数论小猜想

蔡家雄

求 a^5+b^5=c^5+d^5，有例子吗 ？

求 a^6+b^6=c^6+d^6，有例子吗 ？

ysr

蔡家雄 发表于 2023-2-6 04:54
定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

3w+1 猜想

k的值在10000内，有：6组既是长方形数又是三角数的解:
w=0 k=0
w=6 k=2
w=210 k=14
w=7140 k=84
w=242556 k=492
w=8239770 k=2870

蔡家雄

定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

设 w 为三角数，且 3w+1 =完全平方数，

例 w= 1, 21, 120, ...... , 使命题成立，求 w 的通解公式。

此题，不是递推公式的通解(即用方根表示)公式，王守恩老师了如指掌。


定义：形式 k*(k+1) 的数，叫长方形数。

求 w 既是三角数，又是长方形数的通解公式。

如：6=3*4/2，有 3^2+4^2=5^2
如：210=20*21/2，有 20^2+21^2=29^2

所谓：菲波那契数列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...... )中的平方数，
所谓：佩尔数列中的平方数，

在伟大的三L 之一的 拉格朗日 时代，早已解决，，，，

蔡家雄

所有 三角数的 9 倍，再 +1，仍是 三角数。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-2-6 19:47
定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

设 w 为三角数，

1000000 之内就120一个

蔡家雄

求解：毕氏方程

a^2+b^2 = c^4

7^2+24^2=5^4
119^2+120^2=13^4
527^2+336^2=25^4
1519^2+720^2=41^4
3479^2+1320^2=61^4
6887^2+2184^2=85^4

由我另类公式解：

a = (2k^2+2k -1)^2 -2,
b = 4k(k+1)(2k+1),
c = 2k^2+2k+1.

此时：
当 a < b 时，a为勾，b为股，
当 a > b 时，b为勾，a为股，即 a 可为勾，可为股，b 亦如是。

蔡家雄

定义：形式 m*(m+1)/2 的数，叫：三角数。

设 w 为三角数，

则 w =m*(m+1)/2 ，

定理：8*w+1= 完全平方数，这是人们在几百年前早已证明的。

设 X=2*w，则 4*X+1=[m+(m+1)]^2，我发现了新公式，简直：欺人自欺！

这样简单的参数变换，谁不会！人贵有自知之明。

蔡家雄

定理：n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1= [(n+1)*(n+2) -1]^2

作参数变换：设 X= ？ 我发现了新公式，简直：欺人自欺！

几百年前，人们早已熟知这些公式。人贵有自知之明。

Treenewbee

蔡家雄 发表于 2023-2-9 19:17
请 Treenewbee 验证，我估计两对两错，

10是  524287  的原根，

only 162259276829213363391578010288127

Treenewbee

—  590295810358705651457   

—  166153499473114484040918288497115137  

—  14474011154664524421669271390699307717822958659997404088829842556525106692097  

—  948568795032094272498517369860869830595245418741589874365552561784429392173203457  

—  1042962419883256875717131343882335230085027657366772220273868032469284772199697206034988793857  

—   4697085165547666453741925217244187968482919409407261580363113549398481799593076437573016697006200699880472577  

— 5678427533559428829953966861850380473870383124110696483131658476694654021639152938220509972982702192730065559118647287555324825829377  

—   449891379454319638085944566373848671425619884968118769200788173344623061138451477055318334934153734457472959621883841314831643410461516037935353038130998553870337  

—   29484081443918291801600463101876546530549424781270631658342853728313216934769556000297342398244699141404947881779779424408806582548005915062131296706953121226446340097

10 是这些质数的原根