非标准分析中的无穷单位元Ω与标准微积分中的无穷大∞是什么关系？

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/08/30 09:56am 发表的内容：
    哈哈!
         你--ygq的秋后蚂蚱,真是无知加白痴!
         你连数都不懂还来谈无穷单位?
         你到邪教那搞你的歪门邪道去吧!-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在  时添加 -=-=-=-=-
...

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言）
不要在这个帖子“添乱”

申一言

下面引用由ygq的马甲在 2009/03/16 00:00pm 发表的内容：
实际上，这种“无穷单位元”，就是“维度”上增加 1 后的情况
点： 0 维 =======> 那么“无穷单位元”的维是 1
线： 1 维 =======> 那么“无穷单位元”的维是 2
面： 2 维 =======> 那么“无穷单位元” ...

       哈哈!
            显然是吃黄豆喝凉水的结果!
            放屁!放屁!!再放屁!!!

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/08/30 10:50am 第 5 次编辑]

下面引用由天茂在 2009/08/30 08:33am 发表的内容：
27楼的图我看到了。但我的疑问是：整个序列“…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…”有长度没有？
如果有长度的话，在大图中就不应该表现为一个点0；如果没有长度，1/Ω 和 2/Ω 就只能表示为同一个点。
不管怎么说，总是说不通。同理，无穷远点的几何解释也存在同样的问题。
请教陆老师：这个矛盾该如何解决？

我不太明白你说“有长度没有？”是什么意思。
如果你问的是“1/Ω  作为一个点，有长度没有？”，那么我的回答当然是“没有长度”，因为一个点，显然是没有长度的。
我猜想，你想问的也许是“从 -1/Ω  到 1/Ω  的距离，是不是等于 0 ？”
因为从 -1/Ω  到 1/Ω   的距离等于 2/Ω ，所以你的问题，其实也就是问：“ 2/Ω  这个数是不是等于 0 ？”
我的回答是：“ 2/Ω  是一个非 0 无穷小量，它的绝对值小于任何正实数，但是 2/Ω  不等于 0 ”。
我们都知道，在传统的标准的微积分中，如果一个实数的绝对值小于任何正实数，那么这个实数就一定等于 0 。
所以，在传统的标准的微积分中，显然是不可能有这样一个数，它的绝对值小于任何正实数，而它本身又不等于 0 。
但是，在非标准分析中，打破了传统的标准的微积分的框框，认为在普通的实数以外，还可以有无数个“超实数”。
无穷小量  1/Ω 、 2/Ω、-1/Ω 、-3/Ω  等都是“超实数”，无穷大量 Ω 、Ω+1、2Ω、-Ω  等也都是“超实数”。
在非标准分析中，无穷小量的定义，就是“绝对值小于任何正实数的超实数”；无穷大量的定义，就是“绝对值大于任何正实数的超实数”。
如果一个超实数，它的绝对值小于任何正实数，而又不等于 0 ，这样的超实数就称为“非 0 无穷小量”。
只要我们承认了有“非 0 无穷小量”的存在，就不会对 2/Ω  这样的数，绝对值小于任何正实数，而又不等于 0  感到奇怪了。
非 0 无穷小量与 0 靠得很近，用肉眼看不出它们与 0 有什么区别，好像是一个点，只有用“无穷小显微镜”才能看出它们与 0 的区别。
从只接受传统的标准微积分的观点，到接受非标准分析的观点，需要我们在思想中作一个“大胆的跳跃”。
如果我们敢于做这样一个“大胆的跳跃”，接受了非标准分析的观点，那么，传统微积分中许多复杂难懂的证明，都可以变得简单易懂。

ygq的马甲

“说来说去”说到底，“扩张、扩展、拓展ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”方式的不同

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/08/30 11:24am 第 1 次编辑]

   陆教授上帖谈到的问题实际早以存在纯粹数学中!
       只要承认
       当n→∞时,1/n→0即可!   1/n≠0, (事实是在纯粹数学中1/n永远不为0)
      因此 n×1/n= (n/n)×1=1^2  (单位元)
       即 Ω=n. n=1,2,3,,,,, (万数都包含在单位元之中亦!)
      而不必再提出非标准分析了?
                 门外汉之言不必在意!

申一言

下面引用由ygq的马甲在 2009/08/30 11:06am 发表的内容：
“说来说去”说到底，“扩张、扩展、拓展ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ”方式的不同

      哈哈!
          又是沾凉水吃黄豆-----放屁!放屁!!再放屁!!!

         0-----1----------a----------b------------------Ω----------→n
         0-Ω?

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/08/30 11:21am 发表的内容：
      哈哈!
          又是沾凉水吃黄豆-----放屁!放屁!!再放屁!!!
         0-----1----------a----------b------------------Ω----------→n
         0-Ω?

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言）
不要在这个帖子“添乱”

天茂

[这个贴子最后由天茂在 2009/08/30 00:35pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2009/08/30 10:24am 发表的内容：
我不太明白你说“有长度没有？”是什么意思。
如果你问的是“1/Ω  作为一个点，有长度没有？”，那么我的回答当然是“没有长度”，因为一个点，显然是没有长度的。
我猜想，你想问的也许是“从 -1/Ω  到 1/Ω  ...

谢谢陆老师的解释！
通过这个解释，我已经明白了1/Ω是怎么回事了，但是疑问仍然没有解决：
1/Ω是一个超无穷小，那么Ω/Ω也是超无穷小么？
我的意思是：如果把序列“…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…”写得长一点的话，是不是可以写成序列“…，-Ω/Ω，…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…，Ω/Ω，…”呢？

ygq的马甲

下面引用由天茂在 2009/08/30 00:34pm 发表的内容：
谢谢陆老师的解释！
通过这个解释，我已经明白了1/Ω是怎么回事了，但是疑问仍然没有解决：
1/Ω是一个超无穷小，那么Ω/Ω也是超无穷小么？
我的意思是：如果把序列“…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω， ...

你（天茂）仍然还没有明白：Ω 遵守“形式ｆｏｒｍａｌ”逻辑的，遵守“等号 ＝”运算
以“1/Ω是一个超无穷小，那么Ω/Ω也是超无穷小么？”为例，Ω/Ω =1 ，并不是超无穷小，即可以按“加、减、乘、除、……”等运算

luyuanhong

下面引用由天茂在 2009/08/30 00:34pm 发表的内容：
谢谢陆老师的解释！
通过这个解释，我已经明白了1/Ω是怎么回事了，但是疑问仍然没有解决：
1/Ω是一个超无穷小，那么Ω/Ω也是超无穷小么？
我的意思是：如果把序列“…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…”写得长一点的话，是不是可以写成序列“…，-Ω/Ω，…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…，Ω/Ω，…”呢？

楼上说得很对。无穷小量 1/Ω  乘以任何一个实数 x ，得到的结果 x/Ω  都是无穷小量。
但是，无穷小量乘以一个无穷大量 Ω ，得到的结果 Ω/Ω  就不是无穷小量了，而是等于一个实数 1 。
对于超实数域中各种数相乘的运算结果，我过去在《数学中国》发表过一个帖子，现在重新发表在下面，你可以看一下。
至于能不能把序列“…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…”写成序列
“…，-Ω/Ω，…，-3/Ω，-2/Ω，-1/Ω，0，1/Ω，2/Ω，3/Ω，…，Ω/Ω，…”的问题，
我认为是可以的。比如：
序列“1，2，3，… ”可以写成“1，2，3，…，Ω，… ”；序列“√1，√2，√3，… ”可以写成“√1，√2，√3，…，√Ω，… ”。
这表示序列可以从有限数一直延伸到无穷大。
但是“1，2，3”是有限数，并不表明 Ω  也是有限数。“√1，√2，√3”是有限数，并不表明 √Ω  也是有限数。
同样道理，“1/Ω，2/Ω，3/Ω，… ”可以写成“1/Ω，2/Ω，3/Ω，…，Ω/Ω，… ”，
其中“1/Ω，2/Ω，3/Ω ”是无穷小量，并不表明 Ω/Ω 也是无穷小量。