积分题目，面试碰到的，做不出来就不能上班！！

zhaolu48

很对不起网友：
我的方法对垂直球缺底面的切割成的几何体是错误的，也就是说用拟柱体体积公式是不适用的。
这多亏了天山草朋友在发给我的Email中详细计算，再经过我的再次思考，才知道了我的错误所在。
因为用半球计算，所有截面都是半圆，即截面都是相似的。
而对于球缺，垂直于底面的截面不是相似形，因此用拟柱体公式是不适用的。
对于球台，或半球台，
与大圆距离为x的截面（小圆）的半径的平方为r^2-x^2，从而其截面面积为π(r^2-x^2)，
因此高为h的球台或半球台是关于x的二次函数的积分，可以用拟柱体公式；
而对于球缺，截面面积已经不是关于x的幂函数了，因此用拟柱体体积公式就不适用了。

芙凯湾

这是一个简图

芙凯湾

主要是确定积分限，然后就一步步算就OK了，过程比较长，有时间再发吧

天山草

楼主还在研究此题吗？我用 zhaolu48 老师给出的公式进行积分，早已有了结果。只是必须积分才行，如果不允许积分，是不能得到准确结果的。下面对几个具体数据给出计算结果：
r0=10, L0=5, H=6, 则 V=165.38966457555；
r0=10, L0=6, H=5, 则 V=144.646317738038；
r0=10, L0=7, H=3, 则 V= 62.4781740914003。
计算程序同时上传，不知能否上传成功。

芙凯湾

一直没时间把步骤发上来，我已经化简，芙凯湾请大家指点！

luyuanhong

补充说明一点：公式中的 R 是球半径，不是圆柱底面半径 R0 。
  R=(R0^2/L0+L0)/2 。
只有当 L0=R0 时，才有 R=R0。

芙凯湾

我上传的文件中，有步骤还有验证程序，楼主不信可以试一下,我的结果是准确值，“天山草”用编程的方法近似计算的值，和我的是一致的.也许上次的文件看不清，我己更改，应该可以看清。

天山草

[这个贴子最后由天山草在 2006/11/25 10:00pm 第 2 次编辑]

芙凯湾先生：您好！
    最终结论是什么呀？ 究竟能不能积分得出一个计算体积的解析公式呢？您的数学功底很好，希望邮箱联系：cao_hai_feng@163.com
    您得到的那个积分表达式，说是“一般情况下不能积出来”，最后那个算体积的公式又是准确公式，是另外途径导出的准确公式吗？[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 天山草 在 时添加 -=-=-=-=-
我这里还有一个正圆锥算体积的问题，是用与圆锥轴线平行的平面去截圆锥（平面与轴线有距离），计算较小部分的体积。我也没有得到准确公式，但可以积分做出。希望邮箱交流。

天山草

经验证，芙凯湾的公式是一个没有误差的准确公式，等于做出了一个很困难的定积分，很不简单！
只是您的 C 语言程序不够精密，使用双精度变量才好。这样，您的准确公式与本人的积分计算结果就是完全一样的了，请看下述数据：
R0=10，L0=5，H=6
精确 V=165.38966457555
积分 V=165.38966457555
R0=10，L0=6，H=5
精确 V=144.64631773804
积分 V=144.64631773804
R0=10，L0=7，H=3
精确 V=62.4781740914
积分 V=62.4781740914
R0=10，L0=9.999999999999，H=9.999999999999
精确 V=1047.19755119628
积分 V=1047.19755119629