再谈连乘积（1-1/p）的来历

天山草@

志明网友：

举两个例子。

先看一个小点的数 1260， 不大于 1260  的素数有 205 个。 1260 的平方根约为  35.5，所以用 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31  共 11 个素数来筛，按公式   a = 1260*1/2* 2/3*4/5* 6/7*10/11* 12/13*16/17* 18/19 *22/23 * 28/29 *30/31 ≈193，
为什么比 205 少了 12 个？  这个误差是从哪里来的？

再看一个很大的数 10^16，这个数以内的素数有 279238341033925，用公式算  10^16* 1/2* 2/3*4/5*......≈ 304797216105867，又比实际值大了 9%，大这么多，误差是哪里来的？   

志明

天山草@ 发表于 2021-6-14 12:39
举行稍大点的数 1260， 不大于 1260  的素数有 205 个。 1260 的平方根约为  35.5，所以用 2、3、5、7、1 ...

您的理解是正确的，在筛除2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31这 11 个素数的倍数时，把这11个素数的1倍数（素数本身）也筛除掉。因此，在非筛除的数（筛除后余下的数）中，不包含小于√1260的素数。

您说的误差从何来？我在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷 》中，揭示了误差的形成原因。 http://bbs.mathchina.com/bbs/for ... =1181460&extra=

lusishun

以10为例就可以，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10.
10·（1-1/2）=5筛去2的倍数含量，
在筛3的倍数含量，5（1-1/3）=10/3=3.333333，而筛完2，3后应剩下1，5，7三个数，这里却是3.33333，没有筛干净

lusishun

原因是，筛去2，4，6，8，10中，带走的只有6，就是说带走的3的倍数含量是5/3，但实际3的倍数只有一个数6，下一步筛3的倍数含量5/3，  
1，3，5，7，9有两个3的倍数，只筛去5/3，还差1/3没有筛去，所有最后多出1/3=0.33333333

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-14 16:11
原因是，筛去2，4，6，8，10中，带走的只有6，就是说带走的3的倍数含量是5/3，但实际3的倍数只有一个数6， ...

换了一种名称，误差还是存在。
套用欧拉函数，改变定义，就出现步步都有误差，在误差的基础上进行运算，最后结果，不能令人满意。事实也是这样

志明

　在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷 》中，揭示了误差的形成原因。
http://bbs.mathchina.com/bbs/for ... =1181460&extra=

　 “连乘积公式”是以“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布是绝对均衡的。”这一设定的条件推导得出的。

　　而实际情况是，任何一个偶数A，都不可能是所有小于√A的素数的倍数和所有两个以上小于√A的素数的乘积倍数。因此，在从1至A的范围内，素数倍数的分布、两个以上的素数的乘积倍数的分布不是绝对的均衡，只是相对的均衡。由此可知：

　　其一、“在从1至偶数A的范围内，素数的倍数与两个以上小于√A的素数乘积的倍数的分布不是绝对的均衡。”这一实际情况，与公式形成过程中所设定的条件不是完全相符。由此确定了“连乘积公式”不是精确表达式，计算结果会出现误差，这是“连乘积公式”误差的根源。

　　其二、因为素数倍数的间距是相等的，两个以上小于√A的素数的乘积倍数的间距也是相等的，因此，在从1至偶数A的范围内，它们的分布虽然不是绝对的均衡。但是，它们的分布还是具有相对的均衡性。这种相对的均衡性，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的，误差率不会无限扩大）。

　　这种相对的均衡性，是“连乘积公式”的基础条件，如果没有相对的均衡性这一基础条件，就没有“连乘积公式”。

　　并且，通过分析可知，“连乘积公式”自身对误差具有的调控功能，也是由这种相对的均衡性衍生出来的必然现象。

天山草@

志明 发表于 2021-6-15 07:12
　在《运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷 》中，揭示了误差的形成原因。
http://bbs.mathchina ...

当自然数趋于无穷大时，“连乘积公式”对于真实值的相对误差会不会趋于零？ 还是在一定范围内波动？还是趋向于一个定值？ (比如这个定值大约是 14%  左右)

lusishun

我的加强筛：
在连续n个自然数，每个素数p的倍数含量是n/p。
每个素数的倍数个数最多不超过（n/p' +1），筛去p的倍数含量，带走q的倍数含量（n/pq），第一步，筛去2的倍数含量，n-n/2=n（1-1/2），加强筛，n-（4/7）·n=3/7）·n
第二步，筛去3的倍数含量，带走的（4/7）·n中的3的倍数含量，占1/3，就不需要筛了，只对剩下的部分筛去1/3，加强筛按照13/36的比例筛，（1-4/7）·n-（1-4/7）·n·13/36=n·（1-4/7）（1-13/36）,依次加强筛去5，7，11，13，…的倍数含量，分别按照1/3，1/5，1/7，1/11…的比例筛，得到：
n·（1-4/7）（1-13/36）（1-1/3）（1-1/5）（1-1/7）（1-1/11）……,这样，剩下的素数个数一定比实际的素数个数少，

lusishun

总结，
加强筛的依据，
1，倍数含量的定义，2，倍数含量重叠的规律。3，覆盖定理。

lusishun

lusishun 发表于 2021-6-15 08:43
总结，
加强筛的依据，
1，倍数含量的定义，2，倍数含量重叠的规律。3，覆盖定理。

在简单倍数含量筛法过程中，出现了（1-1/p）的连乘式，是过程中的自然出现。