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发表于 2013-1-4 09:08
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无穷的概念与实数理论问题
[这个贴子最后由jzkyllcjl在 2013/01/04 09:10am 第 1 次编辑]
公理5.1(无尽小数实用意义的公理) 无尽小数 的实用意义都应当是无穷数列 的简写。无尽小数是一个随着数列项数变化而变化的变数,而不是一个定数。
显然,每一个无尽小数(包括无尽不循环小数)都可以根据它的无尽小数表达式写出它的无穷数列(这种数列都是下文中提出的康托尔基本数列,根据公理6.1,它们都有极限)的表达式。这种无穷数列表达式有好处。例如,把无尽小数0.333…… 看作无穷数列0.3,0.33,0.333,……的简写时,可以知道:这个数列的极限是1/3 (根据定理5.1,或参看4.4节的证明),而且这个数列的第n项是分数 的准确到 的近似值;但人们无法写出无穷多个3,即无法写出1/3 的绝对准十进小数表达式。再如,把无尽不循环小数1.414213……看作无穷数列1,4,1.41,1.414,……(这个数列是满足条件: 为自然数;且 , 的无穷数列 )的简写时,可以知道它的极限是根号2 (参看下一节法则6.1中的例子),而且从这个数列中能够得出根号2 的准确到任意小误差界的要求下的近似值。特别是:这个数列的第n项是根号2 的准确到1/10^n 的近似值;但人们无法写出根号2 的绝对准十进小数表达式。
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