偶数M表为两个素数和的表法数变化的主要因素——素因子系数 K(m)

沟道效应

     时间又过了两年多，公式的正确性那是没得说的：好！好！好！
特别是波动系数Π[(p1-1)/(p1-2)]那是肯定的。但是，它是怎样来的？
是自己的研究成果，还是继承前辈数学家的经验式？能向网友们透露一下吗？

愚工688

沟道效应 发表于 2019-6-23 04:04
时间又过了两年多，公式的正确性那是没得说的：好！好！好！
特别是波动系数Π[(p1-1)/(p1-2)]那是肯 ...

这是我自己从素数连乘式中推理出来的。
而我的素数连乘式，与别人的计算原理都不相同：我是计算在[0，A-3]中能够构成素对A±x 的x值的数量，依据概率乘法定理推理得出的。

以前没有看过有关猜想的文献，后来有网友把哈李公式给我，其中的拉曼扭杨系数中也含有Π[(p1-1)/(p1-2)]，只是拉曼扭杨系数的p1是指小于偶数N的素因子，即可以大于√N；
而我只取偶数M的√(M-2) 内的素因子，有些偶数的波动系数值是与拉曼扭杨系数中的波动系数完全相同的，有些偶数的波动系数略有差异。
例如：
偶数22、38、94的波动系数我的都是K(m)=1 ；而拉曼扭杨系数中的波动系数中的波动系数则分别是10/9、18/17、46/45 。
从筛选M的素对来说，因为筛选素数只需要使用√(M-2) 内的素因子，因此素对数量的影响只与√(M-2) 内的素数有关。
因此我是不认同哈李公式中的波动系数的计算方法的。虽然说两者的差距很小，但是从埃氏筛法的理论看把大于√N的素因子计入式子中，纯属画蛇添足，大大减缓了拉曼扭杨系数的计算速度。
比如：我计算100亿的偶数，只需要用10万内的素数筛选，而拉曼扭杨系数的计算则需要计算到100亿内素因子，需要的计算时间呈现指数式的增多。这就是哈李公式计算比较缓慢的主要原因之一。

在1楼中：
我们可以用一个计算式来计算偶数M (M=2A)的表法数：
  Sp(m)=(A-2)P(m)----------{式1}
   式中：
        P(m)=0.5*Π[(p-2)/p ]*Π[(p1-1)/(p1-2)]；-------{式2}
        其中0.5*Π[(p-2)/p ]——是表法数发生的最低概率，这里的p是≤√(M-2)的全部奇素数,Π表示该因子的连乘形式；
        素因子系数 K(m)=Π[(p1-1)/(p1-2)]——这里的p1是指偶数M所含的≤√(M-2)的全部奇素数因子.K(m)也可称为波动系数；

那么怎么分离出素因子系数呢？
满足于条件a的x值，,它的概率计算值Sp(m)，有
Sp(m)=(A-2)*P(m)
                 =（A-2）*P(2)*P(3)*…*P(n)*…*P(r)
                =（A-2）*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r)；                          {式3}
式中：3≤ n≤r；f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n,  [jn>0时] 。jn系A除以素数n时的余数。

偶数M分成两个素数的分法数量S(m)及S1(m)值变化的主要的特征系数——K(m)
对任意一个给定偶数M，假定A除以≤ r的全部素数时的余数都不为零，此时满足条件a的x值在 [0，A-3] 中的发生概率为  P(m)min，则有
P(m)min =（1/2） * （1/3 ）* …*（(n-2)/n ）* …*（(r-2)/r）；        {式4}
其与该偶数的x值满足于条件a的事实上的分布概率P(m)之间有：
P(m)=K(m)* P(m)min；                                                {式5}
        式中，K(m)= kn1* kn2 *…；这里kn1=(n1-1)/(n1-2)，kn2=(n2-1)/(n2-2)，…；
        3 ≤ n1，n2，…,≤r； n1，n2等均为A的素因子。
很显然：对于可能成为偶数的≤r的素数因子来说，
        k3=(3-1)/(3-2)=2 ，这样的偶数在偶数中的出现频率为1/3；
        k5=(5-1)/(5-2)=4/3 ，这样的偶数在偶数中的出现频率为1/5；
        k7=(7-1)/(7-2)=1.2 ，这样的偶数在偶数中的出现频率为1/7；
        …
        kr=(r-1)/(r-2) =(r-2+1)/(r-2) =1+1/(r-2), 这样的偶数在偶数列中的出现频率为1/r ;

     显然：A的素因子越大，其对素数因子系数的影响越小，其在偶数中的出现频率越低。
   
    因此，{式3 }的Sp(m)又可表达为：
     Sp(m)=(A-2)*K(m)*P(m)min  ；                        {式6}

沟道效应

      似乎前辈数学家们并没有对Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因有个说法。既然到这里，已演变成是你的研究成果了，那么，你能给出一个证明：Π[(p1-1)/(p1-2)]不是经验之谈，而是数论定理的必然！

大傻8888888

沟道效应 发表于 2019-6-23 18:01
似乎前辈数学家们并没有对Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因有个说法。既然到这里，已演变成是你的研究成果了 ...

     Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因很简单，偶数n分整除p1和不整除p1。例如p1=3，当n整除3时，我们有1+（n-1）,2+(n-2),3+(n-3)......(n-1)+1,n+0一共n对数，这n对数里肯定n/3对数不可能是素数对（注意3+(n-3)和小于根号n的素数都有可能是素数对，但不会所有小于根号n的素数都是素数对，即使所有小于根号n的素数都是素数对，随着偶数的增大，也可以忽略不计）。同样当n不整除3时，这n对数里肯定有2n/3对数不可能是素数对。这样当n整除3时就比当n不整除3时是素数对可能要大2倍（当然n整除3时就比当n不整除3时数值相差不大，比如n整除3，n+2和n+4就不整除3）。以此类推当n整除p1比不整除p1时是素数对可能要大(p1-1)/(p1-2)倍。如果n能整除多个p1，就是 Π[(p1-1)/(p1-2)]。同时因为给定一个偶数时，n能整除多个p1的数量有限，所以用 Π[(p1-1)/(p1-2)]可以比较准确计算出素数对的个数。比如2*3*5*7*.......293*307*311是64个素数的乘积，我们知道2的64次方是个天文数字，那么前面64 个素数的乘积要远远大于2的64次方，就是这么大的偶数也只能整除64个素数。

愚工688

沟道效应 发表于 2019-6-23 10:01
似乎前辈数学家们并没有对Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因有个说法。既然到这里，已演变成是你的研究成果了 ...

网友陈君佐给我的拉曼扭杨系数的计算方法：
(一）拉曼纽扬系数C（N）=C2A（N）*C2B（N）。
(二）C2A（N）= PI(1-1/（P-1）^2）[这里P为大于“2”，N以内的全部素数]
(三）C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))[这里P为大于“2”，能整除N的全部素数]
哈代、赛尔贝格、王元、潘承洞、陈景润、华罗庚、与我（陈君佐）给出的诸多公式，都使用拉曼纽扬系数C（N），说明拉曼纽扬系数的重要性。
（二）C2A（N）的作用是什么呢？
答：C2A（N）随着N的增大而减小。最终取极值班“0.6601738”
（三）. 我的ZUO（N）~C（N）*PI（N）^2/N,------PI（N）是N以内的素数个数，-------PI（N）^2是N以内的素数个数的平方。

我的计算式是依据概率乘法定理推出的素数连乘式，其中看上去没有波动系数C2B（N）= PI((P-1)/(P-2))，实践上是隐含波动系数的。如我前面分析的那样。

前面1楼、30楼的素对数据图形可以看出素因子系数K(m)与计算值的同步变化，32楼也已经分析了素因子系数K(m)的分离原理。
对于大偶数，它们表为两个素数和的数量变化的主要因素就是素因子系数K(m)。
而消除素因子系数K(m)的影响，（即除以K(m)）那么得到的表法数区域下界计算值点的连线，是一段近似直线段。（√M内最大素数不变的区域）
参见22#的区域下界 infS(m)的计算值之变化。

实际上，目前很少有数学家研究如何高精度的计算偶数表为两个素数和的表法数的数量，因此他们还不会对偶数含有的素因子感到重视。许多数论家似乎都陷入在哥猜问题的“殆素数”陷阱中，不可自拔……

我的帖子：高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数），可以看到我的计算值能够达到的精度程度。
http://www.mathchina.com/bbs/for ... id=59160&extra=

沟道效应

34与35楼之论述，似乎言不及义，故特把旧贴《ivP首奇数＿ivPc之定义的图示》顶上来供参考。
希望有助于讨论。

愚工688

沟道效应 发表于 2019-6-25 03:30
34与35楼之论述，似乎言不及义，故特把旧贴《ivP首奇数＿ivPc之定义的图示》顶上来供参考。
希望有助于讨 ...

对《ivP首奇数＿ivPc之定义的图示》浏览了一下，不理解。
我没有对孪生素数作什么研究，以后也不想做此研究。
一个人的精力是有限的，涉及过多自己不熟悉的课题是不明智的。
谢谢！

愚工688

沟道效应 发表于 2019-6-23 10:01
似乎前辈数学家们并没有对Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因有个说法。既然到这里，已演变成是你的研究成果了 ...

正如我在1楼所说的那样：
因此，K(m)值的大小是偶数M表为两个素数和的表法数量变化的主要因素，是反映连续偶数的素对数量波动的主要参数，素因子系数 K(m)，也可称为偶数表为两个素数和（即素对）表法数量的波动系数。

当然偶数M表为两个素数和的表法数量变化的其它因素有分布不均匀造成的计算值相对误差的波动；
偶数M值的影响。等等。
对于大偶数，偶数M值的影响可以忽略.

因为任意偶数M，分成两个整数的表示形式有：p1+(M-p1),或者有：(M/2-x)+(m/2+x)
我采用的数学模型是2A=(A-x)+(A+x),这样仅仅需要解决的是唯一的变量 x与A的对应关系。
要使得(A-x)，(A+x)除以√(M-2)内的素数的余数都等于0，研究x除以素数n的余数与A除以素数n的余数的对应关系，是必由之路。
把A除以√(M-2)内的素数的余数记作j2,j3,j5,…，jn,…,jr;
那么当x除以√(M-2)内的素数的余数同时满足不等于j2,j3与(3-j3),…,jn与(n-jn),…,jr 与(r-jr)时(A-x)、(A+x)都是素数。
由于x的取值区域是个自然数区域[2，A-3]，在自然数中的数，除以素数n时的余数以n为周期依次循环，
因此如果A含有素数n，那么余数jn与(n-jn)其实是相同的。因此x除以n的余数不等于jn与(n-jn)的比率为（n-1)/n;
如果A不含有素数素因子n，那么x除以n的余数不等于jn与(n-jn)的比率为（n-2)/n;
两者之比  kn=（n-1)/（n-2);
当A含有多个素因子时，即为 K(m)=π[(n-1)/(n-2)]。

连续大偶数的各个偶数的素对数量多寡，主要由 K(m)值决定。只有在 K(m)值相差很小情况下，计算值相对误差的波动才能对排位造成影响。
比如：5亿的连续偶数的速度计算值；

G(500000000) = 1219610 ,Sp( 500000000 *)≈ 1219927.3 ,Δ≈0.00026 , k(m)= 1.33333
G(500000002) = 939454 ,Sp( 500000002 *)≈  938405.6 , Δ≈-0.00112, k(m)= 1.02564
G(500000004) = 2230221 ,Sp( 500000004 *)≈ 2229824 , Δ≈-0.00078 , k(m)= 2.43711
G(500000006) = 1053889 ,Sp( 500000006 *)≈ 1052865.4 ,Δ≈-0.00097 , k(m)= 1.15074
G(500000008) = 916242 ,Sp( 500000008 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00142 , k(m)= 1
G(500000010) = 2591642 ,Sp( 500000010 *)≈ 2589063.8 ,Δ≈-0.00099 , k(m)= 2.82975
G(500000012) = 914525 ,Sp( 500000012 *)≈  914945.5 , Δ≈ 0.00046 , k(m)= 1
G(500000014) = 924132 ,Sp( 500000014 *)≈  923625.9 , Δ≈-0.00055 , k(m)= 1.00949
G(500000016) = 1844000 ,Sp( 500000016 *)≈ 1844530.1 ,Δ≈0.00029 , k(m)= 2.016
G(500000018) = 1130024 ,Sp( 500000018 *)≈ 1129361.5 ,Δ≈-0.00059 , k(m)= 1.23435
G(500000020) = 1380190 ,Sp( 500000020 *)≈ 1380390.5 ,Δ≈0.00015 , k(m)= 1.50871
G(500000022) = 1952617 ,Sp( 500000022 *)≈ 1951883.8 ,Δ≈-0.00038 , k(m)= 2.13333
G(500000024) = 916310 ,Sp( 500000024 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00149 , k(m)= 1
G(500000026) = 915305 ,Sp( 500000026 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00039 , k(m)= 1
G(500000028) = 2036453 ,Sp( 500000028 *)≈ 2035629.7 ,Δ≈-0.000404, k(m)= 2.22486
G(500000030) = 1221685 ,Sp( 500000030 *)≈ 1222422.1 ,Δ≈0.000603, k(m)= 1.33606

把排列次序按照k(m)值大小重新排列：

G(500000010) = 2591642 ,Sp( 500000010 *)≈ 2589063.8 ,Δ≈-0.00099 , k(m)= 2.82975
G(500000004) = 2230221 ,Sp( 500000004 *)≈ 2229824 ,  Δ≈-0.00078 , k(m)= 2.43711
G(500000028) = 2036453 ,Sp( 500000028 *)≈ 2035629.7 ,Δ≈-0.000404, k(m)= 2.22486
G(500000022) = 1952617 ,Sp( 500000022 *)≈ 1951883.8 ,Δ≈-0.00038 , k(m)= 2.13333
G(500000016) = 1844000 ,Sp( 500000016 *)≈ 1844530.1 ,Δ≈0.00029 ,  k(m)= 2.016
G(500000020) = 1380190 ,Sp( 500000020 *)≈ 1380390.5 ,Δ≈0.00015 ,  k(m)= 1.50871
G(500000030) = 1221685 ,Sp( 500000030 *)≈ 1222422.1 ,Δ≈0.000603,  k(m)= 1.33606  
G(500000000) = 1219610 ,Sp( 500000000 *)≈ 1219927.3 ,Δ≈0.00026 ,  k(m)= 1.33333
G(500000018) = 1130024 ,Sp( 500000018 *)≈ 1129361.5 ,Δ≈-0.00059 , k(m)= 1.23435
G(500000006) = 1053889 ,Sp( 500000006 *)≈ 1052865.4 ,Δ≈-0.00097 , k(m)= 1.15074
G(500000002) = 939454 ,Sp( 500000002 *)≈  938405.6 , Δ≈-0.00112,  k(m)= 1.02564
G(500000014) = 924132 ,Sp( 500000014 *)≈  923625.9 , Δ≈-0.00055 , k(m)= 1.00949  
G(500000008) = 916242 ,Sp( 500000008 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00142 , k(m)= 1
G(500000012) = 914525 ,Sp( 500000012 *)≈  914945.5 , Δ≈ 0.00046 , k(m)= 1
G(500000024) = 916310 ,Sp( 500000024 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00149 , k(m)= 1
G(500000026) = 915305 ,Sp( 500000026 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00039 , k(m)= 1

很显然，k(m)值大的偶数素对真值也大。
只有在k(m)= 1的4个偶数中素对真值的排列呈现无序，而其中相对误差小的偶数的素对相应多一点。

愚工688

沟道效应 发表于 2019-6-23 10:01
似乎前辈数学家们并没有对Π[(p1-1)/(p1-2)]的成因有个说法。既然到这里，已演变成是你的研究成果了 ...

正如我在1楼所说的那样：
因此，K(m)值的大小是偶数M表为两个素数和的表法数量变化的主要因素，是反映连续偶数的素对数量波动的主要参数，素因子系数 K(m)，也可称为偶数表为两个素数和（即素对）表法数量的波动系数。

当然偶数M表为两个素数和的表法数量变化的其它因素有分布不均匀造成的计算值相对误差的波动；
偶数M值的影响。等等。
对于大偶数，偶数M值的影响可以忽略.

因为任意偶数M，分成两个整数的表示形式有：p1+(M-p1),或者有：(M/2-x)+(m/2+x)
我采用的数学模型是2A=(A-x)+(A+x),这样仅仅需要解决的是唯一的变量 x与A的对应关系。
要使得(A-x)，(A+x)除以√(M-2)内的素数的余数都等于0，研究x除以素数n的余数与A除以素数n的余数的对应关系，是必由之路。
把A除以√(M-2)内的素数的余数记作j2,j3,j5,…，jn,…,jr;
那么当x除以√(M-2)内的素数的余数同时满足不等于j2,j3与(3-j3),…,jn与(n-jn),…,jr 与(r-jr)时(A-x)、(A+x)都是素数。
由于x的取值区域是个自然数区域[2，A-3]，在自然数中的数，除以素数n时的余数以n为周期依次循环，
因此如果A含有素数n，那么余数jn与(n-jn)其实是相同的。因此x除以n的余数不等于jn与(n-jn)的比率为（n-1)/n;
如果A不含有素数素因子n，那么x除以n的余数不等于jn与(n-jn)的比率为（n-2)/n;
两者之比  kn=（n-1)/（n-2);
当A含有多个素因子时，即为 K(m)=π[(n-1)/(n-2)]。

连续大偶数的各个偶数的素对数量多寡，主要由 K(m)值决定。只有在 K(m)值相差很小情况下，计算值相对误差的波动才能对排位造成影响。
比如：5亿的连续偶数的速度计算值；

G(500000000) = 1219610 ,Sp( 500000000 *)≈ 1219927.3 ,Δ≈0.00026 , k(m)= 1.33333
G(500000002) = 939454 ,Sp( 500000002 *)≈  938405.6 , Δ≈-0.00112, k(m)= 1.02564
G(500000004) = 2230221 ,Sp( 500000004 *)≈ 2229824 , Δ≈-0.00078 , k(m)= 2.43711
G(500000006) = 1053889 ,Sp( 500000006 *)≈ 1052865.4 ,Δ≈-0.00097 , k(m)= 1.15074
G(500000008) = 916242 ,Sp( 500000008 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00142 , k(m)= 1
G(500000010) = 2591642 ,Sp( 500000010 *)≈ 2589063.8 ,Δ≈-0.00099 , k(m)= 2.82975
G(500000012) = 914525 ,Sp( 500000012 *)≈  914945.5 , Δ≈ 0.00046 , k(m)= 1
G(500000014) = 924132 ,Sp( 500000014 *)≈  923625.9 , Δ≈-0.00055 , k(m)= 1.00949
G(500000016) = 1844000 ,Sp( 500000016 *)≈ 1844530.1 ,Δ≈0.00029 , k(m)= 2.016
G(500000018) = 1130024 ,Sp( 500000018 *)≈ 1129361.5 ,Δ≈-0.00059 , k(m)= 1.23435
G(500000020) = 1380190 ,Sp( 500000020 *)≈ 1380390.5 ,Δ≈0.00015 , k(m)= 1.50871
G(500000022) = 1952617 ,Sp( 500000022 *)≈ 1951883.8 ,Δ≈-0.00038 , k(m)= 2.13333
G(500000024) = 916310 ,Sp( 500000024 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00149 , k(m)= 1
G(500000026) = 915305 ,Sp( 500000026 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00039 , k(m)= 1
G(500000028) = 2036453 ,Sp( 500000028 *)≈ 2035629.7 ,Δ≈-0.000404, k(m)= 2.22486
G(500000030) = 1221685 ,Sp( 500000030 *)≈ 1222422.1 ,Δ≈0.000603, k(m)= 1.33606

把排列次序按照k(m)值大小重新排列：

G(500000010) = 2591642 ,Sp( 500000010 *)≈ 2589063.8 ,Δ≈-0.00099 , k(m)= 2.82975
G(500000004) = 2230221 ,Sp( 500000004 *)≈ 2229824 ,  Δ≈-0.00078 , k(m)= 2.43711
G(500000028) = 2036453 ,Sp( 500000028 *)≈ 2035629.7 ,Δ≈-0.000404, k(m)= 2.22486
G(500000022) = 1952617 ,Sp( 500000022 *)≈ 1951883.8 ,Δ≈-0.00038 , k(m)= 2.13333
G(500000016) = 1844000 ,Sp( 500000016 *)≈ 1844530.1 ,Δ≈0.00029 ,  k(m)= 2.016
G(500000020) = 1380190 ,Sp( 500000020 *)≈ 1380390.5 ,Δ≈0.00015 ,  k(m)= 1.50871
G(500000030) = 1221685 ,Sp( 500000030 *)≈ 1222422.1 ,Δ≈0.000603,  k(m)= 1.33606  
G(500000000) = 1219610 ,Sp( 500000000 *)≈ 1219927.3 ,Δ≈0.00026 ,  k(m)= 1.33333
G(500000018) = 1130024 ,Sp( 500000018 *)≈ 1129361.5 ,Δ≈-0.00059 , k(m)= 1.23435
G(500000006) = 1053889 ,Sp( 500000006 *)≈ 1052865.4 ,Δ≈-0.00097 , k(m)= 1.15074
G(500000002) = 939454 ,Sp( 500000002 *)≈  938405.6 , Δ≈-0.00112,  k(m)= 1.02564
G(500000014) = 924132 ,Sp( 500000014 *)≈  923625.9 , Δ≈-0.00055 , k(m)= 1.00949  
G(500000008) = 916242 ,Sp( 500000008 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00142 , k(m)= 1
G(500000012) = 914525 ,Sp( 500000012 *)≈  914945.5 , Δ≈ 0.00046 , k(m)= 1
G(500000024) = 916310 ,Sp( 500000024 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00149 , k(m)= 1
G(500000026) = 915305 ,Sp( 500000026 *)≈  914945.5 , Δ≈-0.00039 , k(m)= 1

很显然，k(m)值大的偶数素对真值也大。
只有在k(m)= 1的4个偶数中素对真值的排列呈现无序，而其中相对误差小的偶数的素对相应多一点。

愚工688

白新岭 发表于 2019-6-21 10:34
愚工688对网友看法比较客观。

把偶数2A (M=2A)表为两个整数的形式做个改变：M=(A-x)+(A+x) 。
于是我们使用艾拉托尼筛法来筛选偶数2A的素对就可以从原来的筛选 M-2 以下的全部素数再配对的方式转变成筛选能够使得A-x与A+x两个数不能被≤√(M-2)的全部素数整除的x。
由于A是所求偶数2A的半值，是已知值，由此实际上就是要在x值的取值区间[0,A-3]中筛掉能够与A组成的A-x及A+x能够被 ≤√(M-2)的全部素数整除的数x。
那么筛余的数x必然能够与A构成A±x 都不能被≤√(M-2)的全部素数整除，成为素数对。
这样筛选x与偶数2A建立了紧密的关联。

判断x所构成的A-x与A+x 是否成为素对，可以归纳为如下2个情况：
条件a ：A-x与A+x 两个数同时不能够被≤r的所有素数整除时，成为素数对；这是偶数表为两个素数和的主要部分；是能够用连乘式进行近似计算的；
条件b：A+x不能够被≤r的所有素数整除，而A-x等于其中某个素数，两个数也都是素数；（这相当于素数筛选中作为筛子的≤√x 的素数部分）这部分的素数对数量缺乏计算条件，其数量相对于条件a的素对数量，随偶数M的增大，最大占比会越来越小。

怎么样筛选符合条件a ：A-x与A+x成为素数对的x值呢？（不考虑符合条件b的x值的筛选）

显然要使得A-x与A+x 都不能够被≤r的所有素数整除，那么x与A值除以这些素数的余数之间必然有对应的关系：
把A除以素数2，3，…,n,…，r时的余数记为j2,j3,…，jn,…，jr，那么
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于j2,j3,…，jr中的某个值时，那么A-x必然能够被该值所对应的素数整除；
当x除以素数2，3，…，r时的余数等于A除以某个素数n余数的补数(n-jn)时，那么A+x必然能够被该素数n整除。

因此，当x值除以素数2，3，…，r时余数同时满足不等于j2、j3及(3－j3)、j5及(5－j5)、…、jr及(r -jr)时的数，必然能够与A构成偶数的素对A±x;
（j2,j3,…，jr系A除以素数2，3，…，r时的余数。）

由于自然数中除以素数n是的余数是以素数值n为周期循环变化的，
显然在x取值的自然数区间中，
除以2时，余数满足不等于j2 的数的发生概率为1/2；这是不变的，故计算素因子只考虑奇素因子。
除以3时，余数满足不等于j3 及（3-j3 ）的数的发生概率为（3-2）/3，（j3≠0时）；或发生概率为（3-1）/3，（j3=0时）；
除以5时，余数满足不等于j5 及（5-j5 ）的数的发生概率为（5-2）/5，（j5≠0时）；或发生概率为（5-1）/5，（j5=0时）；
…
除以n时，余数满足不等于jn 及（n-jn）的数的发生概率为（n-2）/n，（jn≠0时）；或发生概率为（n-1）/n，（jn=0时）；
…
除以r时，余数满足不等于jr 及（r-jr）的数的发生概率为（r-2）/r，（jr≠0时）；或发生概率为（r-1）/r，（jr=0时）；

而偶数含有素因子n与不含有n的概率之比为：kn=(n-1)/n÷[(n-2)/n]=(n-1)/(n-2)
偶数若含有多个素因子时则叠乘： K(m)=k1*k2*k3*… ，
当然偶数M不可能含有太多的素因子，因为奇素因子的乘积小于A。

故在[0，A-3] 中的这个自然数区域中使偶数Ｍ分成两个符合条件a的素数的x值数量的概率计算值Sp(m)，有：
Sp(m)=(A-2)P(m)
= (A-2) P(2·3·…·n·…·r)
=(A-2)*P(2)P(3)…P(n)…P(r)
=(A-2)*(1/2)*f(3)*…*f(n)*…*f(r). -----------{式3}
式中：3≤ n≤r；n是素数。f(n)=(n-1)/n, [jn=0时]；或f(n)=(n-2)/n, [jn>0时] 。jn系A除以n时的余数。

可以把偶数含有的奇素因子形成的素因子系数单独显示出来：
Sp(m)=(A-2)P(m)
=(A-2)*0.5π(1- 2/r )* π[(p1-1)/(p1- 2)]；---------{式3 b}
式中：p1系偶数含有的奇素数，p1≤r ;
        π[(p1-1)/(p1- 2)]=K(m),  K(m)值近似反映了实际偶数素数对数量的波动幅度，也可称为波动系数。