勾股数新公式

蔡家雄

费尔马1 发表于 2021-2-9 13:39
wlc1老师您好:感谢您关注！
学生我的只不过是一个小题，怎值老师夸赞啊！

在 a, b, c, d 四个都大于1的正整数中，

若 任意三个都没有公约数，但可以其中两个有公约数，

则 \(x^a+y^b+z^c=s^d\) 必有正整数解，，，，

蔡家雄

在 a, b, c, d 四个都大于1的正整数中，

若 任意三个都没有公约数，但可以其中两个有公约数，

则 \(x^a+y^b+z^c=s^d\) 必有正整数解，，，，

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点评 费尔马1
若任意三个都没有公约数，则这四个数两两互质，就不存在其中两个有公约数了。  发表于 2023-6-11 19:49
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费尔马1的点评（判断）是：错误的，，，

蔡家雄

设 n≥3 ,              
                                                         
若 (10^n - 1)÷9×2+1 是素数，

则在万内有哪几个 n 值，使它是素数？   

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-6-14 19:21
设 n≥3 ,              
                                                         
若 (10^n - 1)÷9 ...

{3, 8, 11, 36, 95, 101, 128, 260, 351, 467, 645, 1011, 1178, 1217, 2442, 3761, 3806, 15617, 26459, 63117, 88545, 93497}

蔡家雄

时空伴随者 发表于 2023-6-10 14:40
\(((2^{18}-2)^{120})^{3}+((2^{18}-2)^{36})^{10}+((2^{18}-2)^{19})^{19}\\=(2(2^{18}-2)^{20})^{18}\)

设 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

求 2n=?  时空老师 或 Treenewbee 能计算到 十万内 吗？

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-6-15 21:51
设 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

求 2n=?  时空老师 或 Treenewbee 能计算到 十万内 吗？

Mod[3^(10k+8)+2^(10k+9),11]=0
Mod[3^(16k+2)+2^(16k+3),17]=0
Mod[3^(40k+14)+2^(40k+15),41]=0
Mod[3^(42k+24)+2^(42k+25),43]=0
Mod[3^(58k+16)+2^(58k+17),59]=0
Mod[3^(66k+20)+2^(66k+21),67]=0
Mod[3^(36k+14)+2^(36k+15),73]=0
Mod[3^(82k+26)+2^(82k+27),83]=0
Mod[3^(88k+84)+2^(88k+85),89]=0
Mod[3^(106k+10)+2^(106k+11),107]=0
Mod[3^(112k+4)+2^(112k+5),113]=0
Mod[3^(130k+76)+2^(130k+77),131]=0
Mod[3^(136k+82)+2^(136k+83),137]=0
Mod[3^(138k+88)+2^(138k+89),139]=0
Mod[3^(162k+64)+2^(162k+65),163]=0
Mod[3^(178k+94)+2^(178k+95),179]=0
Mod[3^(226k+108)+2^(226k+109),227]=0
Mod[3^(232k+164)+2^(232k+165),233]=0
Mod[3^(250k+60)+2^(250k+61),251]=0
Mod[3^(256k+176)+2^(256k+177),257]=0
Mod[3^(282k+198)+2^(282k+199),283]=0
Mod[3^(102k+56)+2^(102k+57),307]=0
Mod[3^(168k+148)+2^(168k+149),337]=0
Mod[3^(346k+228)+2^(346k+229),347]=0
Mod[3^(352k+324)+2^(352k+325),353]=0
Mod[3^(378k+82)+2^(378k+83),379]=0
Mod[3^(442k+320)+2^(442k+321),443]=0
Mod[3^(448k+138)+2^(448k+139),449]=0
Mod[3^(466k+370)+2^(466k+371),467]=0
Mod[3^(490k+394)+2^(490k+395),491]=0
Mod[3^(166k+140)+2^(166k+141),499]=0
Mod[3^(520k+446)+2^(520k+447),521]=0
Mod[3^(522k+440)+2^(522k+441),523]=0
Mod[3^(546k+428)+2^(546k+429),547]=0
Mod[3^(562k+298)+2^(562k+299),563]=0
Mod[3^(568k+206)+2^(568k+207),569]=0
Mod[3^(570k+10)+2^(570k+11),571]=0
Mod[3^(586k+336)+2^(586k+337),587]=0
Mod[3^(592k+356)+2^(592k+357),593]=0
Mod[3^(618k+380)+2^(618k+381),619]=0
Mod[3^(640k+450)+2^(640k+451),641]=0
Mod[3^(214k+8)+2^(214k+9),643]=0
Mod[3^(658k+642)+2^(658k+643),659]=0
Mod[3^(682k+186)+2^(682k+187),683]=0
Mod[3^(738k+156)+2^(738k+157),739]=0
Mod[3^(760k+754)+2^(760k+755),761]=0
Mod[3^(786k+326)+2^(786k+327),787]=0
Mod[3^(808k+114)+2^(808k+115),809]=0
Mod[3^(810k+348)+2^(810k+349),811]=0
Mod[3^(826k+264)+2^(826k+265),827]=0
Mod[3^(856k+6)+2^(856k+7),857]=0
Mod[3^(858k+40)+2^(858k+41),859]=0
Mod[3^(928k+502)+2^(928k+503),929]=0
Mod[3^(952k+574)+2^(952k+575),953]=0
Mod[3^(970k+900)+2^(970k+901),971]=0
Mod[3^(976k+726)+2^(976k+727),977]=0
Mod[3^(1018k+776)+2^(1018k+777),1019]=0
Mod[3^(516k+484)+2^(516k+485),1033]=0
Mod[3^(1048k+368)+2^(1048k+369),1049]=0
Mod[3^(1090k+524)+2^(1090k+525),1091]=0
Mod[3^(1096k+296)+2^(1096k+297),1097]=0
Mod[3^(1122k+478)+2^(1122k+479),1123]=0
Mod[3^(1162k+196)+2^(1162k+197),1163]=0
Mod[3^(1170k+604)+2^(1170k+605),1171]=0
Mod[3^(1186k+536)+2^(1186k+537),1187]=0
Mod[3^(1192k+264)+2^(1192k+265),1193]=0
Mod[3^(1216k+952)+2^(1216k+953),1217]=0
Mod[3^(624k+92)+2^(624k+93),1249]=0
Mod[3^(1258k+328)+2^(1258k+329),1259]=0
Mod[3^(1282k+994)+2^(1282k+995),1283]=0
Mod[3^(1288k+972)+2^(1288k+973),1289]=0
Mod[3^(1290k+976)+2^(1290k+977),1291]=0
Mod[3^(1306k+228)+2^(1306k+229),1307]=0
Mod[3^(1408k+950)+2^(1408k+951),1409]=0
Mod[3^(1426k+490)+2^(1426k+491),1427]=0
Mod[3^(1432k+1340)+2^(1432k+1341),1433]=0
Mod[3^(1450k+506)+2^(1450k+507),1451]=0
Mod[3^(1458k+624)+2^(1458k+625),1459]=0
Mod[3^(1480k+336)+2^(1480k+337),1481]=0
Mod[3^(1482k+226)+2^(1482k+227),1483]=0
Mod[3^(1522k+942)+2^(1522k+943),1523]=0
Mod[3^(1530k+1196)+2^(1530k+1197),1531]=0
Mod[3^(1552k+832)+2^(1552k+833),1553]=0
Mod[3^(1570k+1552)+2^(1570k+1553),1571]=0
Mod[3^(1578k+972)+2^(1578k+973),1579]=0
Mod[3^(1600k+548)+2^(1600k+549),1601]=0
Mod[3^(804k+14)+2^(804k+15),1609]=0
Mod[3^(1618k+130)+2^(1618k+131),1619]=0
Mod[3^(1626k+1020)+2^(1626k+1021),1627]=0
Mod[3^(1666k+1278)+2^(1666k+1279),1667]=0
Mod[3^(1696k+1086)+2^(1696k+1087),1697]=0
Mod[3^(1698k+576)+2^(1698k+577),1699]=0
Mod[3^(1720k+1092)+2^(1720k+1093),1721]=0
Mod[3^(1722k+162)+2^(1722k+163),1723]=0
Mod[3^(1746k+976)+2^(1746k+977),1747]=0
Mod[3^(876k+768)+2^(876k+769),1753]=0
Mod[3^(888k+288)+2^(888k+289),1777]=0
Mod[3^(1786k+1010)+2^(1786k+1011),1787]=0
Mod[3^(1810k+430)+2^(1810k+431),1811]=0
Mod[3^(1866k+452)+2^(1866k+453),1867]=0
Mod[3^(1888k+372)+2^(1888k+373),1889]=0
Mod[3^(1906k+152)+2^(1906k+153),1907]=0
Mod[3^(1912k+828)+2^(1912k+829),1913]=0
Mod[3^(1930k+972)+2^(1930k+973),1931]=0
Mod[3^(1978k+1760)+2^(1978k+1761),1979]=0

时空伴随者

蔡家雄 发表于 2023-6-15 21:51
设 3^(2n)+2^(2n+1) 是素数，

求 2n=?  时空老师 或 Treenewbee 能计算到 十万内 吗？

2023-06-16 14:25:35
2
4
6
12
22
32
36
46
80 .
154 .
236
250 .......
992 ...........
2072 ................
3616 .
3702 .............
5076 ...........................................................
10984 ..............
12350 .............
13660 ...............................................................
算到两万，总用时 79007.58440 秒
再大一些，2n在两万 附近没有 素数出现。

Treenewbee

可以先用10000内的素数POWMOD筛一遍，留下10000多个数字供素性测试

Treenewbee

{2, 4, 6, 12, 22, 32, 36, 46, 80, 154, 236, 250, 992, 2072, 3616, 3702, 5076, 10984, 12350, 13660, 30286, 33220, 40992, 50192}

蔡家雄

由 262747 是素数，

且 262747^25*2^32+1 是素数，

则 10 是素数 262747^25*2^32+1 的原根。

这个素数的（原根）测试，

10^(262747^25*2^32/262747) 模素数 262747^25*2^32+1 的余数 不等于1，

10^(262747^25*2^32/2) 模素数 262747^25*2^32+1 的余数 不等于1，

则 10 是素数 262747^25*2^32+1 的原根。