勾股数新公式

朱明君

\(a\left( n\right)=2^{2\left( \ n+1\right)-1}-1，其中n为大于等于1的正整数。\)
\(7, 31, 127, 511, 2047, 8191, 32767, 131071, 524287, 2097151, 8388607, 33554431, 134217727, ......\)

朱明君

，，，，，，

蔡家雄

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立

请 Treenewbee，时空伴随者 判断，

已知：10是素数 823 的原根，

判断：10是素数 88888888888888888888888823 的原根，

蔡家雄

B类具有完全循环节的一条龙素数可能成立，

若 (2*10^n - 23)/3 是素数，则 10 是这个素数的原根。

请 Treenewbee，王守恩 判断，

已知：10是素数 659 的原根，

已证：10是素数 6659 的原根，

已证：10是素数 66666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数  66666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

已证：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

判断：10是素数 6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666659 的原根，

cz1

王守恩 发表于 2019-11-21 08:46
等周长本原三角形举例

请教奥数老师王守恩：用你的计算软件，

看这个函数的输出结果，MultiplicativeOrder[10,  66666666666666666666666659 ]，谢谢！

蔡家雄

设 \(P_n = 1，2，5，12，29，70，169，408，......\) 是 佩尔数列，

求证：\(P_n*P_{n+1}*P_{n+2}*P_{n+3}+1 =\) 完全平方数。

则 \(1*2*5*12+1=11^2\)

则 \(2*5*12*29+1=59^2\)

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-21 10:42
设 \(P_n = 1，2，5，12，29，70，169，408，......\) 是 佩尔数列，

求证：\(P_n*P_{n+1}*P_{n+2}*P_{n ...

\[P_n=\frac{\left(1+\sqrt{2}\right)^n-\left(1-\sqrt{2}\right)^n}{2 \sqrt{2}}\]

\[P_n*P_{n+1}*P_{n+2}*P_{n+3}+1 =\left(\frac{1}{8} \left(\left(1+\sqrt{2}\right)^{2 n+3}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n+3}-6 (-1)^n\right)\right)^2\]

蔡家雄

(1) 设 \(f_n=1, 3, 8, 21, 55, 144, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(f_n*f_{n+1}+1=(f_{n+1} - f_n)^2\)

(2) 设 \(f_n=1, 4, 15, 56, 209, 780, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(2*f_n*f_{n+1}+1=(f_{n+1} - f_n)^2\)

(3) 设 \(f_n=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, ...\) 则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) ,

     且 \(f_{n}^2\) 是 三角数 及 \(f_n*f_{n+1}\) 是 三角数。

(4) 设 \(f_n=1, 10, 99, 980, 9701, 96030, ...\) 则 \(f_n*f_{n+1}\) 是 三角数。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-11-22 12:50
(1) 设 \(f_n=1, 3, 8, 21, 55, 144, ...\)

     则 \(f_n*f_{n+2}+1=f_{n+1}^2\) 及 \(f_n*f_{n+1}+1= ...

\[f_n=\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n}}{4 \sqrt{2}}\]

\[f_n^2=\frac{1}{32} \left(\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}-\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n}\right)^2\]

\[=\frac{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n}-2}{4}*\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n}+2}{4}}{2}\]

Treenewbee

\[f_n*f_{n+1}=\frac{1}{32} \left(\left(1-\sqrt{2}\right)^{4 n+2}+\left(\sqrt{2}+1\right)^{4 n+2}-6\right)\]
\[=\frac{\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n+1}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n+1}-2}{4}*\frac{\left(\sqrt{2}+1\right)^{2 n+1}+\left(1-\sqrt{2}\right)^{2 n+1}+2}{4}}{2}\]