无穷的概念及其在数学理论中的应用

jzkyllcjl

符号∞表达的是趋向性广义极限性质的非正常实数;无穷序列、无穷集合、无穷数列、无尽小数都需要有一个无限延续下去的法则，但都具有永远延续不到底的事实：无穷事物的可认识性，来源于它的延续法则；根据这个法则，可以提出无限延续的趋向性极限。因此，无尽小数，只能是理想实数的针对误差界序列{1/10^n }的最大不足近似值的，以十进小数为项的康托尔基本数列的简写，它的趋向性极限才是理想实数，但它本身不是定数，而是无穷数列性质的变数。数学理论的阐述，不能单靠形式逻辑规律，还必须使用唯物辩证法。具体来讲，需要使用：理论与实践、理想与现实、精确与近似、无限与有限、零与非零足够小之间的对立统一、分工合作的关系进行阐述。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-28 10:52
春风晚霞先生：你引用恩格斯的话“数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。 ...

Jzkyllcjl先生：你于 2020年6月28日 10:44 发表在39楼的雄文读毕，春风晚霞为先生坚定的“唯吾”主义意志而惊叹；现把春风晚霞所引部分和jzkyll先生所引用部分和在一起，再论“无限循环小数可化为分数和极限可达问题。”
第一、关于无限循环小数可化为分数
恩格斯认为“数学是从人的需要中产生的，如丈量土地和测量容积，计算时间和制造器械。但是，正像在其他一切思维领域中一样，从现实世界中抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并且作为某种独立的东西，作为世界必须遵循的外来的规律而同现实世界相对立。社会和国家方面的情形是这样，纯数学也正是这样，它在以后被应用于世界，虽然它是从现实世界得出来的，并且只表现世界的构成形式的一部分——正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。”（参见恩格斯《反杜林论》P39页）正如jzkyllcjl先生所说，春风晚霞引用恩格斯的这段论述，确实“是为了说jzkyllcjl无法认识‘无限循环小数可化为分数’、‘数列极限具有可达性’……这些‘从现实世界中抽象出来的规律，在一定的发展阶段上就和现实世界脱离，并作为某种独立的东西，作为世界必须遵循的外来的规律而同现实世界相对立’”。如恩格斯通过分别用3、6、7、9做除数抽象出如下规律：“在用3做除数的情况下，有数字横和的规则。在用9和6做除数的情况下也是一样，但是在用6的情况下必须同时是偶数。在用7做除数的情况下有特殊的规则”。如果我们把这段话翻译成数学语言：那么它们的数学表现形式分别为：1/3＝0.3333……；2/3＝0.6666……；4/3＝1.333……；7/3＝2.3333……；……；1/9＝0.1111……；2/9＝0.2222……；3/9＝0.3333……；4/9＝0.4444……；……；2/6＝0.333……；4/6＝0.666……；8/6＝1.333……；10/6＝1.666……；；……；1/7＝0.142857142857……；2/7＝0.285714285714……；3/7＝428571428571……；……；如果我们把这些通过计算所呈现出来的规律，从有限步除法这个现实中抽象出来，我们一定能发现“无限循环小数可化为分数”这个更一般的规律。Jzkyllcjl先生，把自己禁锢在有限除法这个思维环境，总觉得“教科书中无限循环小数可化为分数的提法是错误的；现行教科书中把它作为定数得到的等式1/3=0.333……是概念混淆的错误证明。”jzkyllcjl先生，为了找回把马克思的极限等式解读成1/3≠1/3丢失的面子，在春风晚霞所引恩格斯论述的基础上增添了恩格斯“社会和国家……它才是可以应用的”这一段。增加的目的是为了说明春风晚霞“引用的话是断章取义”。春风晚霞感谢jzkyllcjl先生，你增添的“社会和国家方面的情形是这样，纯数学也正（jzkyllcjl引文中无“正”字）是这样，它在以后被应用于世界，虽然它是从现实世界得出来的，并且只表现世界的构成（jzkyllcjl先生引文中是“联系”）形式的一部分——正是仅仅因为这样，它才是可以应用的。”正好是春风晚霞论证的补充。下面我们证明无限循环小数可化成分数。证明分两步①证明无限循环小数0.999……＝1：证明（反证法）：假设无限循环小数0.999……<1，则存在纯小数c使不等式0.999……<c<1成立，由c>0.999……，于是根据逐位比较法：纯小数c在小数点的后边至少存在某一数位上的数字大于9，这与9是0到9这10个数字中的最大数矛盾。所以c不存在，故假设不成立。所以无限循环小数0.999……=1。②证明循环小数可化为分数：证明；因为1＝0.9999……，所以对任意循环小数0.bbbb……＝（0.bbbb……）×9/9＝b/9×(0.999……)＝b/9；所以，当b=1时有；0.111……=1/9；当b=2有0.222……＝2/9；当b=3时有0.333……＝3/9；……当b=8时；0.888……＝8/9；同理对循环小数0.bcbcbc……我们也有0.bcbcbc……＝0.bcbcbc……×99/99＝bc/99×(0.9999……)＝bc/99；如0.232323……＝23/99；0.3737……=37/99；……当然我们也可以证明：小数点后边第一个非零数前边有m个0或一个循环节含有s个数字的无限循环小数都可化成分数。也许jzkyllcjl先生，又要拿“无穷二字的意义是无有穷尽、无有终了的意思。无穷集合不是完成了的整体的实无穷集合”来说事，不过春风晚霞可以告诉你，抽象思维只受事物所呈现的规律的支配，不受你“写不到底、算不到底”地约束。
第二、数学必须讲数理逻辑和极限可达性的证明举例
（1）数学必须讲数理逻辑：
Jzkyllcjl先生，你在数学中国提出的商榷问题至今还停留在中学阶段。按现行的教学大纲规定，集合、极限、微积分初步……这些内容基本下放到中学。先生的观点不仅无助于《数学分析》的后继课程，如《泛函分析》、《概率论与数理统计》、《微分方程》、《人工知能》……等以抽象思维为主体课程的学习，更无助于中学生的应试学习。记得先生曾自暴向国家教委推荐过你的《全能近似分析》，从现行的教学大纲看，教委暂时还没有采纳你的建议。究其原因，可能与你凭感觉立论，不讲数理逻辑（或形式逻辑）不无关系。你常以自己是亚历士多德的信徒自居。可你就不知道“亚历士多德最早从形式结构来论述演绎推理，由他开始了形式逻辑的古典阶段。”（参见《数学史辞典》P346页〈数理逻辑〉词条）“由于数学自身的发展，使其具有高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。”（参见【辞海】〈数学〉词条）所以只有遵从数理逻辑，才能确保数学“高度的抽象性、严谨的逻辑性和广泛的适用性。”才能使自己创建的数学系统完全接纳已有的数学体系，才能克服不应该出现的（如1/3≠1/3）不容洽情形（或称悖论），才能更好地适应一些全新学科（如人工智能的智能模拟、建模、编程……）地挑战。

jzkyllcjl

春风晚霞先生：你的2020-6-28 07:57的帖子读毕.回复如下..
第一,你的极限可达性证明的结论是:当n→∞时, an=A.. 这个结论错误, 事实是n→∞时, an只能趋向于A,而不能到达A.
第二,你用反证法证明了0.999……=1，也是错误的。事实是：0.999……是永远写不到底的事物，它不是定数，它是随着写出的9的个数无限增加而增大的变数。
第三，你讲的数理逻辑（或形式逻辑）有问题，事实是，ZFC形式语言公理体系中的无穷集合的存在公理，没有讲清无穷集合存在的根据：无穷集合的存在依赖于其元素有无限延续下去的法则，而无限延续又是永远无法完成的工作。所以现行数理逻辑（或形式逻辑）不是数学的基础。
第四，你讲道的“全新学科（如人工智能的智能模拟、建模、编程……）”是需要的，但无尽小数的无穷多数字无法在计算机中输入或输出。所以无尽小数的概念需要改革。
第五，马克思、恩格斯是辩证唯物主义者，他们都没有说无尽循环小数是定数，悖论1/3≠1/3是你把0.333……看作定数得到的。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2020-6-29 09:03
春风晚霞先生：你的2020-6-28 07:57的帖子读毕.回复如下..
第一,你的极限可达性证明的结论是:当n→∞时, a ...

哈哈哈，哈哈哈。jzkyllcjl先生，能被把马克思的极限等式解读成1/3≠1/3的学者反对可是我的荣幸啊！马克思、恩格斯确实没讲过“无尽循环小数是定数”，但他们也没说过无尽循环小数是“永远写不到底的事物，它不是定数，也不是实数”。更没说过“现行数理逻辑（或形式逻辑）不是数学的基础”嘛！希望对现行实数理论知之甚少的“数学大师”，少拉大旗作虎皮亵渎辩证唯物主义。

jzkyllcjl

春风晚霞： 无穷是无有穷尽无有终了的意思。因此， 现行教科书中无尽循环小数0.333……是定数 且等于1/3 的论述是错误的，ZFC形式语言集合论中 自然数集合是存在的公理无根据，事实是这个集合无法被完成，它的存在是一个想象的理想事物。恩格斯指出：“数学家的方法常常奇怪的得到”正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”

春风晚霞

jzkyllcjl先生，马克思的极限等式你都能解读成1/3≠1/3，你还能正确理解恩格斯的论述？你还能客观评价“现行教科书中无尽循环小数0.333……是定数且等于1/3 的论述是错误的”？你胡说八道没人阻止你，但你不要亵渎辩证唯物主义！

jzkyllcjl

春风晚霞先生，马克思的极限等式你都能解读成1/3=0.333……，由于0.333……≠1/3，所以1/3≠1/3的悖论是你的杰作。“现行教科书中无尽循环小数0.333……是定数且等于1/3 的论述是违反实践事实的，事实是：无尽循环小数0.333……是永远写不到底的事物，它不是定数：现代的计算机无法输入、输出这样的无穷多个数字。人们无法将线段无限次分割，无尽循环小数0.333……是定数且等于1/3 的论述必须改革。

春风晚霞

Jzkyllcjl先生，由马克思的极限等式1/3＝3/10+3/100+3/100+3/10000……＝0.3+0.03+0.003……0.0003＝0.3333……得1/3＝0.3333……；其变形依据是欧几里得的等量公理。所以：“现行教科书中无尽循环小数0.333……是定数且等于1/3 的论述”是正确的；jzkyllcjl认为“由于0.333……≠1/3，所以1/3≠1/3的悖论是你（春风晚霞）的杰作。”jzkyllcjl先生，同为数学老师我觉得你很不专业（因你不知道数学不能够凭感觉立论，数学必须讲数理逻辑），同为同龄之人我觉得你很不男人（因为1/3≠1/3悖论，恰是由你的“由于0.333……≠1/3”造成，但你死不承认，没有男人有担当性）。你应该知道“无尽循环小数0.333……是永远写不到底的事物，它不是定数”，这只是你非专业的错误认识。所以，你根据“0.333……≠1/3”把马克思的极限等式解读成“1/3≠1/3”，是违反唯物辩证法的。

jzkyllcjl

春风晚霞：你的表达式0.3+0.03+0.003……0.0003＝0.3333…… 中的无穷次加法运算无法实现，你的0.3333……是永远写不到底的事物，它不是定数， 应当按照马克思的说法使用级数和（ 即前n项和的数列的极限） 计算它的和。 这个和是lim n→∞（0.33……3）=1/3. 而不是你的0.3333……的非数。这样的理解就符合从 假如到最后级数的极限 的没有0.333……=1/3的论述，也就没有1/3≠1/3的 悖论。

春风晚霞

Jzkyllcjl先生，春风晚霞说你学术上很不专业，气质上很不男人你还别不服气。这是因为马克思的“极限等式1/3＝3/10+3/100+3/1000+3/10000……”，在任何种情况下都不能把等式右端的3/10+3/100+3/1000+3/10000……解读成“趋向于1/3，但不等于1/3”，否则就必然出现“1/3≠1/3”的悖论。所以，造成悖论“1/3≠1/3”的“罪魁祸首”，正是你的“无穷次加法运算无法实现，你（指春风晚霞）的0.3333……是永远写不到底的事物，它不是定数”。其实，“3/10+3/100+3/1000+3/10000……①；0.3+0.03+0.003+0.0003……②；0.3333……③”这三个式子是同一算式的不同表达形式，它们之间是恒等的，变形是欧几里得等量公理保证了的。说你“学术上很不专业”，是指你根本不知道数学具有“高度的抽向性、严谨的逻辑性”。根据抽象思维和逻辑论证“无穷次加法运算”是可以完成、也可以实现的。Jzkyllcjl先生，你舍弃数学的“高度的抽向性、严谨的逻辑性”，你根本就无法理解《分析数学》（包括《数学分析》、《实变函数》、《泛函数分析》、《点集拓扑》……）的基本内容，更无法理解《人工智能》中的人工智能数字模拟、建立数学模型、程序编译、监测调试……等内容。你最多也只能把小学生一万以内的加减法，扩充到你能认识的有限范围。说你“气质上很不男人”是指你没有男人的担当性，也没有男人承认错误，服从真理的勇气。Jzkyllcjl先生，数学上你想打胡乱说，没有人能阻止你。不过，最好不要给你的胡说八道套上政治光环，那样极有可能曲解或亵渎你所尊崇的辩证唯物主义。