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此发牌游戏之解难于上青天

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发表于 2020-1-11 10:16 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 费尔马1 于 2020-1-13 17:35 编辑

发牌游戏规则:奇数数列1 3 5 7……(2n-1),手里牌的编号是连续的,编号是1 2 3 4……(2n-1),但手里牌的总张数只能是奇数,从上到下牌的编号是1 2 3 4 5……奇数(2n-1),从上面拿2张放到最下面,再扔掉两张,一直都是拿两张扔掉两张,最后手里只剩下一张牌,试用n的代数式表示最后一张牌的编号?
解:开始手里牌的编号为,1 2 3 4 5……J,其中J为奇数。
①由奇数数列的通项公式得对应于J的项序为n,n=(J+1)/2;
②求参数k=(1/2)*〔㏒2【3n+2】-1〕,注:k取整数,(即小数部分皆舍去);
③再求参数d=(1/3)〔3n-2^(2k+2)+1〕;
④当d≤0时,A=(1/3)〔12n-2^(2k+3)-1〕;
⑤当d>0时,B=(1/3)〔12n-2^(2k+4)-2〕。
其中,A、B表示最后一张牌的编号,A为奇数,B为偶数。
 楼主| 发表于 2020-1-13 17:45 | 显示全部楼层
请老师们验证!谢谢!
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 楼主| 发表于 2020-1-15 14:46 | 显示全部楼层
这个题的解法很巧妙,但解题过程还是比较复杂的,按理说答案只有一个通项公式,我也是没有办法,才用④⑤两个通项公式的,不过也还凑乎啊!因为题目没有要求写出最后一张牌编号的通项公式,只要求用n的代数式来表示其编号。
根据我的答案,①②③④⑤五个公式,可以求出所有的J值对应的最后一张牌的编号。(J为奇数)
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 楼主| 发表于 2020-1-16 09:01 | 显示全部楼层
特请老师们审核!谢谢老师!
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发表于 2020-1-16 16:59 | 显示全部楼层
请教程老师:这个公式
可以求出 所有的本原勾股数吗?

设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素,

设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+4kn -2n
    c= 2*n^2+4kn -2n+(2k -1)^2

则 a^2+b^2 =c^2


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 楼主| 发表于 2020-1-16 18:51 | 显示全部楼层
蔡老师您好:您的这个公式可以求出 所有的本原勾股数。
学生我受你的启发,又得到另一个与你类似的公式:
设 (2k -1) 与 (2n+1) 同奇且互素,
设 a= (2k -1)*(2n+1)
    b= 2*n^2+2n-2k^2+2k
    c= 2*n^2+2n-2k^2+2k+(2k -1)^2
则 a^2+b^2 =c^2
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 楼主| 发表于 2020-1-18 06:09 | 显示全部楼层
蔡老师您好:您的方程是对的,三个数永远是两两互质的。
据程氏集合两分法,设A与B互质,则A与(A+B)互质,又设M=A+(A+B)则M与A互质,M与(A+B)互质,故M、A、(A+B)两两互质。无论它们是不是平方数,都是互质的,无论它们是不是n次幂,也都是互质的。
若继续加下去,它们仍然互质。例如,A、M、(A+M)两两互质。
同理,设M=B+(A+B)则M与B、(A+B)互质,故M、B、(A+B)两两互质。无论它们是不是平方数、n次幂,三个数都是两两互质的。
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 楼主| 发表于 2020-1-18 06:29 | 显示全部楼层
程氏集合两分法:
设A与B互质,A+B=M,A-B=N
则M、A、B两两互质;N、A、B两两互质。
当然,程氏集合两分法还有更一般的形式,见本论坛《素数的来源与“1-1”定理》。
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 楼主| 发表于 2020-1-18 09:18 | 显示全部楼层
勾股数通式有无穷多个,其中一个是总公式(本原):a=(u^2-v^2)/2,b=uv,c=(u^2+v^2)/2,其中u、v为互质的奇数,u>v
这个总公式可以有无穷多的变化,例,取u=4n^13 +7,v=2k^2-1,就可以得到一组勾股数通式。……
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 楼主| 发表于 2020-1-18 18:06 | 显示全部楼层
蔡老师您好:根据勾股数的总公式 进行变换可得:
a^2+(a+p)^2 =c^2 有 本原勾股数的解,
①a为奇数时,p=(1/2)*k^2 - (2n -1) 是素数,k为偶数,n为正整数;
②a为偶数时,p=(2k -1)-(1/2)*n^2  是素数,n为偶数,k为正整数。
因时间关系,我就不举例了。
您的上述公式可能是根据蔡氏勾股数进行变换而得,具体如何,还请老师指点!谢谢!
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