【趣题征解】证明：若正整数 n 不是 6 的倍数，则 1^n+2^n+ … +6^n 必能被 7 整除

FARSPACEMAN

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 00:01pm 发表的内容：
说的很对。
方程y-a=0和方程y^p-a^p=0在实数域有相同的根，但是若p不小于3，在复数域里y^p-a^p=0还有虚数根。正因为如此，就更不能把y^p-a^p=0和y-a=0看成同一个方程

说的更清楚一些，你的证明的错误在于误用了代数基本定理。代数基本定理是对方程在复数域内根的个数的判定，所以要看复数域内y^p-a^p=0和y-a=0是不是有相同的根和重数。而不判定在实数域内y^p-a^p=0和y-a=0有相同的根和重数。

申一言

   哈哈!
        250≌125+125!
           =1+249
           =3+247
           =5+245
           =7+243
           =11+239
           =17+233
           =19+231
           =23+227
           =29+221
           =31+219
           =37+213
           =41+209
           =*  + *
好了!
     不一一列举了!

FARSPACEMAN

[这个贴子最后由FARSPACEMAN在 2009/10/06 00:19pm 第 1 次编辑]

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 00:06pm 发表的内容：
我们应该这样理解——
方程y^p=a^p
实际是方程
y=a
两边同时自乘p-1次得出的，在这个过程中，并没有任何的别的因素参与，他哪来的“复根”？

我觉得我是能说服你的，因为我能说明白这个“虚根”是怎样产生的。
为什么会产生虚根呢？先来看下面的例子。
方程x-2=0只有一个根x=2。
这个方程两边同时自乘1次，得到
x^2=4。
就是
x^2-4=0。
这时我们发现产生了一个新的负根：x2=-2.
同样的道理，方程y=a两边同时自乘，产生了“虚根”，这也不足为奇。
我举一个例子，下面是四个：
x1=1
x2=i
x3=-1
x4=-i
这4个式子同时自乘3次，竟然得到了同一个方程：x^4-1=0
同时看到，x1=1  x2=i  x3=-1  x4=-i 正是这个方程的4个复根。
我们从这个例子中知道，不同的一次方程自乘后，可以得到同一个方程。并不是只有方程x=a自乘p-1次后可以得到方程x^p-a^p=0。所以在自乘后，产生其他的根，就没什么奇怪的了。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 00:04pm 发表的内容：
当然，只有一个整根的高次方程也是有的，如y^5+5y^4+10y^3+10y^2+5y+1=0，就只有一个复根-1。

这个例子错误，它是一个重根方程。当然，实际上重根与只有一个根在有理数域性质基本相同，可以相互变换。
在原“三句话证明”中就是把原方程化为重根方程的。
现在的这个证明不过是进一步的化简了原证明，就是讲一个简单的道理，这里不存在什么证明错误的问题。

FARSPACEMAN

下面引用由moranhuishou在 2009/10/06 00:17pm 发表的内容：
这个例子错误，它是一个重根方程。

很正确，重根计重数。

申一言

   X^n-1=0, n＞2
  即:
        n-1
  X^n-1=∏(X-ζ^i)
       i=0
      扯吧?
      有必要吗?!

moranhuishou

y^p-a^p=0
与
(y-a)^p=0
都是只有一个根，不同的是下面的是一个重根方程，而上面的正经只有一个根。
但在本证明中其性质完全相同。

moranhuishou

下面引用由FARSPACEMAN在 2009/10/06 00:13pm 发表的内容：
我觉得我是能说服你的，因为我能说明白这个“虚根”是怎样产生的。
为什么会产生虚根呢？先来看下面的例子。
方程x-2=0只有一个根x=2。
这个方程两边同时自乘1次，得到
...

我发现，在这个问题上你是很糊涂的。