对数积分公式推导

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 23:16

跨距2-18各生素数（相邻及非相邻）总系数汇总
跨距 2次 3次 4次 5次 6次
2 2 —— —— —— ——
4 2 —— —— —— ——
6 4 9— —— —— ——
8 2 9— 13.5 —— ——
10 3 13.5 27 —— ——
12 4 31.5 135 49.5 ——
14 2.4 22.5 126 74 ——
16 2 22.5 162 148 92.5
18 4 51.75 450 554 556

yangchuanju · 发表于 2021-6-1 23:17

与白新岭二生相邻素数（P，P+18）的数量公式的系数进行比对：
白公式：2*1.32032372118072*∫1/ln(n)^2*dn - 23/2*2.85824917688516*∫1/ln(n)^3*dn + 100/3*4.15118255134627*∫1/ln(n)^4*dn - 22*10.1318018169296*∫1/ln(n)^5*dn + 6*17.2986298980835*∫1/ln(n)^6*dn
次数———— 2———— 3———— 4———— 5———— 6————
连乘积——— 0.6601618 0.635166 0.307495 0.409915 0.186642
系数1——— 4———— 51.75—— 450—— 544—— 556——
连乘积*系数1 2.6406473 32.86986 138.3727 222.9938 103.7728
白系数2—— 1.3203237 2.858249 4.151183 10.1318 17.29863
白系数1—— 2———— 11.5—— 33.333 22——— 6————
白2系数积— 2.6406474 32.86987 138.3714 222.8996 103.7918
二乘积比—— 0.9999999 1———— 1.00001 1.000423 0.999817
白系数2/连乘积 2.0000001 4.500001 13.50001 24.71683 92.68359
附注：表中的“——”仅起占位作用，使表格版面整齐一点。

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:24

以上各贴已经理清了跨距18以内各生素数数量的关系，以下给出跨距20-30各生素数数量相关计算表，因实际数据有限，不再一一对照。
跨距20,24的最高生都是7，但跨距22的最高生是6，跨距26,28的最高生是8，跨距30的最高的是9，……

跨距20的2-7生素数数量表1
生数 2-7生 3-7生 4-7生 5-7生 6-7生最密7生
———— <2> <3> <4> <5> <6> <7>
总系数K 1.7604315 27.867924 160.51233 405.2718 415.1667 107.9439
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5 K6*x/lnx^6 K7*x/lnx^7
100 8 29 36 20 4 0
1000 37 85 70 26 4 0
10000 208 357 223 61 7 0
100000 1328 1826 914 200 18 0
1000000 9223 10568 4406 805 60 1
10000000 67763 66552 23782 3725 237 3
100000000 518809 445849 139407 19108 1063 15
1E+09 4099234 3131339 870313 106037 5242 65
1E+10 33203797 22827458 5710125 626135 27857 314
1E+11 274411549 171506069 39000924 3887805 157243 1614
1E+12 2.306E+09 1.321E+09 275372553 25162959 932912 8778
1E+13 1.965E+10 1.039E+10 1.999E+09 1.69E+08 5771228 50128
1E+14 1.694E+11 8.319E+10 1.486E+10 1.16E+09 36996459 298395
1E+15 1.476E+12 6.764E+11 1.128E+11 8.25E+09 2.45E+08 1840981
1E+16 1.297E+13 5.573E+12 8.713E+11 5.97E+10 1.66E+09 11717862
1E+17 1.149E+14 4.646E+13 6.837E+12 4.41E+11 1.15E+10 76655941
1E+18 1.025E+15 3.914E+14 5.439E+13 3.31E+12 8.19E+10 5.14E+08

跨距20的2-7生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生相邻6生最密7生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6> <6-7> <7>
100 —— —— 16 16 4 0
1000 —— 15 44 22 4 0
10000 —— 134 162 54 7 0
100000 —— 912 714 182 18 0
1000000 —— 6162 3601 745 59 1
10000000 1211 42770 20057 3488 234 3
100000000 72960 306442 120299 18045 1048 15
1E+09 967895 2261026 764276 100795 5177 65
1E+10 10376339 17117333 5083990 598278 27543 314
1E+11 102905480 132505145 35113119 3730562 155629 1614
1E+12 984785829 1.046E+09 250209594 24230047 924134 8778
1E+13 9.257E+09 8.391E+09 1.831E+09 162865116 5721100 50128
1E+14 8.622E+10 6.833E+10 1.37E+10 1.127E+09 36698064 298395
1E+15 7.994E+11 5.636E+11 1.045E+11 8.001E+09 242716426 1840981
1E+16 7.397E+12 4.702E+12 8.116E+11 5.805E+10 1.649E+09 11717862
1E+17 6.843E+13 3.963E+13 6.396E+12 4.294E+11 1.146E+10 76655941
1E+18 6.334E+14 3.37E+14 5.108E+13 3.232E+12 8.139E+10 513784188

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:25

跨距22的2-6生素数数量表1
生数 2-6生 3-6生 4-6生 5-6生 6生
———— <2> <3> <4> <5> <6>
总系数K 1.4670263 22.508708 124.93078 295.5107 249.1
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5 K6*x/lnx^6
100 7 23 28 14 3
1000 31 68 55 19 2
10000 173 288 174 45 4
100000 1107 1475 711 146 11
1000000 7686 8536 3429 587 36
10000000 56469 53754 18510 2716 142
100000000 432341 360109 108504 13933 638
1E+09 3416029 2529158 677387 77318 3145
1E+10 27669831 18437562 4444334 456557 16714
1E+11 228676291 138524133 30355399 2834858 94346
1E+12 1.922E+09 1.067E+09 214329376 18347991 559747
1E+13 1.637E+10 8.392E+09 1.556E+09 1.23E+08 3462737
1E+14 1.412E+11 6.719E+10 1.157E+10 8.49E+08 22197876
1E+15 1.23E+12 5.463E+11 8.779E+10 6.01E+09 1.47E+08
1E+16 1.081E+13 4.501E+12 6.782E+11 4.35E+10 9.96E+08
1E+17 9.574E+13 3.753E+13 5.321E+12 3.22E+11 6.92E+09
1E+18 8.54E+14 3.161E+14 4.234E+13 2.42E+12 4.91E+10

跨距22的2-6生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生相邻6生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6> <6>
100 —— —— 14 11 3
1000 —— 13 36 17 2
10000 —— 114 129 41 4
100000 —— 764 565 135 11
1000000 —— 5107 2842 551 36
10000000 2715 35244 15794 2574 142
100000000 72232 251605 94571 13295 638
1E+09 886871 1851771 600069 74173 3145
1E+10 9232269 13993228 3987777 439843 16714
1E+11 90152158 108168734 27520541 2740512 94346
1E+12 854527510 852659169 195981385 17788244 559747
1E+13 7.981E+09 6.836E+09 1.433E+09 119501264 3462737
1E+14 7.398E+10 5.562E+10 1.072E+10 826698282 22197876
1E+15 6.835E+11 4.585E+11 8.178E+10 5.866E+09 146734444
1E+16 6.307E+12 3.823E+12 6.346E+11 4.254E+10 996230261
1E+17 5.822E+13 3.221E+13 5E+12 3.146E+11 6.924E+09
1E+18 5.379E+14 2.738E+14 3.992E+13 2.367E+12 4.914E+10

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:25

跨距24的2-7生素数数量表1
生数 2-7生 3-7生 4-7生 5-7生 6-7生最密7生
———— <2> <3> <4> <5> <6> <7>
总系数K 2.6406473 48.590226 343.55964 1161.779 1868.25 1133.411
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5 K6*x/lnx^6 K7*x/lnx^7
100 12 50 76 56 20 2
1000 55 147 151 74 17 1
10000 311 622 477 175 31 2
100000 1992 3184 1956 574 80 4
1000000 13835 18427 9430 2308 269 11
10000000 101644 116040 50903 10680 1065 40
100000000 778214 777377 298387 54777 4782 157
1E+09 6148851 5459770 1862813 303971 23588 690
1E+10 49805696 39801721 12221918 1794920 125355 3302
1E+11 411617324 299036223 83477347 11145042 707595 16948
1E+12 3.459E+09 2.303E+09 589405785 72133816 4198106 92174
1E+13 2.947E+10 1.812E+10 4.279E+09 4.83E+08 25970528 526349
1E+14 2.541E+11 1.451E+11 3.181E+10 3.34E+09 1.66E+08 3133151
1E+15 2.214E+12 1.179E+12 2.414E+11 2.36E+10 1.1E+09 19330307
1E+16 1.946E+13 9.717E+12 1.865E+12 1.71E+11 7.47E+09 1.23E+08
1E+17 1.723E+14 8.101E+13 1.463E+13 1.26E+12 5.19E+10 8.05E+08
1E+18 1.537E+15 6.825E+14 1.164E+14 9.5E+12 3.69E+11 5.39E+09

跨距24的2-7生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生相邻6生最密7生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6> <6-7> <7>
100 —— —— 20 36 18 2
1000 —— —— 77 57 16 1
10000 —— 145 302 144 29 2
100000 —— 1228 1382 494 76 4
1000000 —— 8997 7122 2039 258 11
10000000 —— 65137 40223 9615 1025 40
100000000 837 478990 243610 49995 4625 157
1E+09 689081 3596957 1558842 280383 22898 690
1E+10 10003975 27579803 10426998 1669565 122053 3302
1E+11 112581101 215558876 72332305 10437447 690647 16948
1E+12 1.155E+09 1.714E+09 517271969 67935710 4105932 92174
1E+13 1.135E+10 1.384E+10 3.796E+09 457453658 25444179 526349
1E+14 1.091E+11 1.132E+11 2.848E+10 3.171E+09 163350915 3133151
1E+15 1.034E+12 9.379E+11 2.178E+11 2.254E+10 1.081E+09 19330307
1E+16 9.738E+12 7.852E+12 1.694E+12 1.637E+11 7.349E+09 123037554
1E+17 9.132E+13 6.638E+13 1.337E+13 1.212E+12 5.113E+10 804887383
1E+18 8.547E+14 5.66E+14 1.069E+14 9.131E+12 3.632E+11 5.395E+09

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:26

跨距26的2-8生素数数量表1
生数 2-8生 3-8生 4-8生 5-8生
———— <2> <3> <4> <5>
总系数K 1.4403531 29.868698 243.57987 989.7497
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5
100 7 31 54 48
1000 30 91 107 63
10000 170 382 338 149
100000 1087 1957 1386 489
1000000 7546 11327 6686 1966
10000000 55442 71330 36090 9098
100000000 424480 477858 211553 46666
1E+09 3353919 3356153 1320713 258961
1E+10 27166743 24466352 8665201 1529139
1E+11 224518540 183819325 59184489 9494750
1E+12 1.887E+09 1.416E+09 417881994 61452664
1E+13 1.607E+10 1.114E+10 3.034E+09 4.12E+08
1E+14 1.386E+11 8.916E+10 2.256E+10 2.84E+09
1E+15 1.207E+12 7.249E+11 1.712E+11 2.01E+10
1E+16 1.061E+13 5.973E+12 1.322E+12 1.46E+11
1E+17 9.4E+13 4.98E+13 1.037E+13 1.08E+12
1E+18 8.385E+14 4.195E+14 8.254E+13 8.09E+12
表1（续）
生数 6-8生 7-8生最密8生
———— <6> <7> <8>
总系数K 2087.695 2140.8873 831.88912
计算式 K6*x/lnx^6 K7*x/lnx^7 K8*x/lnx^8
100 22 4 0
1000 19 2 0
10000 34 3 0
100000 90 8 0
1000000 300 22 1
10000000 1191 75 2
1E+08 5344 297 6
1E+09 26358 1304 24
1E+10 140079 6238 105
1E+11 790709 32013 491
1E+12 4691217 174106 2448
1E+13 29021034 994215 12906
1E+14 1.86E+08 5918174 71337
1E+15 1.23E+09 36512802 410781
1E+16 8.35E+09 232404269 2451207
1E+17 5.8E+10 1.52E+09 15092061
1E+18 4.12E+11 1.019E+10 95534425

跨距26的2-8生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6>
100 —— —— 6 26
1000 —— —— 44 44
10000 —— 44 189 115
100000 —— 571 897 399
1000000 —— 4641 4720 1666
10000000 —— 35240 26992 7907
100000000 —— 266305 164887 41322
1E+09 —— 2035440 1061752 232603
1E+10 2700391 15801151 7136062 1389060
1E+11 40699215 124634836 49689739 8704041
1E+12 470702537 997994869 356429330 56761447
1E+13 4.939E+09 8.102E+09 2.622E+09 382820537
1E+14 4.944E+10 6.661E+10 1.971E+10 2.657E+09
1E+15 4.825E+11 5.538E+11 1.51E+11 1.891E+10
1E+16 4.639E+12 4.651E+12 1.176E+12 1.375E+11
1E+17 4.42E+13 3.942E+13 9.298E+12 1.019E+12
1E+18 4.19E+14 3.37E+14 7.445E+13 7.681E+12
表2（续）
生数相邻6生相邻7生最密8生
———— <6-7> <7-8> <8>
100 18 4 0
1000 17 2 0
10000 31 3 0
100000 82 8 0
1000000 278 21 1
10000000 1116 73 2
100000000 5047 291 6
1E+09 25054 1280 24
1E+10 133841 6133 105
1E+11 758696 31522 491
1E+12 4517111 171658 2448
1E+13 28026819 981309 12906
1E+14 180121164 5846837 71337
1E+15 1.193E+09 36102021 410781
1E+16 8.117E+09 229953062 2451207
1E+17 5.651E+10 1.505E+09 15092061
1E+18 4.017E+11 1.009E+10 95534425

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:26

跨距28的2-8生素数数量表1
生数 2-8生 3-8生 4-8生 5-8生
———— <2> <3> <4> <5>
总系数K 1.5843884 33.048499 270.41978 1097.611
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5
100 7 34 60 53
1000 33 100 119 70
10000 187 423 376 166
100000 1195 2166 1539 543
1000000 8301 12533 7423 2181
10000000 60987 78924 40067 10090
100000000 466928 528731 234864 51751
1E+09 3689311 3713446 1466242 287182
1E+10 29883418 27071024 9620014 1695782
1E+11 246970394 203388608 65705990 10529473
1E+12 2.075E+09 1.567E+09 463928144 68149681
1E+13 1.768E+10 1.232E+10 3.368E+09 4.57E+08
1E+14 1.525E+11 9.866E+10 2.504E+10 3.15E+09
1E+15 1.328E+12 8.021E+11 1.9E+11 2.23E+10
1E+16 1.167E+13 6.609E+12 1.468E+12 1.62E+11
1E+17 1.034E+14 5.51E+13 1.152E+13 1.19E+12
1E+18 9.223E+14 4.642E+14 9.164E+13 8.97E+12
表1（续）
生数 6-8生 7-8生 8生
———— <6> <7> <8>
总系数K 2290.336 2266.8218 792.27535
计算式 K6*x/lnx^6 K7*x/lnx^7 K8*x/lnx^8
100 24 5 0
1000 21 3 0
10000 38 4 0
100000 98 8 0
1000000 329 23 1
10000000 1306 80 2
1E+08 5862 315 6
1E+09 28917 1381 23
1E+10 153676 6605 100
1E+11 867459 33896 468
1E+12 5146567 184348 2332
1E+13 31837943 1052698 12291
1E+14 2.04E+08 6266301 67940
1E+15 1.35E+09 38660614 391220
1E+16 9.16E+09 246075109 2334483
1E+17 6.37E+10 1.61E+09 14373392
1E+18 4.52E+11 1.079E+10 90985167

跨距28的2-8生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6>
100 —— —— 7 29
1000 —— —— 49 49
10000 —— 47 210 128
100000 —— 627 996 445
1000000 —— 5110 5242 1852
10000000 —— 38857 29977 8784
100000000 —— 293867 183113 45889
1E+09 —— 2247204 1179060 258265
1E+10 2812394 17451010 7924232 1542106
1E+11 43581786 137682618 55176517 9662014
1E+12 508627174 1.103E+09 395778463 63003114
1E+13 5.361E+09 8.954E+09 2.912E+09 424885489
1E+14 5.381E+10 7.361E+10 2.189E+10 2.949E+09
1E+15 5.26E+11 6.121E+11 1.677E+11 2.098E+10
1E+16 5.064E+12 5.141E+12 1.306E+12 1.526E+11
1E+17 4.83E+13 4.358E+13 1.032E+13 1.131E+12
1E+18 4.581E+14 3.725E+14 8.267E+13 8.523E+12
表2（续）
生数相邻6生相邻7生相邻8生
———— <6-7> <7-8> <8>
100 19 5 0
1000 18 3 0
10000 34 4 0
100000 90 8 0
1000000 306 22 1
10000000 1226 78 2
100000000 5547 309 6
1E+09 27536 1358 23
1E+10 147071 6505 100
1E+11 833563 33428 468
1E+12 4962219 182016 2332
1E+13 30785245 1040407 12291
1E+14 197830832 6198361 67940
1E+15 1.31E+09 38269394 391220
1E+16 8.914E+09 243740626 2334483
1E+17 6.206E+10 1.595E+09 14373392
1E+18 4.41E+11 1.07E+10 90985167

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:27

跨距30的2-9生素数数量表1
生数 2-9生 3-9生 4-9生 5-9生
———— <2> <3> <4> <5>
总系数K 3.520863 86.247651 855.67039 4408.1751
计算式 K2*x/lnx^2 K3*x/lnx^3 K4*x/lnx^4 K5*x/lnx^5
100 17 88 190 213
1000 74 262 376 280
10000 415 1104 1189 665
100000 2656 5652 4870 2179
1000000 18447 32707 23488 8758
10000000 135526 205971 126780 40522
1E+08 1037619 1379845 743163 207841
1E+09 8198469 9691091 4639527 1153368
1E+10 66407595 70648055 30439937 6810522
1E+11 548823098 530789296 207908866 42287983
1E+12 4.612E+09 4.088E+09 1.468E+09 273699602
1E+13 3.929E+10 3.216E+10 1.066E+10 1.834E+09
1E+14 3.388E+11 2.575E+11 7.924E+10 1.266E+10
1E+15 2.951E+12 2.093E+12 6.013E+11 8.969E+10
1E+16 2.594E+13 1.725E+13 4.645E+12 6.495E+11
1E+17 2.298E+14 1.438E+14 3.645E+13 4.797E+12
1E+18 2.05E+15 1.211E+15 2.9E+14 3.604E+13
表1（续）
生数 6-9生 7-9生 8-9生 9生
———— <6> <7> <8> <9>
总系数K 12541.99 19272.48 14320.377 3780.3862
计算式 K6*x/lnx^6 K7*x/lnx^7 K8*x/lnx^8 K9*x/lnx^9
100 131 43 7 0
1000 115 25 3 0
10000 205 34 3 0
100000 539 71 5 0
1000000 1804 200 11 0
10000000 7153 681 31 1
1E+08 32102 2677 108 2
1E+09 158350 11741 421 5
1E+10 841535 56160 1812 21
1E+11 4750246 288190 8454 88
1E+12 28182842 1567325 42148 403
1E+13 1.74E+08 8950027 222168 1959
1E+14 1.12E+09 53275999 1228018 10056
1E+15 7.39E+09 3.29E+08 7071294 54047
1E+16 5.02E+10 2.09E+09 42195786 302354
1E+17 3.49E+11 1.37E+10 259799057 1752083

跨距30的2-9生素数数量表2
生数相邻2生相邻3生相邻4生相邻5生
———— <2-3> <3-4> <4-5> <5-6>
100 —— —— —— 82
1000 —— —— 96 165
10000 —— —— 524 460
100000 —— 782 2691 1640
1000000 —— 9219 14730 6954
10000000 —— 79191 86258 33369
100000000 —— 636682 535322 175739
1E+09 —— 5051564 3486159 995018
1E+10 —— 40208118 23629415 5968987
1E+11 18033802 322880430 165620883 37537737
1E+12 523209409 2.62E+09 1.194E+09 245516760
1E+13 7.138E+09 2.15E+10 8.824E+09 1.66E+09
1E+14 8.135E+10 1.782E+11 6.657E+10 1.155E+10
1E+15 8.582E+11 1.492E+12 5.116E+11 8.23E+10
1E+16 8.692E+12 1.26E+13 3.995E+12 5.993E+11
1E+17 8.599E+13 1.074E+14 3.165E+13 4.448E+12
1E+18 8.382E+14 9.214E+14 2.539E+14 3.357E+13

生数相邻6生相邻7生相邻8生最密9生
———— <6-7> <7-8> <8-9> <9>
100 88 36 7 0
1000 90 22 3 0
10000 171 31 3 0
100000 468 66 5 0
1000000 1604 189 11 0
10000000 6472 650 30 1
100000000 29425 2569 106 2
1E+09 146609 11320 416 5
1E+10 785375 54348 1791 21
1E+11 4462056 279736 8366 88
1E+12 26615517 1525177 41745 403
1E+13 165396034 8727859 220209 1959
1E+14 1.064E+09 52047981 1217962 10056
1E+15 7.059E+09 321620636 7017247 54047
1E+16 4.807E+10 2.05E+09 41893432 302354
1E+17 3.35E+11 1.343E+10 258046974 1752083
1E+18 2.382E+12 9.009E+10 1.634E+09 10474720

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 15:28

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-6-3 15:44 编辑

经查对，白新岭计算的6倍最密9生素数数量和杨计算的4中最密9生素数数量及比值如下：
10的n次幂白计算值杨计算值杨：白杨：(白/6*4)
2 0 0 —— ——
3 0 0 —— ——
4 0 0 —— ——
5 0 0 —— ——
6 0 0 —— ——
7 1 1 1 1.5
8 3 2 0.666666667 1
9 10 5 0.5 0.75
10 36 21 0.583333333 0.875
11 143 88 0.615384615 0.923076923
12 617 403 0.653160454 0.979740681
13 2872 1959 0.682103064 1.023154596
14 14226 10056 0.706874736 1.060312105
15 74256 54047 0.727846908 1.091770362
16 405348 302354 0.745912154 1.118868232
17 2300332 1752083 0.761665273 1.142497909
18 13506331 10474720 0.775541485 1.163312227

10的n次幂    实际杨：实际白：实际
2 3 —— ——
3 3 —— ——
4 4 —— ——
5 5 —— ——
6    8 —— ——
7    8 0.125 0.125
8 9 0.222222222 0.333333333
9 17 0.294117647 0.588235294
10 47 0.446808511 0.765957447
11 135 0.651851852 1.059259259
12 615 0.655284553 1.003252033
13 2812 0.696657183 1.021337127
14 14337 0.701401967 0.992257795

杨：(白/6*4)的数值接近于1，二人计算结果相当；
与实际存在的最密9生素数相比，白：实际接近于1；随着数值的增大，杨：实际也将接近于1。

yangchuanju · 发表于 2021-6-3 16:52

计算素数个数时是要用到一个对数积分∫1/ln(x) dx，积分下界是2，上界是n或x；
经推导和验证，得知该积分可表示成：∫1/ln(x) dx = ln |ln(x)| +ln(x) +ln(x)^2/(2*2!) +ln(x)^3/(3*3!) +…，
它包含无穷多项，每一项都是先逐步增大，超过极值后逐渐减小，随着k的增大，最后该项趋近于0；
各项的极值并不同时出现，随着x的增大，出现极值的k也随着增大。
经计算，当x等于10^1至10^70，k=1至462时，积分式的数值分别为：
x 累加至170 累加至240 累加至462 240-170 462-240
10 5.58838384 5.58838384 5.58838384 0 0
100 29.54892592 29.54892592 29.54892592 0 0
1000 177.0324423 177.0324423 177.0324423 0 0
10000 1245.56 1245.56 1245.56 0 0
100000 9629.231785 9629.231785 9629.231785 0 0
1000000 78626.97194 78626.97194 78626.97194 0 0
10000000 664917.8278 664917.8278 664917.8278 0 0
1E+08 5762208.798 5762208.798 5762208.798 0 0
1E+09 50849234.38 50849234.38 50849234.38 0 0
1E+10 455055614 455055614 455055614 0 0
1E+11 4118066400 4118066400 4118066400 0 0
1E+12 37607950280 37607950280 37607950280 0 0
1E+13 3.46066E+11 3.46066E+11 3.46066E+11 0 0
1E+14 3.20494E+12 3.20494E+12 3.20494E+12 0 0
1E+15 2.98446E+13 2.98446E+13 2.98446E+13 0 0
1E+16 2.79238E+14 2.79238E+14 2.79238E+14 0 0
1E+17 2.62356E+15 2.62356E+15 2.62356E+15 0 0
1E+18 2.474E+16 2.474E+16 2.474E+16 0 0
1E+19 2.34058E+17 2.34058E+17 2.34058E+17 0 0
1E+20 2.22082E+18 2.22082E+18 2.22082E+18 0 0
1E+21 2.11273E+19 2.11273E+19 2.11273E+19 0 0
1E+22 2.01467E+20 2.01467E+20 2.01467E+20 0 0
1E+23 1.92532E+21 1.92532E+21 1.92532E+21 0 0
1E+24 1.84356E+22 1.84356E+22 1.84356E+22 0 0
1E+25 1.76846E+23 1.76846E+23 1.76846E+23 0 0
1E+26 1.69925E+24 1.69925E+24 1.69925E+24 0 0
1E+27 1.63525E+25 1.63525E+25 1.63525E+25 0 0
1E+28 1.57589E+26 1.57589E+26 1.57589E+26 0 0
1E+29 1.5207E+27 1.5207E+27 1.5207E+27 0 0
1E+30 1.46924E+28 1.46924E+28 1.46924E+28 0 0
1E+31 1.42115E+29 1.42115E+29 1.42115E+29 0 0
1E+32 1.37611E+30 1.37611E+30 1.37611E+30 0 0
1E+33 1.33384E+31 1.33384E+31 1.33384E+31 0 0
1E+34 1.29409E+32 1.29409E+32 1.29409E+32 0 0
1E+35 1.25664E+33 1.25664E+33 1.25664E+33 0 0
1E+36 1.22129E+34 1.22129E+34 1.22129E+34 0 0
1E+37 1.18788E+35 1.18788E+35 1.18788E+35 0 0
1E+38 1.15625E+36 1.15625E+36 1.15625E+36 0 0
1E+39 1.12626E+37 1.12626E+37 1.12626E+37 9.68085E+22 0
1E+40 1.09779E+38 1.09779E+38 1.09779E+38 7.78246E+24 0
1E+41 1.07072E+39 1.07072E+39 1.07072E+39 5.46132E+26 0
1E+42 1.04496E+40 1.04496E+40 1.04496E+40 3.46309E+28 0
1E+43 1.0204E+41 1.0204E+41 1.0204E+41 1.9945E+30 0
1E+44 9.96974E+41 9.96974E+41 9.96974E+41 1.04808E+32 0
1E+45 9.74598E+42 9.74598E+42 9.74598E+42 5.04638E+33 0
1E+46 9.53205E+43 9.53205E+43 9.53205E+43 2.2351E+35 0
1E+47 9.32731E+44 9.32731E+44 9.32731E+44 9.14002E+36 0
1E+48 9.13119E+45 9.13119E+45 9.13119E+45 3.46288E+38 0
1E+49 8.94314E+46 8.94314E+46 8.94314E+46 1.21951E+40 0
1E+50 8.76268E+47 8.76268E+47 8.76268E+47 4.00423E+41 0
1E+51 8.58935E+48 8.58936E+48 8.58936E+48 1.22942E+43 0
1E+52 8.42273E+49 8.42277E+49 8.42277E+49 3.53936E+44 0
1E+53 8.26241E+50 8.26251E+50 8.26251E+50 9.57893E+45 0
1E+54 8.10799E+51 8.10824E+51 8.10824E+51 2.44314E+47 0
1E+55 7.95903E+52 7.95962E+52 7.95962E+52 5.88628E+48 0
1E+56 7.81502E+53 7.81636E+53 7.81636E+53 1.34266E+50 0
1E+57 7.67525E+54 7.67816E+54 7.67816E+54 2.90569E+51 0
1E+58 7.53878E+55 7.54476E+55 7.54476E+55 5.97838E+52 0
1E+59 7.40421E+56 7.41592E+56 7.41592E+56 1.17172E+54 0
1E+60 7.26949E+57 7.29141E+57 7.29141E+57 2.19174E+55 0
1E+61 7.13181E+58 7.17101E+58 7.17101E+58 3.91991E+56 3.56812E+44
1E+62 6.98737E+59 7.05452E+59 7.05452E+59 6.71516E+57 1.8465E+46
1E+63 6.83138E+60 6.94175E+60 6.94175E+60 1.10377E+59 8.96312E+47
1E+64 6.65817E+61 6.83254E+61 6.83254E+61 1.74369E+60 4.08193E+49
1E+65 6.46152E+62 6.7267E+62 6.7267E+62 2.65186E+61 1.75362E+51
1E+66 6.23521E+63 6.6241E+63 6.6241E+63 3.88891E+62 7.11824E+52
1E+67 5.97377E+64 6.52458E+64 6.52458E+64 5.50806E+63 2.73562E+54
1E+68 5.67334E+65 6.428E+65 6.428E+65 7.54669E+64 9.96951E+55
1E+69 5.33242E+66 6.33425E+66 6.33425E+66 1.00183E+66 3.45086E+57
1E+70 4.95253E+67 6.24319E+67 6.24319E+67 1.29065E+67 1.13626E+59

从表中数值可以看到，当x不大于10的38次方时，k取到170足可以了；
当x等于10的60次方时，k值要取到240；当x等于10的70次方时，k值要取到462；
x再大，相应的k取值范围还要增大很多！

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对数积分公式推导

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