几何一探－最弱条件的等腰三角形证明

jzkyllcjl

我29楼的证明，很草率，怎么没人提出问题呢？我只是觉得几何理论中的点、线、面，平行公理，勾股弦定理都与极限有关，所以使用了函数导数的极值理论叙述了楼主问题的证明。 是不是做的对？是不是不能用纯几何方法证明了？ 请网友研究分析。

天元酱菜院

对曹老的证明的一些想法：
1） 曹老为何要预设角1为10度呢？  这不是【不妨】。
     按曹老的方法，实际上是可以不必预设其为10度的。
2） 曹老的反三角函数，是否论证过角4+A落在反三角函数的定义域内？
        即他确定不会大于90度？ 严格要求应该论证一下，或后面引用时小心处理一下多值问题。
3） 曹老用导数（在0到80度间）恒正，从而证明x在大于0的点，f都会大于0.
    这一思路和方法是好的。也是可以给我们以启发的。

既然曹老邀请评价一下他的证法，我就斗胆直叙。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-1 08:39
对曹老的证明的一些想法：
1） 曹老为何要预设角1为10度呢？  这不是【不妨】。
     按曹老的方法，实际 ...

谢谢你。你的1）说的对，可以把10度改一下，这个工作 请你做吧！ 你这个想法就是进步！ 希望你做做，我确实老了。
你的2）也说的对，请你论证吧！修改吧1 我支持你 做做这个工作，我确实老了。

天元酱菜院

@王守恩； 先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面使用了微分。
曹老希望能对他的方法予以完善，那就引进微分的证法，把我们的烂尾楼建成。
一方面对曹老微分证法的正确使用有一个交代，另一方面也对你我的劳动和思考有一个交代。

1） 设∠BAC 的取值为2A，【 2A∈（0，π）】；   有∠1+∠2+∠3+∠4+2A=π
      不失一般性，设∠4 =（π-2A）/2 -∠2 - s     （s>=0）
                   (也可设∠1 =（π-2A）/2 -∠3- s;     以下的证明过程是完全相似的）

      于是，  ∠2+∠4=(π-2A)/2  -s               （可见，∠2+∠4为锐角）
                  ∠1+∠3=π-2A- (∠2+∠4)= （π-2A）/2 +s           
    （谢谢曹老指正，这里的论述改为：  【∠1+∠3应为锐角，否则不可能等腰。所以，这里又有A>s】 ）

         有: (∠1+∠3)  -  (∠2+∠4) = 2s；            （可见有 π/2  > ∠1+∠3 >2s;    即s<π/4, 后面将使用作为s的定义域 ）
   
        由已知：∠1+∠2=∠3+∠4;    有 ∠1-∠4 = ∠3 - ∠2   
        结合（∠1+∠3）-（∠2+∠4）=2s      又有： (∠1-∠4)= (∠3-∠2)=s ;
        再根据∠1+∠2=∠3+∠4  =（∠1+∠2+∠3+∠4）/2 =(π-2A)/2
       又可得到 ∠1=π/2 - A - ∠2；
                   ∠4=π/2 - A - ∠3 ....................(1)

      以上我们小心翼翼定义s变量， 是为了使A和∠2不随s变化。不论∠BAC取定(0,π)内的何值 （A=∠BAC/2）,
      并且在A取定后，∠2取定（0，π/2-A）内的何值，以下论述均成立，且A和∠2 均可作为（参数）常数来使用。

2）  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
       可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)...............(2)
       由于∠1=π/2 - A -∠2;   ∠4= π/2 -A-∠3
      (2)式左边成为  sin(π/2 - A - ∠2+∠3)sin(π/2-A+∠2) = cos (A- s) cos(A-∠2)
      (2)式右边成为  sin(π/2 - A -∠3+∠2) sin(π/2-A+∠3) = cos (A+s)cos(A-∠2-s)
      左边-右边为0，  即有：  cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
       （这一部分请参见王守恩贴）  


3）   设函数 f(s)=cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)     （s∈[0,π/4 ）
        考虑：
        当s=0时，直接代入计算可得 f(0)=0  

4)   求f(s)在 [0，π/4）区间的导函数
      f ' (s) = sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(A+s)cos(A-∠2-s) - sin(A-∠2-s)cos(A+s)
               =sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s) .........(3)
            
      注意到： 锐角∠1+∠3 = ∠2+2s + ∠4,    即有：∠2+2s < ∠1+∠3< π/2
       (3)  式中 A和∠2均属于（0，π/2） 所以 A-∠2属于（-π/2, π/2）,  有 cos(A-∠2) >0

       结合 A> s 条件， 有 sin(A-s)cos(A-∠2) >0 ，sin(<2+2s)>o ;
       即有： f ' (s)  >0        (0<= s <π/4)
      
     即f ' (s) 在 【0，π/4) 区间总是正的。

5）依据拉格朗日中值定理， f(s) 在区间（0，π/4）内各点的函数值 都是大于f(0)=0的。
      于是，只有s=0 时，才会有    cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
      从而证明： 本命题。

天元酱菜院

王守恩 发表于 2017-8-16 11:41
天元酱菜院，我来接招，往前试一试。
1，设∠BAC=2A       1+2=3+4=90-A
         1=90-A-2     4=90- ...

@王守恩； 先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面使用了微分。
曹老希望能对他的方法予以完善，那就引进微分的证法，把我们的烂尾楼建成。
一方面对曹老微分证法的正确使用有一个交代，另一方面也对你我的劳动和思考有一个交代。

1） 设∠BAC 的取值为2A，【 2A∈（0，π）】；   有∠1+∠2+∠3+∠4+2A=π
      不失一般性，设∠4 =（π-2A）/2 -∠2 - s     （s>=0）
                   (也可设∠1 =（π-2A）/2 -∠3- s;     以下的证明过程是完全相似的）

      于是，  ∠2+∠4=(π-2A)/2  -s               （可见，∠2+∠4为锐角）
                  ∠1+∠3=π-2A- (∠2+∠4)= （π-2A）/2 +s           
      （谢谢曹老指正，这里的论述改为：  【∠1+∠3应为锐角，否则不可能等腰。所以，这里又有A>s】 ）

         有: (∠1+∠3)  -  (∠2+∠4) = 2s；            （可见有 π/2  > ∠1+∠3 >2s;    即s<π/4, 后面将使用作为s的定义域 ）
   
        由已知：∠1+∠2=∠3+∠4;    有 ∠1-∠4 = ∠3 - ∠2   
        结合（∠1+∠3）-（∠2+∠4）=2s      又有： (∠1-∠4)= (∠3-∠2)=s ;
        再根据∠1+∠2=∠3+∠4
       又可得到 ∠1=π/2 - A - ∠2；
                   ∠4=π/2 - A - ∠3 ....................(1)

      以上我们小心翼翼定义s变量， 是为了使A和∠2不随s变化。不论∠BAC取定(0,π)内的何值 （A=∠BAC/2）,
      并且在A取定后，∠2取定（0，π/2-A）内的何值，以下论述均成立，且A和∠2 均可作为（参数）常数来使用。


2）  分别在三角形BEC和BDC中运用正弦定理，因为CE=BD, 所以，CE/BC = BD/BC
       可以得到 sin(∠1+∠3)sin(∠2+∠3+∠4) = sin(∠2+∠4)sin(∠2+∠3+∠1)...............(2)
       由于∠1=π/2 - A -∠2;  ∠4= π/2 -A-∠3
      (2)式左边成为  sin(π/2 - A - ∠2+∠3)sin(π/2-A+∠2) = cos (A- s) cos(A-∠2)
      (2)式右边成为  sin(π/2 - A -∠3+∠2) sin(π/2-A+∠3) = cos (A+s)cos(A-∠2-s)
      左边-右边为0，  即有：  cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
       （这一部分请参见王守恩贴）  


3）   设函数 f(s)=cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)     （s∈[0,π/4 ）
        考虑：
        当s=0时，直接代入计算可得 f(0)=0  

4)   求f(s)在 [0，π/4）区间的导函数
      f ' (s) = sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(A+s)cos(A-∠2-s) - sin(A-∠2-s)cos(A+s)
               =sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s) .........(3)
            
       注意到： 锐角∠1+∠3 = ∠2+2s + ∠4,    即有：∠2+2s < ∠1+∠3< π/2
       (3)  式中 A和∠2均属于（0，π/2） 所以 A-∠2属于（-π/2, π/2）,  有 cos(A-∠2) >0

       结合 A> s 条件， 有 sin(A-s)cos(A-∠2) >0 ，sin(<2+2s)>o ;
       即有： f ' (s)  >0        (0<= s <π/4)
      
     即f ' (s) 在 【0，π/4) 区间总是正的。

5）依据拉格朗日中值定理， f(s) 在区间（0，π/4）内各点的函数值 都是大于f(0)=0的。
      于是，只有s=0 时，才会有    cos(A-s) cos(A-∠2) - cos(A+s)cos(A-∠2-s)=0
      从而证明： 本命题。

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-2 16:05
@王守恩； 先握个手，我们合作成功了。

曹老给了一个证明方法，前面和我们的证法其实大同小异，后面 ...

数学需要大家努力。谢谢你使用有极限性质的导数分析方法，谢谢你参与我的讨论。
看了你的帖子的前边，你说的“可见 ∠1+∠3也为锐角” 需要需要取 s<A。请你考虑。

天元酱菜院

jzkyllcjl 发表于 2017-9-3 16:34
数学需要大家努力。谢谢你使用有极限性质的导数分析方法，谢谢你参与我的讨论。
看了你的帖子的前边， ...

说明：
1）  ∠1+∠3=∠ABC， 他必须为锐角，否则就不可能等腰了。（∠2+∠4也是如此）

       所以，∠1+∠3和∠2+∠4均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来而已。
       我在另一种证法（参看第一页）中申明过这一点。
      （因为该证法利用了正弦函数在1象限的单增性质，所以必须先明确一些角是1象限角）

       本证法应该先说明这是题设，确认一下∠1+∠3为锐角。（后面还真用到了这个条件）
       s<A这个要求是要有的，否则，∠1+∠3 将成为钝角或直角。不过，逻辑上是先有∠1+∠3为锐角，后有s<A要求。
      所以，我在这里的行文逻辑是不对的。  
       在这里，曹老指出我在行文时的不谨慎，曹老的意见是正确的。
     （在证明过程中，没有用到s<A这个性质，所以，这里可以提也可以不提s<A,但不能以这样的逻辑提出∠1+∠3为锐角）

        在证明过程中，如果使用这一性质，在论证f ' (s)恒正时，就可免去讨论sin(A-s)可能为0为负的情况。
          即在论证了cos(A-∠2)为正后，即可直接宣布  sin(A-s)cos(A-∠2)  + sin(∠2+2s)  恒正。


2）  顶角角度被设为2A。因为等腰三角形对顶角的要求非常宽泛，顶角可以非常大，接近于π也没关系，也可以很小。
      顶角大则给了s变化的余地大一些，顶角小则s的变化受限更严厉一些。
    （题外话：曹老的那个反三角函数，角4+A还真可能大于90度，因为曹老定义的A就是顶角，其本身就可以大于90度）

3） 小心翼翼定义A和∠2，主要是为了使他们不随s变而变，否则，后边的微分就有问题了。
      A的定义没有任何限制，（可以大到接近于π/2，也可小到接近于0）；
      ∠2的定义只限定他小于（π/2-A）,这个限定在 【设∠4=(π-2A)/2-∠2-s】中体现。
      因为这一证法其实是先假定∠2+∠4不大于∠1+∠3，其差异是2s;   所以∠4不能大于(π-2A)/2
      这个假定由对称性，也可以假定∠2+∠4不小于∠1+∠3，其证法其实只是调换∠1∠2∠3∠4几个符号而已。

4)  本证法的逻辑是，首先取定参数A，只要A在一象限，随便取。
     取定A后，在0到 (π-2A)/2范围内取定∠2，也是随便取，只要不出这个范围就行、
     取定A和∠2后，在实际取得的A和∠2限定下，由∠4给予s变动空间，。
     即实际是在s<A限定下    让∠4+s 来等于（π/2-A-∠2）；
     由A和∠2这两个参数的足够完整性，而涵盖命题的各种可能情况。

5）至于s的定义域，放宽到π/4是完全涵盖了s的实际的定义域。s确切的定义域是
     【0，π/2-A-∠2)  、【0，π/4) 和【0，A） 三个区间中的较小者。

     f ' (s) 本身是可以定义到 全体实数集上的， 本题有意义的定义域如上所述，
     在 0 到π/4区间   f ' (S) 一直为正，虽可能超出实际有意义的定义域，但不影响我们的结论。

6）感谢曹老的指正，谢谢曹老。
   

jzkyllcjl

天元酱菜院 发表于 2017-9-3 14:50
说明：
1）  ∠1+∠3=∠ABC， 他必须为锐角，否则就不可能等腰了。（∠2+∠4也是如此）

对你的说明，我说过支持。但是对你的第一点说明中“均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来而已”的说法，还觉得不一定妥当。我希望把 不是锐角的情况，也证一下。

天元酱菜院

jzkyllcjl 发表于 2017-9-6 23:09
对你的说明，我说过支持。但是对你的第一点说明中“均为锐角应是题设。只不过本题没有在题设中明确说出来 ...

假如角1+角3 不是锐角， 显然不会是等腰三角形。

猜想很可能会是：     角1+角2=角3+角4  与 BD=CE   两个条件不可能同时具备。

我们可以证明一下这个猜想。

jzkyllcjl

天元酱菜院网友、同志：谢谢你给我指出了错误。我删除 下边论述 。