【趣题征解】求一个正整数 n，使得 3^n ≡ 2  mod （n）

guanchunhe

是我弄错了一个符号，3^2929≡ 2  (mod 101)  是正确的。

wangyangkee

下面引用由awei在 2011/09/07 00:05pm 发表的内容：
3^2929=F1=F2×2929+2 F1=3077195395308515263665868726119680782619925222989769810263863059676959034115903069200638212151766687972658341581816499348126630691733648724258824670636634508989671259159365 ...

相对论者， awei ，大数分解，不简单，，，

guanchunhe

这个问题很有意义，天山草先生能得到这么庞大数字构成的解，确实很了不起。看来要想再得到比这个数字还大的解不会太容易了。
我在19楼提出  n=1  也是这个同余方程的一个特解。
熊一兵先生也认为应该是。
但天山草先生却认为不是。
那么，到底是不是呢？
还请大家讨论一下。

awei

这个题有意思的地方就是用2和3构造出一个十分复杂的数学题，看看其他老师有没有一个简洁的办法得出结果。

天山草

下面引用由guanchunhe在 2011/09/21 09:23pm 发表的内容：
我在19楼提出  n=1  也是这个同余方程的一个特解。
熊一兵先生也认为应该是。
但天山草先生却认为不是。
那么，到底是不是呢？
还请大家讨论一下。

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3 的 1 次方仍等于 3， 3 又能被 1 整除（余数是 0 而不是 2），所以 1 不是一个解。

wangyangkee

相对论者， awei ，大数分解，不简单，，，时隔六---6---秋，刮目相看，，，

天山草

下面引用由awei在 2011/09/21 09:50pm 发表的内容：
这个题有意思的地方就是用2和3构造出一个十分复杂的数学题，看看其他老师有没有一个简洁的办法得出结果。

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这个问题其实来源于陆教授的一个帖子，就是证明 2^n ≡1 (mod n) 没有整数解。
本人对 3^n ≡2 (mod n)
       4^n ≡3 (mod n)
       5^n ≡4 (mod n)
       6^n ≡5 (mod n)
都试算了一下，结果见本人新发的帖子： 求同余方程 y^x ≡y-1 (mod x) 的整数解。

guanchunhe

我觉得这个问题最终的会发展为：
求解同余方程  m^n ≡r  (mod n)
的正整数解。其中 r≤m 。
而要想彻底解决这个问题，大概得需要在同余理论上有新的发现。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2011/09/24 08:27am 第 1 次编辑]

下面引用由guanchunhe在 2011/09/23 07:05pm 发表的内容：
我觉得这个问题最终的会发展为：
求解同余方程  m^n ≡r  (mod n)
的正整数解。其中 r≤m 。
而要想彻底解决这个问题，大概得需要在同余理论上有新的发现。

当 r=m-1 时，有以下结果：
■ 2^n≡1 (mod n) 一定无解，这个陆教授和其它网友能够证明；
■ 3^n≡2 (mod n) 在 450 万内找到一个解 n = 2929，后面不知是否还有别的解；
■ 4^n≡3 (mod n) 在 300 万内找到两个解 n = 137243 和 n=2517961，后面不知是否还有别的解；
■ 5^n≡4 (mod n) 在 50 万内找到一个解 n = 4769，后面不知是否还有别的解；
■ 6^n≡5 (mod n) 在 52 万内没有找到解。不知后面有没有解。

guanchunhe

上一帖中的结尾不对，正确的应该是 r