证明题征解

费尔马1

本主题请wangyangke大师前来解答，希望w老师莫要推辞！谢谢老师！

费尔马1

。。。。

费尔马1

，，，，

费尔马1

先别提哥猜证明了，你还是来解这个题吧？

yangchuanju

程老师：您好！
请教老师一个数学问题，令n=0,1,2,3，……20，代数式n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1总是平方数，老师能给出数学证明吗？
n        n(n+1)(n+2)(n+3) +1        开平方        平方根增
0        1        1        ——
1        25        5        4
2        121        11        6
3        361        19        8
4        841        29        10
5        1681        41        12
6        3025        55        14
7        5041        71        16
8        7921        89        18
9        11881        109        20
10        17161        131        22
11        24025        155        24
12        32761        181        26
13        43681        209        28
14        57121        239        30
15        73441        271        32
16        93025        305        34
17        116281        341        36
18        143641        379        38
19        175561        419        40
20        212521        461        42

白新岭

yangchuanju 发表于 2021-8-4 05:58
程老师：您好！
请教老师一个数学问题，令n=0,1,2,3，……20，代数式n*(n+1)*(n+2)*(n+3)+1总是平方数，老 ...

这个表达式展开：\(n^4+6n^3+11n^2+6n+1\)=\((n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1\)=\((n^2+3n+1)^2\)

yangchuanju

白新岭 发表于 2021-8-4 06:34
这个表达式展开：\(n^4+6n^3+11n^2+6n+1\)=\((n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1\)=\((n^2+3n+1)^2\)

谢谢白新岭老师给出数学证明！

帖子发出后，我在互联网上搜索了一下，也找到了相关证明：
n(n+1)(n+2)(n+3)+1应该如何因式分解

1个回答  满意答案
a8414  2013.06.25
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
解：原式＝[n﹙n＋3﹚][﹙n＋1﹚﹙n＋2﹚]＋1
＝﹙n^2＋3n﹚﹙n^2＋3n＋2﹚＋1
设n^2＋3n＝k
＝k﹙k＋2﹚＋1
＝k^2＋2k＋1
＝﹙k＋1﹚^2
＝﹙n2＋3n＋1﹚^2

1个回答  满意答案
sss9945a  2013.09.12
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
步骤1=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)+1
=(n^2+3n+1)^2

费尔马1

，，，，

费尔马1

。。。。

费尔马1

，，，，