勾股数新公式

蔡家雄

由 331957 是素数，

且 331957^25*2^32+1 是素数，

则 10 是素数 331957^25*2^32+1 的原根。

这个素数的（原根）测试，

10^(331957^25*2^32/331957) 模素数 331957^25*2^32+1 的余数 不等于1，

10^(331957^25*2^32/2) 模素数 331957^25*2^32+1 的余数 不等于1，

则 10 是素数 331957^25*2^32+1 的原根。

ysr

蔡家雄 发表于 2023-6-29 07:31
由 331957 是素数，

且 331957^25*2^32+1 是素数，

10^(331957^25*2^32/331957) 模素数 331957^25*2^32+1 的余数=  838500630565841009579542969887521391143340496282756216919068670102560719834492267021948560433915921271215052463099616182375185714395051083083294427

10^(331957^25*2^32/2) 模素数 331957^25*2^32+1 的余数=  4570941237419110905746750706220743285438443178504562073060730099842964884239521139430687386774566395222193662766323672152468690516685811493604687872

则 10 是素数 331957^25*2^32+1=4570941237419110905746750706220743285438443178504562073060730099842964884239521139430687386774566395222193662766323672152468690516685811493604687873  的原根

蔡家雄

由 \(n, n+1, n(n+1)/2\) 是杨辉大三角中的最小三角，

设 \(n+(n+1)+n(n+1)/2=F_n\) 是 兔子数，则 \(n=2, 3, 6, 11,\)

请教 Treenewbee ,

设 \(n+(n+1)+n(n+1)/2 -1=F_n\) 是 兔子数，则 \(n=1, 42, \) ......

设 \(n+(n+1)+n(n+1)/2+1=F_n\) 是 兔子数，则 \(n=1, 25, \) ......

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-9-2 15:17
由 \(n, n+1, n(n+1)/2\) 是杨辉大三角中的最小三角，

设 \(n+(n+1)+n(n+1)/2=F_n\) 是 兔子数，则 \(n= ...

n<10000,就这几个解

Treenewbee

\[k=\frac{\sqrt{17 + 8 F_n}-5}{2}\]

\[k=\frac{\sqrt{9 + 8 F_n}-5}{2}\]

\[k=\frac{\sqrt{25 + 8 F_n}-5}{2}\]

Treenewbee

\[1/2^2+1/4^2+1/6^2+1/8^2+ ... = \frac{1}{4}*\sum_{k=1}^\infty {\frac{1}{k^2}}=\frac{\pi^2}{24}\]
\[1/1^2+1/3^2+1/5^2+1/7^2+ ... =\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k^2}}-\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{(2k)^2}}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi^2}{24}=\frac{\pi^2}{8}\]

蔡家雄

设 A=1/1^3+1/3^3+1/5^3+1/7^3+1/9^3+ ...

设 B=1/2^3+1/4^3+1/6^3+1/8^3+1/10^3+ ...

问 A/B 是 有理数，还是 无理数 ？

Treenewbee

\[\frac{\sum _n^{\infty } \frac{1}{(2 n-1)^3}}{\sum _n^{\infty } \frac{1}{(2 n)^3}}=7\]

Treenewbee

\[C=1/1^3+1/2^3+...+1/n^3+...\]
\[A+B=C,B=C/8 \rightarrow A=7C/8,A=7B\]

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-10-8 10:19
\[\frac{\sum _n^{\infty } \frac{1}{(2 n-1)^3}}{\sum _n^{\infty } \frac{1}{(2 n)^3}}=7\]

万事开头难。
\[\frac{\sum _n^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)^{2k-1}}}{\sum _n^{\infty} \frac{1}{(2 n)^{2k-1}}}=2^{2k-1}-1\]
{7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, ......