数列 0.1，0.12，0.123，0.1234，0.12345，0.123456，…… 的极限存在吗？为什么？

elim

ataorj 发表于 2017-10-22 17:53
比如1.0000....
这种表达有什么意思

数学的理论需要普适性，0.333... = 1/3 的必然推理是 0.999... = 1. 后者没有什么实践意义，但也没有错。前者有很大的实践意义，一个实数的十进制展开式是真正i能够表示其大小的形式。说某些实数没有确定的十进小数展开跟说一个实数没有确切大小一样荒谬。在现行数学的框架中，每个实数都有十进制小数精确表示，但这不等于人们能够写完或者知道它的每一位的数值。例如 pi 的十进制展开定性地是存在唯一因而是定数，但具体地，人们还会不断地计算(发现)这个展开式的更多位置上的值。所以现行数学把 pi 的十进展开看成是客观存在，而数学的任务是对它有更多的了解。直觉主义的提倡者们的观点与之不同，他们认为人们不断写出 pi 的有限小数逼近这件事是在构造 pi 的十进表示，因为这个工作没完没了，所以pi 没有绝对准的无尽小数表示。

把无尽小数比作实数的基因，直觉主义认为人们在构造这个基因，而现行数学则认为这个基因是客观存在的，不以人的意志为转移的，虽然人类不能穷尽对其的认识，但可以逐步加深认识。直觉主义的数学观大致说来就是这样与现代一切科学的客观主义视角格格不入，所以至今不成体系，追随者寥寥无几。无论从人类科学发展的总趋势来看，还是从直觉主义一个世纪以来的表现来看，这是一条越走越没有希望的道路。