[原创]k生素数群的数量公式

白新岭

小插曲：为什么把差值为6的一对素数称为性感素数？因为6在拉丁文中的拼写是“sex”，英文的意思是性感。

最伟大的在世数学家陶哲轩正在积极研究这个问题。

哪些正多边形是可构成的？

正多边形是可构成的是指可以用圆规和直尺构成。例如，正五边形可以用圆规和直尺构成，而正七边形则不能。

可构成[的]（constructible）是1993年公布的数学名词——百科

古希腊人知道如何构成边数为n=3,4,5的正多边形，他们也知道如何构成边数为给定正多边形两倍的正多边形。

所以他们可以构成正多边形，其中边数为n={6,12,24...4,8,16... 5,10,20...}，以此类推。

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自然要问的问题是，什么样的n值是可构成的？

从希腊人第一次研究这个问题到1796年一个19岁的少年构成了一个正17边形，这个问题的真正进展花了近2000年。这个孩子不是别人，正是卡尔-弗里德里希-高斯。几年后，高斯想出了这个一般问题的答案。

我们所知道的可构成的正多边形：

高斯研究指出，当且仅当n是2的幂和任何费马素数的乘积时，就可以用圆规和直尺构成一个规则的正多边形。

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费马素数的形式是：
\(2^{2^n}+1\)
因此，寻找所有可构成的多边形的问题可简化为寻找所有费马素数。这是个独立的开放性问题。

最前面的几个费马数（不是费马素数）是3, 5, 17, 257, 65537, 4294967297........截至2021年，已知的费马素数只有F0=3、F1=5、F2=17、F3=257和F4=65537。

费马猜想，所有的费马数都是素数。1732年，欧拉发现F5（4294967297）不是素数，它有因数641。从那时起，我们已经证明，n=5,6...31的费马数是合数。在F4之后没有已知的费马素数。

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当我们能够找到关于费马素数存在性的答案的那一天，我们就会得到所有可构成的正多边形。

哥德巴赫猜想。(1742)

每个偶数都可以表示为两个素数之和。

哥德巴赫弱猜想：

每个大于5的奇数都可以表示为三个素数之和。

这个猜想被称为 "弱猜想"，因为如果强猜想被证明，那么这个猜想也会是真的。不幸的是，自欧拉以来，经过几代数学家的努力，我们也没能证明这两个猜想。

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注：2013年，哈拉尔德-赫夫考特（Harald Helfgott ）发表了哥德巴赫弱猜想的证明。截至2018年，该证明在数学界被广泛接受，但还没有在同行评议的期刊上发表。

我们所知道的哥德巴赫猜想

1930年，有人证明，任何大于1的自然数都可以写成不超过C的素数之和，其中C<800000。（哥德巴赫猜想中c=2）
在过去的十年中，每个偶数n≥4实际上是不超过4个素数(即C≤6)的和。后来，这一结果被加强到C≤4。
有趣的是，哥德巴赫猜想是2007年西班牙电影《费马的房间》中的部分情节。

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素数在P中（2004）

免责声明：文章的标题有误导性。在展示了4个未解决的结果后，我想展示一个长期存在的数学问题（第5个问题），这个问题最近（2004年）已经被解决了。

假设给你一个数字n=10089886811898868001。

有人问你，这个数字是否是质数。你的直觉是这样的。

算法A：检查每个数字1<k<n，k能被n整除。如果n不是素数，那么n将有一个因子k，使得k≤根号n，这个嗅觉用于优化算法。

算法B：所以我们只检查1 <k ≤ √n。

首先，什么是'P'？

如果存在一种 "快速 "算法，可以解决决策问题（返回 "是 "或 "否"），那么就可以说一个决策问题在 "P "中。

这里，决策问题是，给定n，n是素数吗？

那什么是快速算法？

对于任何给定的决策问题，你将有一个输入大小（让我们称之为x）。
对于这问题，输入大小是数字n的位数。
因此，对于上述n，x=20。
一般来说，对于一个给定的n，x=log(n)
如果一个算法能在f(x)步内解决决策问题，其中f是一个多项式函数，则该算法被称为快速算法（多项式时间算法）。

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如果我们看一下上面的算法，找出n是否是素数，我们就会发现我们在算法A中用了n步，在算法B中用了√n步。

由于我们的输入大小是log(n)。

让我们把一个给定输入大小x的算法的步骤数称为γ(x)

对于算法A：

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对于算法A：


对于算法B：


这两个都是以x为单位的指数时间算法，400多年来，数学家们一直试图弄清楚素数的决策问题是否可以用多项式时间来计算。事实证明，答案是 "是的"。2004年，当一位教授宣布这一结果时，这一消息在数学界（特别是数论界）快速传播。

该算法（著名的AKS素数测试）被发表在一篇名为 "Primes Is In P "的论文中，它表明这个决策问题（n是否为素数），可以在log(n)^12步内解决。

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疯狂的图灵机，揭示数学的基本极限，解决哥德巴赫猜想和黎曼假设
目前已知运行时间最长的五规则图灵机的可视化。每一列像素代表计算中的一步，从左向右移动。黑色方块表示机器打印了1的位置。最右边的一列显示了当图灵机停止时的计算状态。
程序员通常希望最小化代码的执行时间。但在1962年，匈牙利数学家提博尔·拉多提出了相反的问题。他问，一个简单的计算机程序在终止之前最多能运行多少步骤？拉多将这些效率最高但仍能正常工作的程序称为“忙碌的海狸”。

自从1984年在《科学美国人》的“计算机娱乐”专栏中流行以来，对于程序员和其他数学爱好者来说，寻找这些程序一直是一个极其有趣的谜题。但在过去的几年里，忙碌的海狸游戏已经成为一个研究的对象，因为它与数学中一些最崇高的概念和开放问题产生了联系。

最近的工作表明，搜索长时间运行的计算机程序可以阐明数学知识的状态，甚至告诉我们什么是可知的。根据研究人员的说法，“忙碌的海狸”游戏为评估某些问题的难度提供了一个具体的基准，例如尚未解决的哥德巴赫猜想和黎曼假设。它甚至让我们看到，数学背后的逻辑基石在哪里崩溃了。近一个世纪前，逻辑学家库尔特·哥德尔就证明了这种数学未知领域的存在。但忙碌的海狸游戏可以显示它实际上在数轴上的位置，就像一幅描绘世界边缘的古老地图

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这是一个连接，里面稀奇古怪。