数学是什么？

elimqiu

本贴与430楼暂时无关。
想问如下问题：
（1）数列  { 1/n }
（2）极限  lim 1/n
            n→∞
（3）1/n 其中 n→∞
（4）1,1/2,1/3,...,1/n,...  其中 n 是自然数
（5）1,1/2,1/3,...,1/n,...  其中 n→∞
这些表达各自的意义，解释是什么？
他们中哪些是等价的？

ygq的马甲

下面引用由恶心的狐狸在 2009/04/13 10:40pm 发表的内容：
ygq先生,建议不要跟他们争了吧,没意思的,呵呵.

那些根本不懂“数学是怎么回事”的，严重降低论坛的水平。

申一言

下面引用由elimqiu在 2009/04/13 05:44pm 发表的内容：
本贴与430楼暂时无关。
想问如下问题：
（1）数列  { 1/n }
（2）极限  lim 1/n
...

     老师的关注很好!
         真心希望老师能在百忙中抽出宝贵的时间给予指导!
                                                       谢谢!

顽石

e先生：定义相同，观点一致，那么我们争论什么？

elimqiu

下面引用由顽石在 2009/04/14 09:46pm 发表的内容：
e先生：定义相同，观点一致，那么我们争论什么？

定义未必相同，但若要提出新定义，当事先声明。即使对某定义有争议，争论还是需要大量相同的术语用法才能进行。再说定义相同并不等于观点相同，观点才是通常争论的内容。
顺便说说你的‘空间’概念：它与被数学中广泛被接受使用的‘空间’概念是相当不同的（无法协调的）。且不说解释诸如“‘空空如也’与‘空空如也’如何交出点，如何定义‘空空如也’的维数”等等问题，如果你对数学‘空间’的通常用法没有了解，又不事先声明你的独家的‘空间’定义，那么跟你争论顶多只是逗着玩而已。跟你来来回回争得也不少了，才知道你对‘空间’等基本概念的了解是想当然那么来的，并且你根本没懂别人说什么（由于不了解别人的‘空间’的定义）。难道争论就是要通过偷换概念来建立‘持有真理’的形象？ 这跟数学毫不相干啊。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
脑袋决定口袋（最近听到的不那么唯物的观点）
如果中午你走进餐馆时口袋里有一百元，你在午餐上的消费空间是[0，100]
相反，如果你口袋里没有钱，空空如也，你没有消费空间。
数学的‘空间’概念跟上面的比喻相当接近。指的是一个范围，而这个范围是靠有哪些元素来确定，而不是靠‘空空如也’给出的。 例如集合 { (x,y) | x,y 是实数 } 就是通常所说的二维空间， {-1,1}是一个仅有两个元的乘法群，也可用作一个变换群，而
C[0，1] = { f | f 是 [0,1] 区间上的连续实函数 } 是一个函数空间等等。

elimqiu

[这个贴子最后由elimqiu在 2009/04/15 08:44am 第 2 次编辑]

下面引用由elimqiu在 2009/04/13 05:44pm 发表的内容：
想问如下问题：
（1）数列  { 1/n }
（2）极限  lim 1/n
          n→∞
（3）1/n 其中 n→∞
（4）1,1/2,1/3,...,1/n,...  其中 n 是自然数
（5）1,1/2,1/3,...,1/n,...  其中 n→∞
这些表达各自的意义，解释是什么？
他们中哪些是等价的？

我来试着回答432楼的上述问题。
（1)和（4）是很常见的给出数列的方式。通常人们用n表示自然数，所以（4）的‘其中n是自然数’常被略去。数列是以自然数集（或从某自然数起的自然数子集）为定义域的函数。（1）和（4）都等价于正整数集上的倒数函数。
（2）的意义应该是很清楚的。它代表数列 {1/n} [相对于（n→∞）] 的极限。换言之，它就是0，但指出了0在这里是对{1/n}取极限的结果。 注意数列的极限值不一定要等于数列的某一项。 那些“ 1/n = 0 是实无穷观点， 1/n ＞ 0 是潜无穷观点”的论断是十分幼稚可笑的‘想当然’。类似于一想到‘共产’就想到‘共妻’的那种弱智行为。
（3）并不是一种常用的数学表达方式。说实话，从事数学有些年头了，真正有印象看到这么说话的好像还只是在这个论坛。我本人从来不用这种表达，也不能肯定使用者们的确切意思。感觉上它不等价于单纯的数列，也不是单纯的极限。我想作为一个读者谈谈自己的猜测，感想。
   说它不等价于单纯的数列是很有些理由的。数列作为函数并不假定其自变量要如何变。数列的用处也不仅仅是逼近其极限。
&#160; &#160;说它也不是单纯的极限应该也算中肯。‘其中n→∞’强调的可以是‘n的没完没了地增大因而 1/n 的没完没了地变小’当然恒有 ';1/n > 0';。 所以(3)似乎给出了一个自在自为的‘无穷小量’， 而‘其中n→∞’给出了一个自在自为的‘无穷大量’。这种无穷小比任何正数都小，又大于0。 如果我猜中了(3)的使用者的意思。那么我要说这样的无穷小是第二次数学危机后就被踢出数学（标准分析）的东西。在ZFC系统中不存在这种数学对象。在标准分析中，一个量的绝对值如果小于任何正数，那么它就等于0。这么说可能会冒犯很多人。那么这么说吧， 1/n 并不小于任何正数，例如衡有 0 < 1/(n+1) < 1/n. 所以 1/n 不是比任何正数都小而又大于0的东西。但是还会有人强调说 这样的 1/n 是小于任何正的常数，而大于0的一种变量，叫做无穷小。好。让我们在数轴上标记 1，1/2，1/3，...，1/k，...这些点。于是1/n无论如何越变越小，既然它不终极这个变化，在其变化的任一步骤，数轴上在其左边面无数个常数小于1/n。
&#160; ‘自在自为’就是非主观的确定性的否定。说量 1/n 越变越小，又不会穷尽变化，就使得对它的状态不可能有共识，所以自在自为的东西没有作为数学对象所要求的确定性（Not Well Defined）。换言之，自在自为的东西不能作为数学对象而存在。那么数学如何表达这种‘过程’呢？ 就是用数列 { 1/n } 本身。 { 1/n }的项显然没完没了，且趋于0. 这种合法化的代价是 (a) { 1/n }是作为一族量而不是一个量存在的；(b)趋于0 是{ 1/n }的一种性质而不是一个物理时间意义下的过程。(c)趋于0不是{ 1/n }自发的行为，而是一个数学的操作。
    确定性准则否定了大于0而小于任何正数的‘无穷小’的存在。而为什么要花笔墨做这事的直接原因是要否定有相邻的实数对。（3）还有一些等价的变形，以后有机会再谈。
（5）有帮助数列形成的意思。或者要强调数列本身永远在构造过程中，不会完成。我们以后再回到这个表达的讨论上来。

申一言

下面引用由elimqiu在 2009/04/15 02:27am 发表的内容：
我来试着回答432楼的上述问题。
（1)和（4）是很常见的给出数列的方式。通常人们用n表示自然数，所以（4）的‘其中n是自然数’常被略去。数列是以自然数集（或从某自然数起的自然数子集）为定义域的函数。（1）　...

      谢谢老师我有所理解了!
      再一次感谢老师不吝赐教!!

ygq的马甲

（2）的意义应该是很清楚的。它代表数列 {1/n} [相对于（n→∞）] 的极限。换言之，它就是0，但指出了0在这里是对{1/n}取极限的结果。 注意数列的极限值不一定要等于数列的某一项。 那些“ 1/n = 0 是实无穷观点， 1/n ＞ 0 是潜无穷观点”的论断是十分幼稚可笑的‘想当然’。类似于一想到‘共产’就想到‘共妻’的那种弱智行为。

对于根本不懂“数学是怎么回事”的东西，说也不懂的，例如“注意数列的极限值不一定要等于数列的某一项。”

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/04/15 11:27am 第 1 次编辑]

   愚根弱:
          野狼嚎,
          朔风吼,
          天地广俅,
          阴阳合,
          万物优,
          正气不休,
          笑看那邪门歪道,
          实乃跳梁小丑!
          羞羞羞!

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/04/15 11:22am 发表的内容：
   愚根弱:
          野狼嚎,
          朔风吼,
          天地广俅,
...

“蠢货”，还是回到“文学”论坛去吧