本原勾股方程

蔡家雄

最新发现，

若 2n+1,  u ,  w  两两互质，

则 \(x^{2n+1}+y^{2u}=z^{2w}\) 必有解。

蔡家雄

由：49，5，24 两两互质，

求：\(x^{49}+y^{10}=z^{48}\)

用：\(x^{98}+y^{10}=z^{48}\)

用：\((2^{0+a}*3^{1+b}*5^{0+c})^2+(2^{2+a}*3^{0+b}*5^{0+c})^2=(2^{0+a}*3^{0+b}*5^{1+c})^2\)

解指数方程，
注：为了方便，同一字母k，代表：不同的数字，
0+a=49k ,        1+b=49k ,        0+c=49k ,
2+a=5k ,          0+b=5k ,          0+c=5k ,   
0+a=24k ,        0+b=24k ,        1+c=24k ,
0+a=1176k ,    0+b=120k ,      0+c=245k ,
2+a=5k ,          1+b=49k ,        1+c=24k ,

故，a=3528 ,    b=2400 ,          c=4655 ,

解：\((2^{3528}*3^{2401}*5^{4655})^2+(2^{3530}*3^{2400}*5^{4655})^2=(2^{3528}*3^{2400}*5^{4656})^2\)

即：\((2^{72}*3^{49}*5^{95})^{98}+(2^{706}*3^{480}*5^{931})^{10}=(2^{147}*3^{100}*5^{194})^{48}\)

lusishun

X^49+y^10=z^48
解：由49k=48·10m+1，
得最小的k=49，m=5，
由a^2401+b^2400=c^2400,
得原方程的解是：
X=(a^2400-1)^49,
Y=(a^2400-1)^240,
Z=[a(a^2400-1)]^50.
(a为大于1的整数）

lusishun

cz1 发表于 2024-2-25 02:11
求：\(x^{314}+y^{159}=z^{314159}\)

解：由159k=314·314159m+1，
得k=38465707，
     m=62，
由此得，原方程的解是：
x=[a^(314·314159·62）-1]^（314159·62），
y=[a^(314·314159·62）-1]^38465707,
Z=｛a[a^（314·314159·62）-1]}^（314·62）。
（a为大于1的整数）

(接受网友的耐心验算）.

cz1

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cz1

鲁思顺老师：用你的方法，

求：\(x^{42}+y^{50}=z^{52}\)

cz1

求：\(x^{22}+y^{26}+z^{34}+u^{38}=w^{46}\)

用：\(1^2+1^2+1^2+1^2=2^2\)

Treenewbee

\[\left(2^{338} 3^{31} 5^{125}\right)^{42}+\left(2^{284} 3^{26} 5^{105}\right)^{50}=\left(2^{273} 3^{25} 5^{101}\right)^{52}\]

\[\left(2^{62} 3^{494} 5^{125}\right)^{42}+\left(2^{52} 3^{415} 5^{105}\right)^{50}=\left(2^{50} 3^{399} 5^{101}\right)^{52}\]

Treenewbee

\[\left(2^{21879}\right)^{38}+\left(2^{24453}\right)^{34}+\left(2^{31977}\right)^{26}+\left(2^{37791}\right)^{22}=\left(2^{18074}\right)^{46}\]

cz1

请教 Treenewbee，程中占的

A^11+B^13=C^17
A=a^181*b^170*c^91
B=a^153*b^144*c^77
C=a^117*b^110*c^59
其中，a、b、c为正整数，且a^2+b^2=c^2

是 (a, b, c)=(8, 15, 17) 还是 (a, b, c)=(15, 8, 17) ？