勾股数新公式

Treenewbee

(4) 设 \[f_n=1, 10, 99, 980, 9701, 96030, ... \] 是 三角数,则有

\[f_n=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{2 n}-\left(\sqrt{5}-1\right)^{2 n}}{4 \sqrt{6}}\]


\[f_n*f_{n+1}=\frac{1}{96} \left(\left(\sqrt{5}-1\right)^{4 n+2}+\left(\sqrt{5}+1\right)^{4 n+2}-3*2^{4n+2}\right)\]

蔡家雄

设 \(f_1=1, f_2=k, f_{n+2}=k*f_{n+1} -f_n\) ，

且 \(f_n*f_{n+1}\) 是 三角数，

则 \(k=6, 10\) 是最小的两个解，还有第三个解吗？

Treenewbee

若有第三个解，则\[k>10^{10}\]

蔡家雄

设 \(f_n=1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...\) 是 兔子数列，

求证：\(\frac{f_n}{f_{n+1}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) 有正整数解，

蔡家雄

设 \(L_n=1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, ...\) 是 卢卡斯数列，

求证：\(\frac{L_n}{L_{n+1}}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\) 有正整数解，

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-11-27 06:51
若有第三个解，则\[k>10^{10}\]

猜想:  1/x+1/y+1/z=n/(n+a) 均无解,  其中a固定不变, n遍历1,2,3,4,5,6,...

又题目: a,b是正整数,  满足 \(\bigg\lceil\frac{a+n}{\sqrt[n]{b}}\bigg\rceil\)=n,  n=1,2,3,4,5,...,  这样的{a,b}有多少对？

Treenewbee

1. a = 7; Table[{n,
   
2.    Flatten@Values@
   
3.      FindInstance[{n/(n + a) == 1/x + 1/y + 1/z, 0 < x < y < z}, {x,
   
4.        y, z}, Integers]}, {n, 15}] // MatrixForm

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1        {15,18,360}
2        {5,46,2070}
3        {6,8,120}
4        {3,34,1122}
5        {3,13,156}
6        {3,8,312}
7        {4,6,12}
8        {4,5,12}
9        {2,17,272}
10        {2,12,204}
11        {2,10,90}
12        {2,8,152}
13        {3,4,15}
14        {3,4,12}
15        {2,6,66}

Treenewbee

a=6:

1        {14,18,63}
2        {10,12,15}
3        {5,8,120}
4        {4,12,15}
5        {3,9,99}
6        {4,6,12}
7        {3,5,195}
8        {3,6,14}
9        {3,5,15}
10        {3,6,8}
11        {2,7,238}
12        {3,4,12}
13        {2,6,57}
14        {3,5,6}
15        {2,7,14}

Treenewbee

王守恩 发表于 2023-11-29 08:40
猜想:  1/x+1/y+1/z=n/(n+a) 均无解,  其中a固定不变, n遍历1,2,3,4,5,6,...

又题目: a,b是正整数,   ...

1. ab = Select[Tuples[Range@20, {2}],
   
2.   Total[Table[
   
3.       Abs[Ceiling[(#[[1]] + n)/#[[2]]^(1/n)] - n], {n, 1000}]] == 0 &]

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{{1,3},{1,4},{1,5},{1,6},{1,7},{2,8},{2,9},{2,10},{2,11},{2,12},{2,13},{2,14},{2,15},{3,20}}

王守恩

Treenewbee 发表于 2023-11-29 09:08
1        {15,18,360}
2        {5,46,2070}
3        {6,8,120}

{1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1}
Table[Length@Flatten@FindInstance[{n/(n+7)==1/x+1/y+1/z,0<x≤y≤z},{x,y,z},Integers,1]/3,{n,36}]