\(\Huge^\star\color{navy}{\textbf{ 蠢可达}\color{red}{死磕}\textbf{陶哲轩}}\)

春风晚霞

        为回应新Berkeley主义的责难，徐利治先生在《论无限》一书提出了〖只要函数的极限存在就一定可达〗的观点。
        数学人都知道，滿足\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=\)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=\)\(\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\)连等式的函数叫连续函数。为记忆方便我们把这个连等式写成\(f(x_0^-)=f(x_0^+)=\)\(f(x_0)\).根据连续函数的定义，易证连续函数在其连续区间内各点都满足〖只要函数的极限存在，就一定可达〗！
       不过函数在某点极限存在，比函数在某点连续条件弱些，即函数在a点极限存在，只要求\(f(a^+)=f(a^-)=定数L\)，于是徐利治先生给出了“可连续化函数”的概念（即采用补充定义的方法，去掉原函数的可去间断点），以及闭区间端点的左右连续概念，使得函数在整个定义域内成为“可连续化函数”（参见徐利治《论无限》P20页，第11至第17行）.根据连续函数在其定义域各点都有\(f(a)=f(a^-)=\)\(f(a^+)\)证得只要函数极限存在，就一定可达)！对于函数\(f(x)=\tfrac{1}{x}\).因为\(f(∞)=f(-∞)=\)\(f(+∞)\)\(=0\)，所以函数\(f(x)=\tfrac{1}{x}\)在\(x\to\infty\)时极限可达！由于\(\mathbb{N}\subset (0,\infty)\)且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\tfrac{1}{n}\)\(=\)\(\displaystyle\lim_{x \to \infty}\tfrac{1}{x}=0\)所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\)！