请教陆老师一个关于射影几何的问题

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/10 07:00pm 第 10 次编辑]


我又在软件中试了一下，用任意平面去截射影几何的封闭曲面，结果紫、红、蓝、绿、黄、黑、橙黄都可以截出来，唯有天蓝色曲线截不出来（同时过A点和C?点的平面只会和曲面相交于紫色自交线，而不会出现另外一条封闭曲线），请问陆老师：这是为什么？
如下图所示：

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/09 06:59pm 发表的内容：
对，第 9 楼图中的直线段 AC ，只不过是曲面自相交的交线。在交线处，两支曲面互相穿越，但并不粘连。
无穷远直线（紫红色线）可以像 24、26 楼那样，画在交线处，成为 ABC、CDA 这样两条看来重合在一起、其实不重合的直线段。

“不粘连”、“不重合”如果指的是四维空间的情形，那是当然的；但是从三维空间来看，这个地方应该是粘连的，也是重合的。
陆老师您是这个意思吗？

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/10 10:32pm 第 2 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/04/09 06:59pm 发表的内容：
顺便说一句：第 9 楼的图，我画得有一点不对， ABC、CDA 两条弧线，不应该画成一条实线、一条虚线。因为这两条弧线分别在互相穿越的曲面的不同的两支上，应该像第 26 楼左图那样，将它们都画成实线（或者将它们都画成虚线）。

第 26 楼左图经过A、C两点的有五条线：两条是紫色弧线，两条是蓝色弧线，还有一条是灰色线段。
请问陆老师：这条灰色线段仍然还是曲面上的自交线吗？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/10 09:41pm 第 1 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/10 07:19pm 发表的内容：
第 26 楼左图经过A、C两点的有三条线：两条是紫色弧线，还有一条是灰色线段。
请问陆老师：这条灰色线段仍然还是曲面上的自交线吗？

第 26 楼左图中的灰色直线段是曲面的自相交线。

天茂

下面引用由luyuanhong在 2012/04/10 09:40pm 发表的内容：
第 26 楼左图中的灰色直线段是曲面的自相交线。

那么，该图中的两条紫色弧线和两条蓝色弧线，是怎样形成的？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/04/11 00:02am 第 2 次编辑]

下面引用由天茂在 2012/04/10 10:34pm 发表的内容：
那么，该图中的两条紫色弧线和两条蓝色弧线，是怎样形成的？

不太明白你说的“形成”是什么意思。
你的意思是不是说，一定要用一个平面作截面，得到的截线，才算是“形成”？
如果是这样的想法，那是没有道理的，为什么只有作截线得到的才算是闭曲线呢？
其实，只要是可以在曲面上画出的闭曲线，不管怎样弯曲变形，都是闭曲线。
下面右图中的紫红色弧线和蓝色弧线，可以看作是由左图中的紫红色无穷远直线
和蓝色闭曲线,经过拓扑变形，变化得到的：

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2012/04/11 08:21am 第 6 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2012/04/10 11:43pm 发表的内容：
不太明白你说的“形成”是什么意思。
你的意思是不是说，一定要用一个平面作截面，得到的截线，才算是“形成”？
如果是这样的想法，那是没有道理的，为什么只有作截线得到的才算是闭曲线呢？
其实，只要是可以　...

谢谢陆老师！
我一直以为，一定要用一个平面作截面，得到的截线，才能算是“射影平面上的直线”。
实际上，我昨晚已经想通了，这个想法之所以没有道理，是因为射影平面所形成的封闭曲面是可以变形（拓扑变换）的。
不过，“射影平面上的直线”到底有何特征（充要条件）呢？（“与无穷远直线只有一个交点”可算一个特征，但仅仅是一个必要条件而已，而且这里还有循环论证之嫌，因为要想确认“无穷远直线”首先需要确认“直线”），通过讨论，我发现，直线与二次曲线（椭圆、抛物线、双曲线）可以互相变换，这样就更增加了找到其特征（充要条件）的难度。
百思不得其解，特向陆老师请教。

luyuanhong

天茂

请问陆老师：
上帖中，如何在左图中画出右图中的灰色线段 AC （曲面的自交线）？

luyuanhong

下面引用由天茂在 2012/04/11 09:19pm 发表的内容：
请问陆老师：
上帖中，如何在左图中画出右图中的灰色线段 AC （曲面的自交线）？