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楼主: 蔡家雄

数论小猜想

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发表于 2023-1-15 06:15 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2023-1-15 07:27 编辑
cz1 发表于 2023-1-14 11:04
lusishun:王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5,王师的解答,
a=20k+8,  b=15k+6,  c=12k+5,
...


用凑指数法解:
设a+b=m,
a·a^2+b·a^2=m·a^2
两边再同乘以:(a^2·b)^3
a^3(a^2·b)^3+(a^2·b)^4=m·a^2·(a^2·b)^3.
两边再同乘以(m·a^8·b^3)^24.
(待续)
(这里的a+b=m,是程先生提示的。没有他的提示,我还得摸索很长时间)
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发表于 2023-1-15 09:10 | 显示全部楼层
cz1 发表于 2023-1-14 19:04
lusishun:王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5,王师的解答,
a=20k+8,  b=15k+6,  c=12k+5,
...

王守恩老师也开始懂程氏高次方程
a^3+b^4=c^5,王师的解答,
a=2^(20k+8),  b=2^(15k+6),  c=2^(12k+5),
王老师的答案非常棒!

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共四人了,赞  发表于 2023-1-15 09:17
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发表于 2023-1-15 11:21 | 显示全部楼层
  五次方程挑战人类智慧

(1)S^5=A^5+B^5+C^5 有正整数解吗?
若(1)无解,则
(2)S^5=A^5+B^5+C^5+D^5 有正整数解吗?
若(2)无解,则
(3)S^5=A^5+B^5+C^5+D^5+E^5 有正整数解吗?

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(1)种情况,有,  发表于 2023-1-15 13:03
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 楼主| 发表于 2023-1-15 12:15 | 显示全部楼层
【同次素数幂和方程猜想】

若 n 为素数,

则 一个(n^k)次幂表为1+φ(n^k)个(n^k)次幂之和均有正整数解。

一个(2^1)次幂表为1+φ(2^1)=2个(2^1)次幂之和均有正整数解,
一个(2^2)次幂表为1+φ(2^2)=3个(2^2)次幂之和均有正整数解,
一个(2^3)次幂表为1+φ(2^3)=5个(2^3)次幂之和均有正整数解,

一个(3^1)次幂表为1+φ(3^1)=3个(3^1)次幂之和均有正整数解,
一个(3^2)次幂表为1+φ(3^2)=7个(3^2)次幂之和均有正整数解,

一个6次幂表为1+φ(2)+1+φ(3)=5个6次幂之和均有正整数解,

一个10次幂表为1+φ(2)+1+φ(5)=7个10次幂之和均有正整数解,


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发表于 2023-1-15 15:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2023-1-15 07:24 编辑
lusishun 发表于 2023-1-14 22:15
用凑指数法解:
设a+b=m,
a·a^2+b·a^2=m·a^2


接续:X=a^67·b^25·m^8,
           Y=a^50·b·^18·m^6,
           Z=m^5·a^40·b^15.
其中,a,b大于0的整数,a+b=m.
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发表于 2023-1-15 18:21 | 显示全部楼层
五次方程挑战人类智慧

(1)S^5=A^5+B^5+C^5 有正整数解吗?
若(1)无解,则
(2)S^5=A^5+B^5+C^5+D^5 有正整数解吗?
若(2)无解,则
(3)S^5=A^5+B^5+C^5+D^5+E^5 有正整数解吗?

点评 lusishun
(1)种情况,有,  发表于 2023-1-15 13:03

lusishun 发现了新大陆 ?

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我倒喜欢提出问题,解决问题,一种思考习惯吧!  发表于 2023-1-16 05:56
WIc1,您说俺发现了新大陆,过奖,谢谢,  发表于 2023-1-16 05:55
1有解,但其解尚不知道。  发表于 2023-1-15 19:07
2的最小解是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5;3的最小解是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。  发表于 2023-1-15 19:06
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发表于 2023-1-15 19:02 | 显示全部楼层
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b;
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时,b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8,……;见表中第2行的各个数字;
当k=2时,b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……;见表中第3行的各个数字;
5——5^2=4^2+3^2;3——3^2=2^2+2^2+1^2;2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2;4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2;……
当k=3时,b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……;见表中第4行的各个数字;
其中的1表示b^3=a1^3,最小底数b=1;0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b;6表示6^3=3^3+4^3+5^3;……
竖着看
当n=1时,b^k=a1^k之最小底数b都是1,见表中第2列;
当n=2时,只有b^1和b^2有解,其中2表示2^1=1^1+1^1;5表示5^2=4^2+3^2;以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k;见表中第3列;
当n=3时,见表中第4列数字3,3,6,422481,?,?,……
第1个3——3=1+1+1;第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2;6——6^3=3^3+4^3+5^3;422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4;……
各个问号“?”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解,但没有找到这样的数值,连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4;
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5;
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

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cz1
谢谢分享!!!!!  发表于 2023-1-15 19:40
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 楼主| 发表于 2023-1-15 20:28 | 显示全部楼层
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b;
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
----+----------------------------------------
1 | 1 2 3 4 5 6 7 8
2 | 1 5 3 2 4 3 4 4
3 | 1 0 6 7 4 3 5 2
4 | 1 0 422481 353 5 3 9 13
5 | 1 0 ? 144 72 12 23 14
6 | 1 0 ? ? ? ? 1141 251
7 | 1 0 ? ? ? ? 568 102
8 | 1 0 ? ? ? ? ? 1409
横着看
当k=1时,b=a1+a2+…+an之b最小数是1,2,3,3,4,5,6,7,8,……;见表中第2行的各个数字;
当k=2时,b^2=a1^2+a2^2+…+an^2之b最小数是1,5,3,2,4,3,4,4……;见表中第3行的各个数字;
5——5^2=4^2+3^2;3——3^2=2^2+2^2+1^2;2——2^2=1^2+1^2+1^2+1^2;4——4^2=3^2+2^2+1^2+1^1+1^2;……
当k=3时,b^3=a1^3+a2^3+…+an^3之b最小数是1,0,6,7,4,3,5,2……;见表中第4行的各个数字;
其中的1表示b^3=a1^3,最小底数b=1;0表示不存在b^3=a1^3+a2^2之b;6表示6^3=3^3+4^3+5^3;……
竖着看
当n=1时,b^k=a1^k之最小底数b都是1,见表中第2列;
当n=2时,只有b^1和b^2有解,其中2表示2^1=1^1+1^1;5表示5^2=4^2+3^2;以下的各个0表示当指数k≥3时不存在b^k=a1^k+a2^k;见表中第3列;
当n=3时,见表中第4列数字3,3,6,422481,?,?,……
第1个3——3=1+1+1;第2个3——3^2=2^2+2^2+1^2;6——6^3=3^3+4^3+5^3;422481——422481^4=95800^4+217519^4+414560^4;……
各个问号“?”表示存在b^k=a1^k+a2^k+…+an^k这样的数字解,但没有找到这样的数值,连最小的也未曾找到。
第5列中的353表示最小的一组编号为4.1.4的丢番图方程是353^4=30^4+120^4+272^4+315^4;
第5列中的144表示最小的一组编号为5.1.4的丢番图方程是144^5=27^5+84^5+110^5+133^5;
第6列中的72表示最小的一组编号为5.1.5的丢番图方程是72^5=19^5+43^5+46^5+47^5+67^5。

以上为yangchuanju所发,谢谢分享。
见倒数第4行红色字,我以前也是这样认为的,但,今天,我看:未必!!!!
例 一个k次幂表为四个k次幂之和,
即 s^k=a1^k+a2^k+a3^k+a4^k,仅有 有限个k,即 k有 较小的最大值,
此例 k >100 时,均为无解。甚至可能 k >20 时,均为无解。


点评

蔡老师认为当指数k较大时,四个k次幂之和无解,可能是对的;从我转发的那个表的数字变化趋势看,k≥3时三个k次幂之和就无解了,四个k次幂之和、五个k次幂之和是不会永远都有解的。  发表于 2023-1-16 08:48
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发表于 2023-1-16 05:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 lusishun 于 2023-1-15 22:12 编辑
wlc1 发表于 2023-1-15 10:21
五次方程挑战人类智慧

(1)S^4=A^4+B^4=C^4有正整数解吗?


求:
X^12+Y^8+Z^20=W^4
一组有正整数解
(试一试吧)
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发表于 2023-1-16 08:49 | 显示全部楼层
蔡家雄 发表于 2023-1-15 20:28
网页A347773给出丢番图方程b^k=a1^k+a2^k+…+an^k的最小正整数解中的底数b;
n\k | 1 2 3 4 5 6 7 8
---- ...

蔡老师认为当指数k较大时,四个k次幂之和无解,可能是对的;从我转发的那个表的数字变化趋势看,k≥3时三个k次幂之和就无解了,四个k次幂之和、五个k次幂之和是不会永远都有解的。
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\alpha\beta\gamma\Gamma\delta\Delta\epsilon\varepsilon\zeta\eta\theta\Theta\iota\kappa\varkappa\lambda\Lambda\mu\nu\xi\Xi\pi\Pi\varpi\rho\varrho\sigma\Sigma\tau\upsilon\Upsilon\phi\Phi\varphi\chi\psi\Psi\omega\Omega\digamma\vartheta\varsigma\mathbb{C}\mathbb{H}\mathbb{N}\mathbb{P}\mathbb{Q}\mathbb{R}\mathbb{Z}\Re\Im\aleph\partial\nabla
\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
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