是一个矛盾。

zhujingshen

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 03:39am 发表的内容：
在可数基本事件的情形，在标准分析中，概率分布不可能是均匀的。于是必有某数 a 使得取到它的概率是正数。不管陆老师的非标准推导如何，他得出的结论：取到某数的概率是无穷小通过转换就是标准分析中的0概率。如 ...

陆老师的概率，我认为说为比例好些，比例或概率是两者之间的关系。和标准分析中的数值没有关系。
比如：A与B的比值（概率）为无穷小。B如果为无穷大，A就等于1.
标准分析中的0概率就做不到这一点。
所以，有关无穷的分析，就应当用非标准分析。
感觉非标准分析还有一些需要改进的，数值上需要和标准分析完全脱钩。

zhujingshen

对于{1,…,Ω*}
我建议为：Ω={1,2，3，…}
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 zhujingshen 在 时添加 -=-=-=-=-
非标准中{Ω，Ω+1,Ω+2…} ,
和标准分析在数值上脱钩

elimqiu

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 03:39am 发表的内容：
在可数基本事件的情形，在标准分析中，概率分布不可能是均匀的。于是必有某数 a 使得取到它的概率是正数。不管陆老师的非标准推导如何，他得出的结论：取到某数的概率是无穷小通过转换就是标准分析中的0概率。如果对于可数空间，每点的0概率就导致全空间的0概率。当然是一个矛盾。

这个矛盾其实是概率计算不符合概率公理。而我们很难想象对这些公理的某种合理修正可以避免矛盾。
天茂的思想基本上是说，干脆甩掉转换定理，彻底抛弃标准分析，这样要什么第三者就有什么第三者了。不过，这也就抛弃了数学的逻辑性....

天茂

下面引用由luyuanhong在 2011/05/30 05:35pm 发表的内容：

再次感谢陆老师的严谨的证明。
现在的结论是：
按照非标准分析的观点来看，
事件A1=“在区间[0，1]的有理数中随机取数恰好等于1/2”的概率是一个无穷小量；
事件B1=“在自然数中随机取数恰好等于5”的概率也是一个无穷小量；
事件A＝“在区间[0，1]中随机取数恰好等于1/2”的概率还是一个无穷小量。
而用标准分析的观点来看，这三个事件的概率都是 0 。
我完全赞同上述结论。

不过，这个结论和您在我的另一个帖子“[求助]请教陆老师一个概率问题”中92楼的回答是完全相反的，因为您当时的说法是：

   对于“在 1/2 的邻域区间 (1/2-δ,1/2+δ) 中取到一个点”这样的事件，概率为
                             P*{1/2-δ＜X＜1/2+δ}＝2δ ，
它的概率，是一个正无穷小量。
   对于“（按照非标准分析来看）恰好取到 1/2 这个点”这样的事件，概率为
                              P*{X＝1/2}＝0 ，
它的概率，按照非标准分析来看，也是 0 ，不是正无穷小量。
   当然，对于标准分析来说，因为不承认无穷小量是一个数，所以，对这样两种事件，
是根本无法区分的。对于标准分析来说，这样两种事件，都是“恰好取到 1/2 这个点”
的事件，它们的概率，都是 0 。

可见，经过反复的论证，陆老师已经放弃了原来的这个说法。
不仅如此，陆老师在“[求助]请教陆老师一个概率问题”中104楼提出的第（4）种“事件”和“概率”，也就没有必要了吧？
这就是说，您当时在第 46 楼中的 3 种分类就已经是完全正确的了。
下面是您的原帖：

在“非标准分析”中，可以把“事件”和“概率”仔细地分成下列 3 种：
（1）“不可能事件”，概率是一个“真正的绝对的 0 ”。
   （例如事件“X=3/2”，概率是 0 。)
（2）“可能性是正无穷小量的事件”，概率是一个“正无穷小量”。
    (例如事件“1/2-δ＜X＜1/2+δ”，概率是 2δ 。 ）
（3）“可能性不是无穷小量的事件”，概率是一个“非无穷小正数”。
    （例如事件“1/3＜X＜2/3”，概率是 1/3 。）
现在看来，除了上述 3 种以外，为了理论上的完整，还应该增加一种：
（4）不是不可能的事件，但概率是“真正的绝对的 0”。
（例如事件“X=1/2”，这里的“=1/2”是从非标准意义上说的，就是说
“X 与 1/2 一点点也不差，连任何一点正无穷小量的差距也没有”。）

请教陆老师：您同意我的这些结论么？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2011/05/31 04:53pm 第 1 次编辑]

    我说过的话没有矛盾，注意，这里有两种不同的事件：

（1）“从[0,1]中随机取一个点，（按照标准分析来看）恰好取到 1/2”的事件。
    这个事件的概率，在非标准分析中，是正无穷小量，不是 0 。

（2）“从[0,1]中随机取一个点，（按照非标准分析来看）恰好取到 1/2”的事件。
    这个事件的概率，在非标准分析中，是 0 ，不是正无穷小量。

    （2）与（1）不同的是，（1）中的事件，按照非标准分析来看，不仅是取到
1/2 这一个点，还包括取到在 1/2 附近、与 1/2 的距离为一个正无穷小量的点，
而（2）中的事件，是取到孤零零的 1/2 这一个点，不包括取到在 1/2 附近、与
1/2 的距离为一个正无穷小量的点。

天茂

下面引用由elimqiu在 2011/05/31 05:10am 发表的内容：
在可数基本事件的情形，在标准分析中，概率分布不可能是均匀的。于是必有某数 a 使得取到它的概率是正数。不管陆老师的非标准推导如何，他得出的结论：取到某数的概率是无穷小通过转换就是标准分析中的0概率。如果对于可数空间，每点的0概率就导致全空间的0概率。当然是一个矛盾。
这个矛盾其实是概率计算不符合概率公理。而我们很难想象对这些公理的某种合理修正可以避免矛盾。
天茂的思想基本上是说，干脆甩掉转换定理，彻底抛弃标准分析，这样要什么第三者就有什么第三者了。不过，这也就抛弃了数学的逻辑性....

1、如果说“每点的0概率就导致全空间的0概率”是一个矛盾的话，这也是标准分析中的矛盾，与非标准分析没有关系。
更何况，“每点的0概率就导致全空间的0概率”并不一定就导致矛盾，即使在标准分析中，可数无穷个 0 之和也并非一定就还是 0。
2、希望elimqiu老师详解“概率计算不符合概率公理”这句话。
3、我的基本思想是：坚守二分法的逻辑系统虽然是不完善的，但并非不可取，也并非就得抛弃。但是需要弥补，需要认可第三值的系统的弥补。这样的系统才是完善的。