高精度计算大偶数表为两个素数和的表法数值的实例（以当天日期为随机数选择偶数）

重生888@

白新岭 发表于 2019-3-2 11:49
造成偏差的原因有二个原因，一个是素数本身参与了运算，另一个原因是n前素数对于根号前素数的余数个数并不 ...

研究问题，要研究规律！看看我在愚工另一帖子帖子的回复！

白新岭

余0        余1的        余数2        余2-余1
1        339663        339809        146
这是在10240230之内模3的余数每种剩余类的个数（素数2除外）
余数        统计        占比        理论占比
0        2.30841088735E+11        4.999985051893E-01        50%
1        1.15470835807E+11        2.501081831352E-01        25%
2        1.15371633187E+11        2.498933116754E-01        25%
总素数对        4.61683557729E+11               
余数        绝对误差        相对误差       
0        6.90129500000E+05        1.49481065209178E-06       
1        -4.99463747500E+07        -1.08183135209938E-04       
2        4.92562452500E+07        1.06688324557819E-04       
这是各种剩余类的实际素数对，绝对误差，相对误差，可以看出能整除3的误差较小，而余1或余2的误差较大，差两个量级，所以1000万附近的偶数误差精确度最大达10的-4次方，当然对于整除素数的偶数精确度会高些，虽然这是对整体的一个数据模式，它可以适应于个体（即它的样本）
随着偶数的增大，各种余数的相对误差在减小（绝对误差加大），所以精度会越来越高，这就是小偶数与大偶数的区别（这里可以从概率上考虑，因为实验次数越多，就越接近理论概率值，就硬币的反正来说，如果仅实验一次，肯定是一种100%的概率，而另一种为0%的概率，随着实验次数增多，正反概率都会接近50%，虽然不一定是50%，实验10000次，要是出现一种概率为1%，另一种概率为99%，这种情况要发生，不知道你的实验10000次的多少回才有结果，恐怕从开天立世界到现在也不一定会有那样的结果），更何况素数对不是概率分布，而是严格按理论比例分布，没有人能做到让两个模3余2的素数和得到整除3的偶数，也不能得到除3余2的偶数，他唯一可以做到的是让它能除3余1的偶数，这与概率是格格不入的，绝对不符合概率分配，它是严格按照已有的定律分配的，即能整除的分配1/(P-1),不能整除的其余各类余数分配(P-2)/(P-1)^2，当范围很大时，这种分配方案不仅使用于整体，也使用于个体，当个体时，必须综合考虑它的模素数的余数的所有情况，不能像瞎子摸象那样，只看局部，不是面面俱到。

白新岭

我又一楼是让愚工688研究一下，自然数的倒数和，ln（N），∏（P/(P-1))三者的大小关系，看一看在什么范围内，它们的大小关系改变，最终会生成一种什么关系，即那个最大，那个最小。

愚工说，没有目的的研究没有任何意义，其实不然，因为你的基于哈代公式的高精度计算的误差与它们息息相关，以前的一个网友（就是我向他学vfp编程的）说过，虽然每个人都知道素数因子对偶数素数对的影响，却没有人注意到一个司空见怪的问题，偶数的大小比起素数因子来说要影响的更大，素数因子要想是一个偶数是另一个偶数素数对的10倍，比登天差不多，它的量级不知道有多大，而一个大偶数要想是一个小偶数素数对的10，那就容易的多了，所以素数个数是影响一个偶数素数对的重量级人物，不能光看素数因子，而忽视了主导者，问什么要说这呢？因为素数对的主项是偶数前素数个数的平方/偶数，前边的系数是次项，最主要的是主项其领导地位，而非系数其领导地位，所以说，哈代公式中，因为2n/(LN(2n))^2的值要小于用素数个数的平方/偶数的值，所以要用一个修正系数，如果用li（x）代替素数个数，再换成哈代公式的形式，就会比原来的精度高许多，或者直接用积分1/(LN(n))^2乘系数。

连乘积表示素数对的精度哈代公式一样，不是在方法上行不通，而是它所隐含的素数个数与实际素数个数不符，这就是让你分析上述三者的大小关系的原因。

重生888@

白新岭 发表于 2019-3-2 14:55
我又一楼是让愚工688研究一下，自然数的倒数和，ln（N），∏（P/(P-1))三者的大小关系，看一看在什么范围内 ...

不研究我的方法，摸不准规律！

重生888@

白新岭 发表于 2019-3-2 14:55
我又一楼是让愚工688研究一下，自然数的倒数和，ln（N），∏（P/(P-1))三者的大小关系，看一看在什么范围内 ...

说到偶数前素数平放/偶数，我得到的这个代数式，很不容易，可以说是愚工逼着我得到的！只知其然，不知所以然是不行的！

白新岭

"只知其然，不知所以然是不行的！"

这是问题的关键。

没有规矩不成方圆

愚工688

白新岭 发表于 2019-3-2 06:55
我又一楼是让愚工688研究一下，自然数的倒数和，ln（N），∏（P/(P-1))三者的大小关系，看一看在什么范围内 ...

偶数的大小，决定了素对的低位数量的多少；
素因子的大小，决定了素对波动的幅度；
从局部区域（一般在一个√M的最大素数不变的范围内）的连续偶数看，素因子的大小是决定偶数素对数量多少的主要因素；偶数大小的影响比较小；
从大区域（至少跨了几个最大素数变化的区域）看，偶数的大小决定了素对的低位数量与素对峰值的数量级。

至于哈代公式，虽然说数学家已经证明偶数趋于无穷大时公式的计算值趋于1，但是在实际的偶数素对计算中，其计算值始终小于真值，相对误差比较大的。

而所谓的充分大、无穷大、等等概念模糊的偶数是不能进行计算的。
任何人不能说出到底达到10^n的n确切是多少才属于充分大，反正就是大家没有能力计算的范围吧！
比如有人能够计算到10^100的偶数，其计算值与真值并不接近，那么就会有人抛出高论：充分大的偶数10^n的n至少要在1000以上。反正目的就是谁也计算不了。

因此，我们还是在能够计算的范围内，讨论才能提高计算值的精度，提高计算式的计算速度，怎么样的计算式计算起来比较方便等等。
我喜欢使用一个修正系数式来对哈代计算式的计算偏差进行修正，因为其计算起来比较快捷；
我不喜欢使用π(N)、π(N/2) 等参数来计算偶数的素对数量，因为使用程序筛选π(N)、π(N/2)等需要比较多的时间；
这仅仅是个人爱好，自己知识的限制等因素所决定的。

我也不排斥别人使用其它方法对偶数的素对进行计算式的研究。
总而言之，能够得出计算值精度比较高的计算式，才是好公式；
能够比较快的计算出偶数素对的高精度的计算值的公式，才是好的公式；
总之，好的素对计算式，计算值精度是第一位的，计算式的计算速度是其次要求，计算式的容易计算也是必需的条件。

连乘式对偶数素对的计算，是不考虑它所隐含的素数个数以及实际素数个数的，而只考虑能够被√(M-2)内的素数的筛余数的多少，即理论上计算的对象是S(m)的值。
并且由于偶数的素对总数中包含有不能进行计算的部分，即A-x =√(M-2)的某个素数的情况，因此从理论上讲是不可能计算出真值的。
比如：偶数46，
A= 23 ,x= : 0 , 6 ,( 18 ),( 20 ),
M= 46      S(m)= 4     S1(m)= 2   S2(m)= 2   Sp(m)≈ 2.1    δ(m)≈-.475   K(m)= 1       r= 5
* Sp( 46)=[( 46/2- 2)/2]*( 1/ 3)*( 3/ 5)≈ 2.1
其能够被3、5 整除的素对{3+43}、{5+41}与不能被2、3、5整除的素对{23+23}、{17+29}数量相同；
而  A= 71 ,x= : 0 , 12 , 18 , 30 , 42 ,( 60 ),( 66 ),( 68 ),即偶数142的S2(142)= 3 ；

另外有些偶数2A的素对是不含有A-x =√(M-2)的某个素数的素对的，即 S2(m)= 0。
比如：
M= 18         S(m)= 2     S1(m)= 2    Sp(m)= 2.333333 δ(m)= .1666666    K= 2      r= 3
M= 24         S(m)= 3     S1(m)= 3    Sp(m)= 3.333333 δ(m)= .1111111    K= 2      r= 3
M= 30         S(m)= 3     S1(m)= 3    Sp(m)= 3.466667 δ(m)= .1555556    K= 2.666667  r= 5
M= 38         S(m)= 2     S1(m)= 2    Sp(m)= 1.7      δ(m)=-.15         K= 1      r= 5
M= 98         S(m)= 3     S1(m)= 3    Sp(m)= 4.028572 δ(m)= .3428572    K= 1.2    r= 7
大些的偶数：
M= 10268      S(m)= 98    S1(m)= 98   Sp(m)= 102.7459  δ(m) = 4.842735E-02    r= 101
M= 23456      S(m)= 179   S1(m)= 179  Sp(m)= 187.1434  δ(m)= .0454937          r= 151
M= 43532      S(m)= 298   S1(m)= 298  Sp(m)= 310.4073  δ(m)= 4.163509E-02    r= 199
M= 54244      S(m)= 360   S1(m)= 360  Sp(m)= 380.4712   δ(m)= 5.686434E-02   r= 229
M= 63274      S(m)= 441   S1(m)= 441  Sp(m)= 448.9532   δ(m)= 1.803437E-02   r= 251
等等，
由上述例子可以看出偶数素对数量 S(m)=S1(m)+S2(m) 中间的S2(m)部分具有不可计算的特性。
由于Sp(m)理论上计算的是S1(m)部分数值，但是在S2(m)=0的情况下，实际上也就是计算偶数的素对S(m)。
因此在大偶数的情况下，本来连乘式Sp(m)计算S1(m)部分就存在着相对误差的偏移现象，而可能存在的S2(m)的部分素对也是哥猜的正解。因此不区分S1(m)、S2(m)两部分的数量，把Sp(m)看作计算素对总数S(m)，把相对误差的区域均值μ作为修正系数，就能够得到一个比较大范围内的偶数素对的高精度的计算式：
     S(m)≈ Sp(m*)=1/(1+μ)*Sp(m).
适当的设定相对误差的区域均值μ的适用区域，我们就能够轻易的控制素对高精度的计算值成为下界计算值：
    S(m)≥ inf(m)=K(m)* infS(m)=1/(1+μ)*Sp(m).
式中的 infS(m)，称为素对区域下界计算值。其有两个特性：
对于最大素数r 不变的偶数区域，其是近似线性单调上升的；
对于最大素数r 改变的各偶数区域，各区域的首个偶数的 infS(m)值，也是单调增大的；
因此素对区域下界计算值的两个单调上升的特性，显示了偶数猜想的必然成立的数理依据。
而素因子系数K(m)，则形象的描绘出实际偶数素对数量的波动幅度，描绘出素对下界计算值inf(M)跟随实际素对数量的波动，因此也称为偶数素对的波动系数。
实例—— 300亿的连续偶数 的下界计算值：

G(30000000000) = 99039834；
inf( 30000000000)≈  98955146.43 , Δ≈,infS( 30000000000 )= 37108179.91 , k(m)= 2.66667

G(30000000002) = 44569004；
inf( 30000000002)≈  44529815.9 , Δ≈-0.00088,infS( 30000000002 )= 37108179.91 , k(m)= 1.2

G(30000000004) = 40697862；
inf( 30000000004)≈  40664825.71 , Δ≈-0.00081,infS( 30000000004 )= 37108179.91 , k(m)= 1.09585

G(30000000006) = 74283345；
inf( 30000000006)≈  74216359.84 , Δ≈-0.00090,infS( 30000000006 )= 37108179.91 , k(m)= 2

G(30000000008) = 42847341；
inf( 30000000008)≈  42809198.67 , Δ≈-0.00089,infS( 30000000008 )= 37108179.92 , k(m)= 1.15363

G(30000000010) = 49530006；
inf( 30000000010)≈  49484094.59 , Δ≈-0.00093,infS( 30000000010 )= 37108179.92 , k(m)= 1.33351

G(30000000012) = 74284135；
inf( 30000000012)≈  74216359.85 , Δ≈-0.00091,infS( 30000000012 )= 37108179.92 , k(m)= 2

G(30000000014) = 37144884；
inf( 30000000014)≈  37108179.93 , Δ≈-0.00099,infS( 30000000014 )= 37108179.92 , k(m)= 1

G(30000000016) = 46111907；
inf( 30000000016)≈  46065326.81 , Δ≈-0.00101,infS( 30000000016 )= 37108179.93 , k(m)= 1.24138

G(30000000018) = 74789280；
inf( 30000000018)≈  74721233.06 , Δ≈-0.00091,infS( 30000000018 )= 37108179.93 , k(m)= 2.01361

G(30000000020) = 49519865；
inf( 30000000020)≈  49477573.25 , Δ≈-0.00085,infS( 30000000020 )= 37108179.93 , k(m)= 1.33333

G(30000000022) = 37494662；
inf( 30000000022)≈  37454985.36 , Δ≈-0.00106,infS( 30000000022 )= 37108179.93 , k(m)= 1.00935

按照波动系数的大小的排列结果，（相同k(m)值则大的偶数在前），结果偶数表为两个素数和的表法数数量的排列也完成了：
G(30000000000) = 99039834； k(m)= 2.66667
G(30000000018) = 74789280； k(m)= 2.01361
G(30000000012) = 74284135； k(m)= 2
G(30000000006) = 74283345； k(m)= 2
G(30000000010) = 49530006； k(m)= 1.33351
G(30000000020) = 49519865； k(m)= 1.33333
G(30000000016) = 46111907； k(m)= 1.24138
G(30000000002) = 44569004； k(m)= 1.2
G(30000000008) = 42847341； k(m)= 1.15363
G(30000000004) = 40697862； k(m)= 1.09585
G(30000000022) = 37494662； k(m)= 1.00935
G(30000000014) = 37144884； k(m)= 1

大傻8888888

重生888@ 发表于 2019-3-4 13:39
说到偶数前素数平放/偶数，我得到的这个代数式，很不容易，可以说是愚工逼着我得到的！只知其然，不知所 ...

“偶数前素数平方/偶数”这个代数式实际上是r(N)～N/(lnN)^2，可以看出它与哈-李公式r(N)～2cN/(lnN)^2相比要小一些，虽然对于某些范围的偶数前一个式子的计算值比较接近实际值，但是当N趋近无限大时，它就远远不如哈-李公式了。而哈-李公式是根据著名的“圆法”，在广义的黎曼猜测成立的条件下得出的。"只知其然，不知所以然是不行的！"。我的公式r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2是根据素数定理和梅滕斯定理推出的，同时根据我的公式可以得出哈-李公式，这才是知其然，并且之所以然也。
哈-李公式
r(N)～2c∏[(p-2)/(p-1)]N/(lnN)^2      其中∏[(p-2)/(p-1)]中的p|N，√N≥p＞2   c是拉曼纽扬系数
把哈-李公式换成我的公式，p|N时，把(1-2/p)用(1-1/p)代替即可得出，一目了然。
至于N趋近无限大时，哈-李公式和我的公式计算值和实际值之比接近1。虽然现在网上还没有人可以计算出一个充分大的偶数成立。但是我有信心现在的高速计算机和未来一定可以找到这样的偶数。这就是证明的威力，单靠计算是得不出这个结果的。

愚工688

大傻8888888 发表于 2019-3-5 03:41
“偶数前素数平方/偶数”这个代数式实际上是r(N)～N/(lnN)^2，可以看出它与哈-李公式r(N)～2cN/(lnN)^2相 ...

诚然，有信心是好的！
至于N趋近无限大时，哈-李公式和我的公式计算值和实际值之比接近1。

但是在目前比较现实的是：
计算10^n 类型的偶数在自己能够计算的范围内你的公式计算值和实际值之比能够达到什么水平；
计算2^n 类型的偶数在自己能够计算的范围内你的公式计算值和实际值之比能够达到什么水平；
大家不妨交流一下。

共产主义社会是美好的，但是我们大家不能空想着共产主义社会过日子，还是要站在现实的社会，依据现实情况生活。

至于计算值与实际值之比接近1，并不是难事。在我这个帖子中，对许多偶数素对数量的计算值的精度，都达到0.999以上。从常识上讲，计算值与实际值之比已经接近1是必然的。
比如433楼的计算值摘录：
比4000亿大100亿的偶数的计算：（μ= .16558  不变）
G(410000000000) = 559973448；Sp( 410000000000 *)≈  559952931.9 , jdz =sp(m)/s(m) ≈ 0.9999634；
G(410000000002) = 411054856；Sp( 410000000002 *)≈  411049804.4 , jdz =sp(m)/s(m) ≈ 0.9999877；
G(410000000004) = 982753748；Sp( 410000000004 *)≈  982717395.5 , jdz =sp(m)/s(m) ≈ 0.9999630；
G(410000000006) = 409464938；Sp( 410000000006 *)≈  409467417.7 , jdz =sp(m)/s(m) ≈ 1.0000061；
G(410000000008) = 409472437；Sp( 410000000008 *)≈  409469246.1 , jdz =sp(m)/s(m) ≈ 0.9999922；
显然计算值精度普遍达到了0.9999以上了。

至于达到0.9999以上，还是达到0.999999以上，有必要吗？

愚工688

大傻8888888 发表于 2018-9-18 11:04
按照愚工688先生的算法和天山草先生的数据：
在100亿左右的区域里，可以取相对误差修正系数μ=0.14488
...

对于100亿区域，偶数素对连乘式计算值的相对误差统计数据：
10000000000-10000000098 : n= 50 μ= .1494  σx= .0002  δ(min)= .1491  δ(max)= .1497
取略大于最大相对误差的μ值，可以使得包含样本区域的比较大区域偶数的素对计算值呈现负相对误差；

如取μ=0.14488，则可能在60亿-100亿范围的偶数的素对计算值基本呈现正的相对误差，当然相对误差绝对值也不大。
具体验证实例如下：

G(5000000000)= 9703556 ; Sp( 5000000000 *)≈  9714744.8 , Δ≈0.00115 ,  
G(5000000002)= 7278155 ; Sp( 5000000002 *)≈  7286058.6 , Δ≈0.001086 ,
G(5000000004)= 14695026; Sp( 5000000004 *)≈ 14710899.2 , Δ≈0.001080 ,
G(5000000006)= 7281567 ; Sp( 5000000006 *)≈  7287536.2 , Δ≈0.0008197 ,
start time :19:19:58, end time:19:20:40
G(7000000000)= 15799407 ;Sp( 7000000000 *)≈  15835420.4 , Δ≈0.002279,
G(7000000002)= 21065599 ;Sp( 7000000002 *)≈  21113893.9 , Δ≈0.002293,  
G(7000000004)= 10031099 ;Sp( 7000000004 *)≈  10054979.2 , Δ≈0.002381,
G(7000000006)= 9873946  ;Sp( 7000000006 *)≈  9897483.5  , Δ≈0.002384,
start time :19:20:48, end time:19:21:42
G(9000000000)= 33076258  ;Sp( 9000000000 *)≈  33194922.9 , Δ≈0.003588 , k(m)= 2.66667
G(9000000002)= 14882271  ;Sp( 9000000002 *)≈  14937715.3 , Δ≈0.003726 , k(m)= 1.2
G(9000000004)= 12998183  ;Sp( 9000000004 *)≈  13040862.6 , Δ≈0.003284 , k(m)= 1.04762
G(9000000006)= 24809049  ;Sp( 9000000006 *)≈  24896192.2 , Δ≈0.003513 , k(m)= 2
start time :19:21:52, end time:19:22:56

计算式如下：
Sp( 5000000000 *) = 1/(1+ .14488 )*( 5000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 9714744.8 , k(m)= 1.33333
Sp( 5000000002 *) = 1/(1+ .14488 )*( 5000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 7286058.6 , k(m)= 1
Sp( 5000000004 *) = 1/(1+ .14488 )*( 5000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 14710899.2 , k(m)= 2.01905
Sp( 5000000006 *) = 1/(1+ .14488 )*( 5000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 7287536.2 , k(m)= 1.0002
Sp( 7000000000 *) = 1/(1+ .14488 )*( 7000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 15835420.4 , k(m)= 1.6
Sp( 7000000002 *) = 1/(1+ .14488 )*( 7000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 21113893.9 , k(m)= 2.13333
Sp( 7000000004 *) = 1/(1+ .14488 )*( 7000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 10054979.2 , k(m)= 1.01595
Sp( 7000000006 *) = 1/(1+ .14488 )*( 7000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 9897483.5 , k(m)= 1.00003
Sp( 9000000000 *) = 1/(1+ .14488 )*( 9000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 33194922.9 , k(m)= 2.66667
Sp( 9000000002 *) = 1/(1+ .14488 )*( 9000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 14937715.3 , k(m)= 1.2
Sp( 9000000004 *) = 1/(1+ .14488 )*( 9000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 13040862.6 , k(m)= 1.04762
Sp( 9000000006 *) = 1/(1+ .14488 )*( 9000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 24896192.2 , k(m)= 2

使用 μ=0.14488时，比较合适的偶数素对连乘式的计算范围在30亿-40亿。
实验计算一下：

G(3500000000)= 8434100 ;  Sp( 3500000000 *)≈  8422053.3 , Δ≈-0.0014284 , k(m)= 1.6
G(3500000002)= 5352962 ;  Sp( 3500000002 *)≈  5347731.1 , Δ≈-0.0009772 , k(m)= 1.01595
G(3500000004)= 10537675 ; Sp( 3500000004 *)≈ 10527566.7 , Δ≈-0.0009593 , k(m)= 2
G(3500000006)= 5556940 ;  Sp( 3500000006 *)≈  5552250.7 , Δ≈-0.0008486 , k(m)= 1.0548
start time :19:59:35, end time:20:00:08use time :
G(4000000000)= 7930427 ;Sp( 4000000000 *)≈  7928406.1 , Δ≈-0.0002548, k(m)= 1.33333
G(4000000002)= 11887591;Sp( 4000000002 *)≈  11892609.2 ,Δ≈ 0.0004221, k(m)= 2
G(4000000004)= 9156520 ;Sp( 4000000004 *)≈  9158119.3 , Δ≈ 0.0001746, k(m)= 1.54014
G(4000000006)= 6404412 ;Sp( 4000000006 *)≈  6403338.9 , Δ≈-0.0001676, k(m)= 1.07686
计算式：
Sp( 3500000000 *) = 1/(1+ .14488 )*( 3500000000 /2 -2)*p(m) ≈ 8422053.3 , k(m)= 1.6
Sp( 3500000002 *) = 1/(1+ .14488 )*( 3500000002 /2 -2)*p(m) ≈ 5347731.1 , k(m)= 1.01595
Sp( 3500000004 *) = 1/(1+ .14488 )*( 3500000004 /2 -2)*p(m) ≈ 10527566.7 , k(m)= 2
Sp( 3500000006 *) = 1/(1+ .14488 )*( 3500000006 /2 -2)*p(m) ≈ 5552250.7 , k(m)= 1.0548
Sp( 4000000000 *) = 1/(1+ .14488 )*( 4000000000 /2 -2)*p(m) ≈ 7928406.1 , k(m)= 1.33333
Sp( 4000000002 *) = 1/(1+ .14488 )*( 4000000002 /2 -2)*p(m) ≈ 11892609.2 , k(m)= 2
Sp( 4000000004 *) = 1/(1+ .14488 )*( 4000000004 /2 -2)*p(m) ≈ 9158119.3 , k(m)= 1.54014
Sp( 4000000006 *) = 1/(1+ .14488 )*( 4000000006 /2 -2)*p(m) ≈ 6403338.9 , k(m)= 1.07686

偶数越大，修正系数的适用范围越大，因为偶数越大，连乘式的计算值相对误差的变化越来越缓慢 。