分数次幂的一个问题。

luyuanhong

下面引用由fm1134在 2010/01/10 08:27am 发表的内容：
    非常感谢陆老师的解答！
    我查阅了一些关于复数方面的书籍，都没有提到“黎曼面上的复数可以自由地进行幂运
算”这样的命题。不知什么书中对这方面内容有所介绍呢？

这个结论，是我在学习复变函数过程中，自己体会出来的。
好像没有看到有哪一本书这样明确地说过。也许，别人觉得这个结论太简单了，是不言自明的，所以就不说了。

申一言

   数学中存在的问题太多!
        这都是由于概念不清造成的!
      P=(√P)^2----是素数是单位是正整数![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 申一言 在 时添加 -=-=-=-=-

   素数P是面积!那儿来的负数?

fm1134

下面引用由luyuanhong在 2010/01/10 09:14am 发表的内容：
这个结论，是我在学习复变函数过程中，自己体会出来的。
好像没有看到有哪一本书这样明确地说过。也许，别人觉得这个结论太简单了，是不言自明的，所以就不说了。

我查阅了几本《复变函数》方面的书籍，没有一本提到“黎曼面”这个概念的，也没有一本
提到“e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi)”的。不知陆老师能否推荐几本适合初学的介绍“黎曼面”
概念的书籍？

BlaisePascal

黎曼面可由幅角函数确定，学复变时多值函数和黎曼面会放在一起吧

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/01/13 10:47am 第 2 次编辑]

下面引用由fm1134在 2010/01/10 08:27am 发表的内容：
    非常感谢陆老师的解答！
    我查阅了一些关于复数方面的书籍，都没有提到“黎曼面上的复数可以自由地进行幂运
算”这样的命题。不知什么书中对这方面内容有所介绍呢？

    我还是在几十年前，自学复变函数时，学到有关黎曼面的知识，并产生了自己的一些体会。
我已经忘了，我是在什么书上看到关于黎曼面的介绍，那时候我看的书，现在恐怕也找不到了。
我特地去翻阅了一些现在能找到的《复变函数》教材，里面确实很难看到有关于黎曼面的介绍。
    最近，我在看一本书：《复分析可视化方法（Visual Complex Analysis）》
（【美】Tristan Needham 著，齐民友译）。这本书中，也没有关于黎曼面的介绍，但是，
在这本书后面，翻译者写的“译后记”中，有这样一段话：
    1851年，黎曼发表了以高斯为评阅人的著名博士论文，题为《单复变函数的一般理论基础》。
高斯通常很少称赞他的同时代人，但是对于黎曼他却热情地称赞说：“黎曼先生提交的这篇论文
令人信服地证实了他在这篇论文处理的主题上深刻而彻底的研究，表现了一种创造的、富有活力的、
真正的数学才智，一种光辉的富有成果的独创性。” ……
    黎曼在这篇博士论文中提出了现在以他的名字命名的几何对象——黎曼曲面。现在的教本里通常
要么根本不提黎曼曲面，要么就把它说成是一个奇怪的崂山道士可以钻过来钻过去的虚构的
“曲面”——一切都是为了“方便”的权宜之计。这就离黎曼的思想相距太远了。

tpfly

龚升的《简明复分析》里提到一点黎曼曲面。

BlaisePascal

是啊，一般复变函数的初等教材只在思想深度上是比不上一些原著的，而原著的许多内容由于被挖掘所以被发展成庞大的内容，
所以初等教材可能会提到一些内容
对于复平面来说这只是一个简单的黎曼曲面
电子版可以下载 黎曼曲面.pdf
但适合研究生阶段学习。
紧黎曼曲面（伍鸿熙）这本书里也有涉及

fleurly

下面引用由luyuanhong在 2010/01/10 09:14am 发表的内容：
这个结论，是我在学习复变函数过程中，自己体会出来的。
好像没有看到有哪一本书这样明确地说过。也许，别人觉得这个结论太简单了，是不言自明的，所以就不说了。

复变函数及应用（英文版·第7版）
（美）James Ward Brown,Ruel V.Churchill
在讲到复平面时， 提到指数函数和对数函数， 在复平面上都是单值函数
这应该是包含了“幂可以随便运算”的含义

fleurly

我觉得没必要非得讨论这些区别， 这不过是一些背景的问题。 指数函数， 在实数域内讨论的时候， 是一种函数； 在复数域内的话， 又是另外一种含义。
对于复变函数， 指数函数是多值函数， 自然不能随便进行幂运算。
对于实变函数， 指数函数是单值函数
拿一个多值函数跟一个单值函数作比较， 当然会有区别了

BlaisePascal

[这个贴子最后由BlaisePascal在 2010/01/13 04:49pm 第 1 次编辑]

e^(4kπi+2πi)≠e^(2kπi)
虽然没有提到这个等式，但有如下性质可证：
两个复数w,z满足e^w=ez,当且仅当：w=z+2k(Pi) I
加法公式，e^(z+w)=e^z * e^w
我想这在学习复数的指数表示时一定会涉及到的。