[原创]【趣题征解】关于欧拉函数的不等式

elimqiu · 发表于 2011-8-26 15:32

下面引用由w632158在 2011/08/23 03:12pm 发表的内容：
这一步有问题，实质上就是含有素因子2的情况。
只用证明含一个2因子，m不含2因子就行了，因为上边你已经证明含2的k次方k>1情况。
这个地方用欧拉函数的性质好像推不过去。

m 不含 2 因子就是 $2 \\nmid m$ 下面说明证明没有什么过不去的地方：
但是为了证明的需要，还是得分几种情况讨论。
当 m 含大于 3 的素因子时，就是说 m = p^k T, p ≥5， gcd(p,T) = 1
此时
$\\varphi(2m)=\\varphi(m)=\\varph(p^k)\\varphi(T)\\ge\\sqrt{p^k}\\left(\\sqrt{p^k}(1-1/p) \\right )\\sqrt{T}\\\\ \\ge(\\sqrt{5}(1-1/5))\\sqrt{p^k}\\sqrt{T}>1.7\\sqrt{p^kT}>\\sqrt{2}\\sqrt{m}=\\sqrt{n}$
当 m 不含大于3的素因子时 m = 3^k, 考虑 k > 1 的情形有
$\\varphi(2m)=\\varphi(m)=\\varph(3^k)=\\sqrt{3^k}\\left(\\sqrt{3^k}(1-1/3) \\right )\\\\ \\ge(\\sqrt{3^2}(1-1/3))\\sqrt{3^k}=6\\sqrt{3^k}>\\sqrt{2}\\sqrt{m}=\\sqrt{n}$
当 m = 3^1 = 3 或 m = 3^0 = 1 的情况对应于 n = 6 及 n = 2, 这些是很好处理的情况，不多赘述。可见你所猜测的‘过不去’问题不存在。其实仔细看我的证明应该可以明白这些。

elimqiu · 发表于 2011-8-26 15:43

红框中的分类有遗漏： n = 2m, m 只有大于5的素因子的情况没有顾及及
n = 2m, m = 3^k T, k> 2, T 只含大于3的素因子的情况没有顾及

elimqiu · 发表于 2011-8-26 15:54

按照以下分类，

以及我上二层楼的解释，这是没有错误的证明：

w632158 · 发表于 2011-8-26 16:00

是的，我的下一个证明，已经补充了这个证明。

w632158 · 发表于 2011-8-26 16:01

下面引用由w632158在 2011/08/25 02:56pm 发表的内容：

这个证明是完整的。

elimqiu · 发表于 2011-8-26 16:20

按照我前面提供的文献，严格的证明在1967年或更早已经获得。
33楼的证明就是19楼的证明。
应该提供一个引理，若 p 是素数，T是正整数，gcd(p,T) = 1, 整数 k > 0, 那么
$\\varphi(p^k T)\\ge\\sqrt{p^k}(1-1/p)\\sqrt{p^k T}$ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在时添加 -=-=-=-=-
上式没有下面的网站就不能显示了：
http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

		自动登录	找回密码
密码			注册

[原创]【趣题征解】关于欧拉函数的不等式