[原创]k生素数群的数量公式

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The first of the Hardy-Littlewood conjectures. The k-tuple conjecture states that the asymptotic number of prime constellations can be computed explicitly. In particular, unless there is a trivial divisibility condition that stops p, p+a_1, ..., p+a_k from consisting of primes infinitely often, then such prime constellations will occur with an asymptotic density which is computable in terms of a_1, ..., a_k. Let 0<m_1<m_2<...<m_k, then the k-tuple conjecture predicts that the number of primes p<=x such that p+2m_1, p+2m_2, ..., p+2m_k are all prime is
第一个 hardy-littlewood 猜想。K 元组猜想表明素数星座的渐近数可以被显式地计算。特别是，除非有一个平凡的可分性条件阻止 p，p + a 1，... ，p + a k 无限经常由素数组成，那么这样的素数星座将会出现一个可以用 a 1，... ，a k 计算的中性密度。设0 < \(m_1 \)< \(m_2 \)< \(m_k\)，则 k 元素组猜想 p ≤ x，使 p + 2 \(m_1\)，p + 2 \(m_2\)，... ，p + 2 \(m_k \)均为素数

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that the number of primes p<=x such that p+2m_1, p+2m_2, ..., p+2m_k are all prime is

pi_(m_1,m_2,...,m_k)(x)～C(m_1,m_2,...,m_k)int_2^x(dt)/(ln^(k+1)t),        
(1)
where

C(m_1,m_2,...,m_k)=2^kproduct_(q)(1-(w(q;m_1,m_2,...,m_k))/q)/((1-1/q)^(k+1)),        
(2)
the product is over odd primes q, and
素数 p < = x 使得 p + 2 m 1，p + 2 m 2，. 。. ，p + 2m _ k 都是素数 pi _ (m _ 1，m _ 2，... ，m _ k)(x)～ c (m _ 1，m _ 2，... ，m _ k) int _ 2 ^ x (dt)/(ln ^ (k + 1) t) ,(1)其中 c (m_1，m_2，... ，m_k) = 2 ^ kproduct _ (q)(1-(w (q; m_1，... ，m_k))/q)/((1-1/q) ^ (k + 1)) ，(2)乘积是奇素数 q，且
这段话的大概意思，给出k生素数的数量公式，也给出了系数，系数中分子素数p去掉所占的不同余数类的数目。

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the product is over odd primes q, and

w(q;m_1,m_2,...,m_k)        
(3)
denotes the number of distinct residues of 0, m_1, ..., m_k (mod q) (Halberstam and Richert 1974, Odlyzko et al. 1999). If k=1, then this becomes

C(m)=2product_(q; q prime)(q(q-2))/((q-1)^2)product_(q|m)(q-1)/(q-2).        
(4)
This conjecture is generally believed to be true, but has not been proven (Odlyzko et al. 1999).

The twin prime conjecture
乘积在奇素数 q 上，w (q; m _ 1，m _ 2，... ，m _ k)(3)表示0，m _ 1，... ，m _ k (mod q)(halberstam 和 richert 1974，odlyzko 等人1999)的明显剩余数。如果 k = 1，那么这就是 c (m) = 2product _ (q; q prime)(q (q-2))/(q-1) ^ 2) product _ (q | m)(q-1)/(q-2)。(4)这个猜想通常被认为是正确的，但是还没有被证明(odlyzko et al. 1999)。孪生素数猜想

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The twin prime conjecture

pi_2(x)～2Pi_2int_2^x(dx)/((lnx)^2)        
(5)
is a special case of the k-tuple conjecture with S={0,2}, where Pi_2 is known as the twin primes constant.
孪生素数猜想 pi _ 2(x)～2 pi _ 2 int _ 2 ^ x (dx)/(lnx) ^ 2)(5)是具有 s = {0,2}的 k 元组猜想的一个特例，其中 pi _ 2被称为孪生素数常数。

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The following special case of the conjecture is sometimes known as the prime patterns conjecture. Let S be a finite set of integers. Then it is conjectured that there exist infinitely many k for which {k+s:s in S} are all prime iff S does not include all the residues of any prime. This conjecture also implies that there are arbitrarily long arithmetic progressions of primes.
以下这个猜想的特例有时被称为素模猜想。我们是一组有限的整数。然后我们假设存在无穷多个 k，其中 s 中的{ k + s: s 都是素数当且仅当 s 不包括任何素数的所有剩余。这个猜想也暗示了素数有任意长的算术级数

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SEE ALSO:
Arithmetic Progression, Dirichlet's Theorem, Hardy-Littlewood Conjectures, Prime Arithmetic Progression, Prime Constellation, Prime Quadruplet, Twin Prime Conjecture, Twin Primes, Twin Primes Constant
参见: 等差数列，狄里克莱定理，哈迪-利特伍德猜想，素数等差数列，素数星座，四胞胎质数，孪生素数猜想，孪生素数，孪生素数常数

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REFERENCES:
Brent, R. P. "The Distribution of Small Gaps Between Successive Primes." Math. Comput. 28, 315-324, 1974.

Brent, R. P. "Irregularities in the Distribution of Primes and Twin Primes." Math. Comput. 29, 43-56, 1975.

Halberstam, E. and Richert, H.-E. Sieve Methods. New York: Academic Press, 1974.

Hardy, G. H. and Littlewood, J. E. "Some Problems of 'Partitio Numerorum.' III. On the Expression of a Number as a Sum of Primes." Acta Math. 44, 1-70, 1923.

Odlyzko, A.; Rubinstein, M.; and Wolf, M. "Jumping Champions." Experiment. Math. 8, 107-118, 1999.

Riesel, H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization, 2nd ed. Boston, MA: Birkh&#228;user, pp. 66-68, 1994.
参考文献: brent r.p.”连续质数之间的小间隔分布”数学。计算。28,315-324,1974.Brent r. p.”素数和孪生素数分布的不规则性”数学。计算。29,43-56,1975.Halberstam e 和 richert h.-e。筛法。纽约: 学术出版社，1974年。哈代，g.h. 和利特伍德，法学博士”数量分配的一些问题”三。一个数作为素数之和的表达式”数学学报。44,1-70,1923.奥德里兹科，a. ; 鲁宾斯坦，m. ; 沃尔夫，m.”跳跃冠军”实验。数学。1999年8,107-118。莱塞尔，h 素数和因式分解的计算机方法，第二版。波士顿，马萨诸塞州: birkh&#228;user，pp. 66-68,1994。

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Weisstein, Eric W. "k-Tuple Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/k-TupleConjecture.html
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现在国外有没有关于K生素数的文章 ？

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