\(C_{ai}\)问题之\(AI\)证明

蔡家雄

同邻距的三连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

蔡家雄猜想：对任一大于5的素数 p，

同邻距的三连三生素数，有 无穷多组（九元素数组）的解。

设 0 < a < b 是偶数，

当 p 是定数 时，

求 九元素数组（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b ）的解。


同邻距的五生素数（十元素数组），

且前一组五生素数之和是后一组五生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的五生素数（十元素数组）有 无穷多组解。

（ 7，11，13，17，409，457，461，463，467，859 ）

（ 11，13，17，19，131，191，193，197，199，311 ）

（ 11，13，17，19，761，821，823，827，829，1571 ）

（ 13，19，47，71，73，223，229，257，281，283 ）

（ 13，17，19，23，4441，4513，4517，4519，4523，8941 ）

（ 17，19，23，29，139，227，229，233，239，349 ）

（ 19，23，29，31，127，229，233，239，241，337 ）


同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组），

且前一组2k+1生素数之和是后一组2k+1生素数的首项，

蔡家雄猜想：同邻距的2k+1生素数（4k+2元素数组）有 无穷多组解。


同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 11，13，17，19，23，29，1068589 ）

后一组（ 1068701，1068703，1068707，1068709，1068713，1068719，2137279 ）


同邻距的九生素数（十八元素数组），

且前一组九生素数之和是后一组九生素数的首项，

前一组（ 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 910935731 ）

后一组（ 910935911, 910935913, 910935917, 910935919, 910935923, 910935929, 910935931, 910935937, 1821871631 ）

蔡家雄

同邻距的七生素数（十四元素数组），

且前一组七生素数之和是后一组七生素数的首项，

前一组（ 97，101，103，107，109，113，10m+7 ）

后一组（ 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）

求解如下，

在 m < 10^8 以内，求：八生素数的解，

（ 10m+7, 10m+637, 10m+641, 10m+643, 10m+647, 10m+649, 10m+653, 20m+547 ）都是素数，

|  组号 | m 值        | 10m+7       | 10m+637     | 10m+641     | 10m+643     | 10m+647     | 10m+649     | 10m+653     | 20m+547       |
| :-: | :--------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :---------- | :------------ |
|  1  | 1,542      | 15,427      | 16,057      | 16,061      | 16,063      | 16,067      | 16,069      | 16,073      | 31,387        |
|  2  | 195,372    | 1,953,727   | 1,954,357   | 1,954,361   | 1,954,363   | 1,954,367   | 1,954,369   | 1,954,373   | 3,907,987     |
|  3  | 339,957    | 3,399,577   | 3,400,207   | 3,400,211   | 3,400,213   | 3,400,217   | 3,400,219   | 3,400,223   | 6,799,687     |
|  4  | 1,451,991  | 14,519,917  | 14,520,547  | 14,520,551  | 14,520,553  | 14,520,557  | 14,520,559  | 14,520,563  | 29,040,367    |
|  5  | 2,500,878  | 25,008,787  | 25,009,417  | 25,009,421  | 25,009,423  | 25,009,427  | 25,009,429  | 25,009,433  | 50,018,107    |
|  6  | 25,769,844 | 257,698,447 | 257,699,077 | 257,699,081 | 257,699,083 | 257,699,087 | 257,699,089 | 257,699,093 | 515,397,427   |
|  7  | 36,005,349 | 360,053,497 | 360,054,127 | 360,054,131 | 360,054,133 | 360,054,137 | 360,054,139 | 360,054,143 | 720,107,527   |
|  8  | 51,651,777 | 516,517,777 | 516,518,407 | 516,518,411 | 516,518,413 | 516,518,417 | 516,518,419 | 516,518,423 | 1,033,036,087 |
|  9  | 59,112,972 | 591,129,727 | 591,130,357 | 591,130,361 | 591,130,363 | 591,130,367 | 591,130,369 | 591,130,373 | 1,182,259,987 |
|  10 | 61,530,576 | 615,305,767 | 615,306,397 | 615,306,401 | 615,306,403 | 615,306,407 | 615,306,409 | 615,306,413 | 1,230,612,067 |
|  11 | 71,443,479 | 714,434,797 | 714,435,427 | 714,435,431 | 714,435,433 | 714,435,437 | 714,435,439 | 714,435,443 | 1,428,870,127 |
|  12 | 75,929,730 | 759,297,307 | 759,297,937 | 759,297,941 | 759,297,943 | 759,297,947 | 759,297,949 | 759,297,953 | 1,518,595,147 |
|  13 | 76,350,192 | 763,501,927 | 763,502,557 | 763,502,561 | 763,502,563 | 763,502,567 | 763,502,569 | 763,502,573 | 1,527,004,387 |

蔡家雄

同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =7 时，求 十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

|  组别  |    三生素数                       |      间隔        |
| :-----: | :-------------------------- | :------------: |
| 第1组 | $(7, 193, 2447)$              | $186, 2254$ |
| 第2组 | $(2647, 2833, 5087)$      | $186, 2254$ |
| 第3组 | $(10567, 10753, 13007)$ | $186, 2254$ |
| 第4组 | $(34327, 34513, 36767)$ | $186, 2254$ |

同邻距四连三生素数，
第1组：( 7, 241, 1319 ) ，              间距 ( 234, 1078 )
第2组：( 1567, 1801, 2879 ) ，      间距 ( 234, 1078 )
第3组：( 6247, 6481, 7559 ) ，      间距 ( 234, 1078 )
第4组：( 20287, 20521, 21599 ) ，间距 ( 234, 1078 )

蔡家雄

同邻距的四连三生素数，

且前一组三生素数之和是后一组三生素数的首项，

设 0 < a < b 是偶数，一个是6倍数，一个非6倍数，

当 p =23 时，求 十二元素数组，

（ p, p+a, p+b, 3p+a+b, 3p+2a+b, 3p+a+2b, 9p+4a+4b, 9p+5a+4b, 9p+4a+5b, 27p+13a+13b, 27p+14a+13b, 27p+13a+14b ）的解。

十二元素数组: [23, 163, 7247, 7433, 7573, 14657, 29663, 29803, 36887, 96353, 96493, 103577]

十二元素数组: [23, 347, 1543, 1913, 2237, 3433, 7583, 7907, 9103, 24593, 24917, 26113]

十二元素数组: [23, 1097, 1423, 2543, 3617, 3943, 10103, 11177, 11503, 32783, 33857, 34183]

十二元素数组: [23, 6373, 8753, 15149, 21499, 23879, 60527, 66877, 69257, 196661, 203011, 205391]