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我对圆周率π与实数理论的认识
关于圆周率π已有很多研究与表达。我从这些研究与表达中，得到了有益有用的知识，但我也看到了一些不正确的、无用的应当改革的地方。例如，周髀算经中“周三径一”就是圆周率的一个表达，但它只能是误差界为1的圆周率的不足近似值；祖冲之得到的3.14159265是误差界为1/10^8的圆周率的一个不足近似值。茅以升介绍了法国人50万位小数的近代电子计算机计算结果，但根据圆周率不是有理数的研究结论，这个结果也是近似的，茅以升使用的等号应当改为近似等号。
提出圆周率表达符号π并称它是一个数的做法是有益的。这时对任意长的直径D，都可以写出它的圆周长C的表达式C=πD； 而且由此可以得出：π代表直径为1的圆周长。但与十进小数相比，这个数π不够清晰，人们无法指出它在钢尺上的位置。为此，就需要使用近似方法，例如使用有尽小数4.1416或3.14159265近似表示π 的大小，并称π为无理数。在此，需要指出：余元希《初等代数研究》上册定义2中，“称十进小数α=a0. a1a 2a3……为实数。当α是无限不循环小数时，特别叫它无理数。”不恰当。根据这个定义，得出的等式π=3.1415926……也不恰当。因为：无尽小数3.1415926……是永远写不到底的事物，它不能被看作定数。正确的做法是：必须坚持“无理数不能表示为有理数（包括有尽位十进小数）”的道理，取消无用的、无法证明的等式π=3.1415926……。 提出针对误差界1/10^n的不足近似值无穷收敛数列{3，3.1，3.14，3.141，3.1415，……}与过剩近似值无穷收敛数列{4，3.2，3.115，3.142，3.1416，……}，这两个数列的极限都是π。前一个数列，可以简写为：无尽不循环小数3.1415926……。于是有等式π=lim{3,3.1,3.14,……}=lim3.1415926……成立。考虑到数列{3,3.1,3.14,3.141，……}存在着任意小误差界下的足够准近似值，我们称这个数列为π的全能近似值序列，并称这个数列与圆周率π之间成立全能近似相等关系，记作π~3.1415926……。从这个全能近似等式中可以得到π≈3.1416,或π≈3.14159165358979323846 。在这个改革的意义下,可以得到每一个实数都是它的全能近似表达式的极限； 实数的四则运算法则是其全能近似值数列四则元算的极限。例如：π-1/3是无穷数列{3.1-0.3=2.8，3.14-0.33=2.81，3.141-0.333=2.803，……}的极限。 实数理论与无尽小数理论的这个改革是坚持“无穷是无有穷尽、无有终了、无有尽头、无有底的写不到底的；不是完成了的实无穷”意义的改革；这个改革就消除了布劳维尔提出的三分律反例，消除了连续统假设的大难题，消除了两千多年来的“实无穷与潜无穷观点”的争论。还应当取消等式1/3=0.333……、 0.999……=1、√2=1.4142……，建立全能近似等式1~0.999……与极限性等式1=lim0.999……。(详细论述参看：曹俊云 杨建辉著 《全能近似分析数学理论基础及其应用》中国水利水电出版社2009 )
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发表于 2014-7-15 19:21
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