\(\Huge\color{red}{\textbf{蠢可达}\color{navy}{\textbf{失算}}\textbf{集列交}}\)I

春风晚霞

对于elim所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).

春风晚霞

对于elim所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).

春风晚霞

对于elim所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).

春风晚霞

对于elim所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).

elim

春霞驴滚万遍仍说不清 如何从北大实函定义1.8 得
\(\small\displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,\ldots\}\color{red}{\ne\phi}\)  老痴挂黑板哈哈哈哈

令\(\small A_n=\{m\in\mathbb{N}:m>n\}\;(n\in\mathbb{N}),\;\;\mathbb{N}_\infty=\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_n.\) 易见
\(\because\small\;(\forall m\in\mathbb{N})
\;m\not\in \displaystyle\big(\bigcap_{n< m} A_n\big) \cap A_m\cap\big(\bigcap_{n> m}A_n\big)=\bigcap_{n\in \mathbb{N}} A_n\)
\(\therefore\small\;\; \mathbb{N}_{\infty}=\displaystyle\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n=\varnothing\)
\(\quad\)集论白痴蠢可达失算集合交

春风晚霞

          根据Weierstrass 极限定义:\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}=0\)\(\iff\)\(对\forall ε>0，当n>\)\(N_ε时，有|\tfrac{1}{n}|<ε\)可知存在无穷多个大于\(N_ε\)的自然数\(α\)使\(\tfrac{1}{α}=0\).

命题：因为自然数集\(\mathbb{N}\)是无限集，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。
【证法1:】设离散函数\(y=x\)的定义域是\(\mathbb{N}\)，因映射\(y=x\)是恒等映射，所以函数\(y=x\)的值域也是\(\mathbb{N}\)。故此，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} y=\)\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。(自然数集\(\mathbb{N}\)的纯粹性)【证毕】
【证法2:】反证法:若\(v=\displaystyle\lim_{n→∞} n\)不是自然数。由皮亚诺公理第二条，\(v\)的前趋\(v-1\)也不是自然数。逆用皮亚诺公理\(v-1\)的前趋\(v-2\)也不是自然数，类此分析(k+1)的前趋k不是自然数，…，2的前趋1不是自然数，1的前趋0也不是自然数。所以自然数集\(\mathbb{N}=\phi\)，这与\(\mathbb{N}≠\phi\)矛盾，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数。【证毕】
【证法3:】对任意预先给定的无论怎样大的自然数x∈\(\mathbb{N}\)，则\(\mathbb{N}=\)\(\{n|n≤x\}\cup
\{n|n>x\}\)，所以\(\mathbb{N}\supseteq\infty\)，所以\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)是自然数(自然数集的纯粹性)。【证毕】
对于elim所给\(A_n=\{m∈\mathbb{N}:m>n\}\)\((n∈\mathbb{N})\)，\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n\)因集列\(\{A_n\}\)单调递减，根据北大周民强《实变函数论》定义1.8得：\(N_∞=\displaystyle\bigcap_{n \in\mathbb{N}}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\{n+1，n+2，…\}\)\(≠\phi\).