数论小猜想

蔡家雄

【未解决】设 d^4=2*a^4+b^4+c^4，

当 a 遍历所有：或正整数，或平方数，或立方数，或其它类型的数时，有特殊通式解吗？

设 d^4=2*a^4+b^4+c^4，

当 c 遍历所有：或正整数，或平方数，或立方数，或其它类型的数时，有特殊通式解吗？

蔡家雄

【未解决】求证：(8r+3)*(8t+3)=u^2+v^2+w^2，均可表为三个非零平方数之和。

蔡家雄

【完美立方数】

若 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

且 D^3=A^3+B^3+C^3，

求 D= ？A= ?  B= ?  C= ?

注 D^3=496^3=57^3+82^3+495^3 就是完美立方数。

且 57^3=a1^3+a2^3+a3^3，82^3=b1^3+b2^3+b3^3，495^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解。

蔡家雄

特殊三角数的立方表为三个立方数之和

求证：若 n>=2，则 (2^n*(2^(n+1) -1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

举例：PowersRepresentations[8128^3, 3, 3]

s = 0;
For[n = 2, n <= 8, n++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", 2^n*(2^(n+1) -1) , "-----",
   PowersRepresentations[(2^n*(2^(n+1) -1))^3, 3, 3]]]]

蔡家雄

求证：若 m>=2，则 (m(2m -1)(2m+1))^3=a^3+b^3+c^3 均有正整数解。

s = 0;
For[m = 2, m <= 8, m++, s = s + 1;
  Print[s, "-----", m(2m -1)(2m+1) , "-----",
   PowersRepresentations[ (m(2m -1)(2m+1))^3 , 3 , 3]]]]

蔡家雄

【质数立方可以是完美立方数吗】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？ A= ?   B= ?   C= ?

蔡家雄

【我找到了：质数立方是完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

得 质数 P= 61291， A= ?   B= ?   C= ?   但 P=61291 很有可能不是最小解。

我不是用编程，仅用计算器，靠的是查我以前的三次幂公式。

n^3+b^3+c^3= (c+3k)^3 隐藏的特殊解公式

n^3+(3n^2+2n+1)^3+(3n^3+3n^2+2n)^3 = (3n^3+3n^2+2n+1)^3

n^3+[n(9*k^3 -1)]^3+[n(9*k^4 -3k)]^3 = [n(9*k^4)]^3

(n^2)^3+(2n^2 -3n+3)^3+(n^3 -2n^2+3n -3)^3=(n^3 -2n^2+3n)^3

(n^2)^3+(2n^2+3n+3)^3+(n^3+2n^2+3n)^3=(n^3+2n^2+3n+3)^3

(3n^2)^3+(6n^2 -3n+1)^3+(9n^3 -6n^2+3n -1)^3=(9n^3 -6n^2+3n)^3

(3n^2)^3+(6n^2+3n+1)^3+(9n^3+6n^2+3n)^3=(9n^3+6n^2+3n+1)^3

(3n^2)^3+(27n^4+6n^2+1)^3+(81n^6+27n^4+6n^2)^3=(81n^6+27n^4+6n^2+1)^3

我直接取值 n=2, n=3, (81n^6+27n^4+6n^2+1) 均为质数，并且我知道 A=9k,  B=19k,  C=9k .

白新岭

蔡家雄先生涉猎广泛！

蔡家雄

【质数立方是完美立方数的质数P】

设 P^3=A^3+B^3+C^3 = D^3+E^3+F^3，其中 P 是质数，

且 A^3=a1^3+a2^3+a3^3，B^3=b1^3+b2^3+b3^3，C^3=c1^3+c2^3+c3^3 均为正整数解，

及 D^3=d1^3+d2^3+d3^3，E^3=e1^3+e2^3+e3^3，F^3= f1^3+f2^3+ f3^3 均为正整数解，

求 质数 P= ？  A= ?    B= ?    C= ?    D= ?    E= ?    F= ? （ 至少两组解！！！）

Treenewbee

1000以内找到5组解：

431 = [135, [15, 90, 120]] + [188, [115, 122, 149]] + [414, [46, 276, 368]]
       = [200, [32, 136, 176]] + [239, [15, 114, 230]] + [388, [138, 145, 375]]

577 = [41, [2, 17, 40]] + [244, [73, 174, 207]] + [562, [100, 344, 514]]
       = [90, [25, 38, 87]] + [201, [45, 53, 199]] + [568, [112, 184, 560]]
       = [153, [17, 102, 136]] + [174, [47, 97, 162]] + [568, [112, 184, 560]]
       = [172, [1, 135, 138]] + [318, [159, 212, 265]] + [537, [51, 171, 531]]
       = [356, [68, 160, 344]] + [385, [168, 268, 321]] + [448, [288, 304, 336]]

733 = [69, [36, 38, 61]] + [562, [100, 344, 514]] + [600, [45, 275, 580]]
       = [373, [40, 141, 366]] + [552, [187, 261, 524]] + [558, [142, 300, 524]]

877 = [45, [5, 30, 40]] + [508, [79, 122, 505]] + [816, [128, 214, 810]]
       = [84, [28, 53, 75]] + [534, [102, 240, 516]] + [805, [21, 238, 798]]
       = [174, [47, 97, 162]] + [436, [18, 193, 423]] + [837, [213, 450, 786]]

911 = [88, [25, 31, 86]] + [386, [71, 81, 384]] + [887, [15, 276, 878]]
       = [207, [23, 138, 184]] + [516, [152, 228, 496]] + [848, [464, 544, 704]]