a^2+b^2+C^2=d^2，a=2021

费尔马1 · 发表于 2021-11-25 05:01

不定方程:a^2+b^2+C^2+……+d^2=e^2
式中的字母均为正整数，当a=2021时，求这个方程共有多少组正整数解？并写出各组解?
答：这个方程共有无数组正整数解。
证：a^2+b^2+c^2=e^2－d^2=n^2-(n-1)^2=2n-1 (其中e=n，d=n-1)
即：a^2+b^2+c^2=2021^2+(2k)^2+(2t)^2=2n-1 (其中b=2k，c=2t)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....，t=……，都有一个(至少)对应的解。

yangchuanju · 发表于 2021-11-25 05:19

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 05:23 编辑

yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:57
如若题目改为d=2021，又有多少组呢？
已知当d=541时至少26组（不全），当d=501-539时的组数见下表。
501 ...

令d=2021，a^2+b^2+c^2=d^2，当限定a<b<c时，共有275组正整数解：（按C数值倒序排列）
No a b c
No001 21 60 2020
No002 32 84 2019
No003 48 76 2019
No004 36 176 2013
No005 24 189 2012
No006 84 171 2012
No007 59 336 1992
No008 189 284 1992
No009 144 328 1989
No010 176 312 1989
No011 27 384 1984
No012 99 372 1984
No013 144 357 1984
No014 252 291 1984
No015 4 405 1980
No016 85 396 1980
No017 94 423 1974
No018 282 329 1974
No019 59 456 1968
No020 291 356 1968
No021 24 504 1957
No022 216 456 1957
No023 21 508 1956
No024 67 504 1956
No025 132 491 1956
No026 176 477 1956
No027 189 472 1956
No028 276 427 1956
No029 288 419 1956
No030 356 363 1956
No031 84 528 1949
No032 372 384 1949
No033 189 504 1948
No034 171 540 1940
No035 396 405 1940
No036 84 616 1923
No037 364 504 1923
No038 84 661 1908
No039 171 644 1908
No040 60 675 1904
No041 108 669 1904
No042 291 612 1904
No043 315 600 1904
No044 357 576 1904
No045 453 504 1904
No046 252 644 1899
No047 364 588 1899
No048 32 699 1896
No049 165 680 1896
No050 276 643 1896
No051 445 540 1896
No052 396 636 1877
No053 84 747 1876
No054 171 732 1876
No055 381 648 1876
No056 483 576 1876
No057 176 741 1872
No058 364 669 1872
No059 419 636 1872
No060 504 571 1872
No061 24 771 1868
No062 384 669 1868
No063 36 792 1859
No064 504 612 1859
No065 176 792 1851
No066 528 616 1851
No067 258 774 1849
No068 59 816 1848
No069 189 796 1848
No070 381 724 1848
No071 576 581 1848
No072 94 846 1833
No073 4 864 1827
No074 284 816 1827
No075 336 796 1827
No076 576 644 1827
No077 48 869 1824
No078 76 867 1824
No079 483 724 1824
No080 581 648 1824
No081 32 876 1821
No082 148 864 1821
No083 276 832 1821
No084 384 788 1821
No085 400 780 1821
No086 500 720 1821
No087 86 903 1806
No088 473 774 1806
No089 165 904 1800
No090 445 804 1800
No091 500 771 1800
No092 571 720 1800
No093 396 840 1795
No094 504 780 1795
No095 76 939 1788
No096 144 931 1788
No097 291 896 1788
No098 491 804 1788
No099 423 846 1786
No100 252 931 1776
No101 357 896 1776
No102 67 984 1764
No103 189 968 1764
No104 644 747 1764
No105 661 732 1764
No106 36 1012 1749
No107 132 1004 1749
No108 284 972 1749
No109 356 948 1749
No110 396 932 1749
No111 508 876 1749
No112 636 788 1749
No113 708 724 1749
No114 120 1021 1740
No115 680 771 1740
No116 336 984 1733
No117 540 904 1725
No118 680 804 1725
No119 24 1056 1723
No120 384 984 1723
No121 36 1067 1716
No122 157 1056 1716
No123 176 1053 1716
No124 312 1021 1716
No125 363 1004 1716
No126 491 948 1716
No127 508 939 1716
No128 669 832 1716
No129 284 1044 1707
No130 724 804 1707
No131 60 1085 1704
No132 315 1040 1704
No133 372 1021 1704
No134 603 904 1704
No135 643 876 1704
No136 699 832 1704
No137 472 984 1701
No138 504 968 1701
No139 381 1044 1688
No140 699 864 1688
No141 171 1140 1660
No142 148 1149 1656
No143 384 1093 1656
No144 571 1008 1656
No145 644 963 1656
No146 21 1164 1652
No147 276 1131 1652
No148 76 1173 1644
No149 213 1156 1644
No150 248 1149 1644
No151 381 1112 1644
No152 491 1068 1644
No153 643 984 1644
No154 661 972 1644
No155 797 864 1644
No156 396 1120 1635
No157 780 896 1635
No158 258 1161 1634
No159 774 903 1634
No160 176 1179 1632
No161 291 1156 1632
No162 419 1116 1632
No163 816 869 1632
No164 336 1148 1629
No165 420 1120 1629
No166 644 1008 1629
No167 189 1188 1624
No168 837 864 1624
No169 288 1179 1616
No170 477 1116 1616
No171 504 1120 1605
No172 840 896 1605
No173 84 1237 1596
No174 171 1228 1596
No175 427 1164 1596
No176 508 1131 1596
No177 600 1085 1596
No178 675 1040 1596
No179 669 1056 1588
No180 771 984 1588
No181 21 1260 1580
No182 504 1155 1580
No183 60 1260 1579
No184 252 1236 1579
No185 540 1140 1579
No186 588 1116 1579
No187 708 1044 1579
No188 804 972 1579
No189 189 1256 1572
No190 864 931 1572
No191 384 1212 1571
No192 420 1200 1571
No193 708 1056 1571
No194 400 1221 1560
No195 780 1021 1560
No196 364 1236 1557
No197 644 1116 1557
No198 216 1292 1539
No199 372 1256 1539
No200 456 1228 1539
No201 904 948 1539
No202 108 1309 1536
No203 357 1264 1536
No204 699 1112 1536
No205 797 1044 1536
No206 396 1256 1533
No207 616 1164 1533
No208 4 1341 1512
No209 576 1211 1512
No210 32 1344 1509
No211 832 1056 1509
No212 84 1344 1507
No213 99 1364 1488
No214 396 1309 1488
No215 616 1221 1488
No216 869 1056 1488
No217 120 1371 1480
No218 771 1140 1480
No219 144 1373 1476
No220 213 1364 1476
No221 328 1341 1476
No222 573 1256 1476
No223 648 1219 1476
No224 661 1212 1476
No225 876 1067 1476
No226 939 1012 1476
No227 384 1336 1467
No228 904 1056 1467
No229 59 1392 1464
No230 248 1371 1464
No231 356 1347 1464
No232 603 1256 1464
No233 643 1236 1464
No234 788 1149 1464
No235 864 1093 1464
No236 948 1021 1464
No237 774 1161 1462
No238 504 1320 1445
No239 176 1404 1443
No240 636 1264 1443
No241 816 1156 1443
No242 291 1392 1436
No243 456 1347 1436
No244 804 1173 1436
No245 939 1068 1436
No246 576 1309 1428
No247 669 1264 1428
No248 846 1175 1410
No249 419 1392 1404
No250 500 1365 1404
No251 573 1336 1404
No252 725 1260 1404
No253 792 1219 1404
No254 741 1264 1392
No255 648 1336 1371
No256 680 1320 1371
No257 792 1256 1371
No258 984 1112 1371
No259 644 1341 1368
No260 864 1211 1368
No261 796 1260 1365
No262 972 1131 1364
No263 1053 1056 1364
No264 837 1256 1344
No265 931 1188 1344
No266 708 1336 1341
No267 904 1212 1341
No268 984 1148 1341
No269 1004 1155 1320
No270 1021 1140 1320
No271 1008 1164 1309
No272 1008 1221 1256
No273 1112 1149 1236
No274 1131 1156 1212
No275 1120 1179 1200

yangchuanju · 发表于 2021-11-25 05:21

或按a，b排序为：
No a b c
No015 4 405 1980
No073 4 864 1827
No208 4 1341 1512
No001 21 60 2020
No023 21 508 1956
No146 21 1164 1652
No181 21 1260 1580
No005 24 189 2012
No021 24 504 1957
No061 24 771 1868
No119 24 1056 1723
No011 27 384 1984
No002 32 84 2019
No048 32 699 1896
No081 32 876 1821
No210 32 1344 1509
No004 36 176 2013
No063 36 792 1859
No106 36 1012 1749
No121 36 1067 1716
No003 48 76 2019
No077 48 869 1824
No007 59 336 1992
No019 59 456 1968
No068 59 816 1848
No229 59 1392 1464
No040 60 675 1904
No131 60 1085 1704
No183 60 1260 1579
No024 67 504 1956
No102 67 984 1764
No078 76 867 1824
No095 76 939 1788
No148 76 1173 1644
No006 84 171 2012
No031 84 528 1949
No036 84 616 1923
No038 84 661 1908
No053 84 747 1876
No173 84 1237 1596
No212 84 1344 1507
No016 85 396 1980
No087 86 903 1806
No017 94 423 1974
No072 94 846 1833
No012 99 372 1984
No213 99 1364 1488
No041 108 669 1904
No202 108 1309 1536
No114 120 1021 1740
No217 120 1371 1480
No025 132 491 1956
No107 132 1004 1749
No009 144 328 1989
No013 144 357 1984
No096 144 931 1788
No219 144 1373 1476
No082 148 864 1821
No142 148 1149 1656
No122 157 1056 1716
No049 165 680 1896
No089 165 904 1800
No034 171 540 1940
No039 171 644 1908
No054 171 732 1876
No141 171 1140 1660
No174 171 1228 1596
No010 176 312 1989
No026 176 477 1956
No057 176 741 1872
No065 176 792 1851
No123 176 1053 1716
No160 176 1179 1632
No239 176 1404 1443
No008 189 284 1992
No027 189 472 1956
No033 189 504 1948
No069 189 796 1848
No103 189 968 1764
No167 189 1188 1624
No189 189 1256 1572
No149 213 1156 1644
No220 213 1364 1476
No022 216 456 1957
No198 216 1292 1539
No150 248 1149 1644
No230 248 1371 1464
No014 252 291 1984
No046 252 644 1899
No100 252 931 1776
No184 252 1236 1579
No067 258 774 1849
No158 258 1161 1634
No028 276 427 1956
No050 276 643 1896
No083 276 832 1821
No147 276 1131 1652
No018 282 329 1974
No074 284 816 1827
No108 284 972 1749
No129 284 1044 1707
No029 288 419 1956
No169 288 1179 1616
No020 291 356 1968
No042 291 612 1904
No097 291 896 1788
No161 291 1156 1632
No242 291 1392 1436
No124 312 1021 1716
No043 315 600 1904
No132 315 1040 1704
No221 328 1341 1476
No075 336 796 1827
No116 336 984 1733
No164 336 1148 1629
No030 356 363 1956
No109 356 948 1749
No231 356 1347 1464
No044 357 576 1904
No101 357 896 1776
No203 357 1264 1536
No125 363 1004 1716
No037 364 504 1923
No047 364 588 1899
No058 364 669 1872
No196 364 1236 1557
No032 372 384 1949
No133 372 1021 1704
No199 372 1256 1539
No055 381 648 1876
No070 381 724 1848
No139 381 1044 1688
No151 381 1112 1644
No062 384 669 1868
No084 384 788 1821
No120 384 984 1723
No143 384 1093 1656
No191 384 1212 1571
No227 384 1336 1467
No035 396 405 1940
No052 396 636 1877
No093 396 840 1795
No110 396 932 1749
No156 396 1120 1635
No206 396 1256 1533
No214 396 1309 1488
No085 400 780 1821
No194 400 1221 1560
No059 419 636 1872
No162 419 1116 1632
No249 419 1392 1404
No165 420 1120 1629
No192 420 1200 1571
No099 423 846 1786
No175 427 1164 1596
No051 445 540 1896
No090 445 804 1800
No045 453 504 1904
No200 456 1228 1539
No243 456 1347 1436
No137 472 984 1701
No088 473 774 1806
No170 477 1116 1616
No056 483 576 1876
No079 483 724 1824
No098 491 804 1788
No126 491 948 1716
No152 491 1068 1644
No086 500 720 1821
No091 500 771 1800
No250 500 1365 1404
No060 504 571 1872
No064 504 612 1859
No094 504 780 1795
No138 504 968 1701
No171 504 1120 1605
No182 504 1155 1580
No238 504 1320 1445
No111 508 876 1749
No127 508 939 1716
No176 508 1131 1596
No066 528 616 1851
No117 540 904 1725
No185 540 1140 1579
No092 571 720 1800
No144 571 1008 1656
No222 573 1256 1476
No251 573 1336 1404
No071 576 581 1848
No076 576 644 1827
No209 576 1211 1512
No246 576 1309 1428
No080 581 648 1824
No186 588 1116 1579
No177 600 1085 1596
No134 603 904 1704
No232 603 1256 1464
No207 616 1164 1533
No215 616 1221 1488
No112 636 788 1749
No240 636 1264 1443
No135 643 876 1704
No153 643 984 1644
No233 643 1236 1464
No104 644 747 1764
No145 644 963 1656
No166 644 1008 1629
No197 644 1116 1557
No259 644 1341 1368
No223 648 1219 1476
No255 648 1336 1371
No105 661 732 1764
No154 661 972 1644
No224 661 1212 1476
No128 669 832 1716
No179 669 1056 1588
No247 669 1264 1428
No178 675 1040 1596
No115 680 771 1740
No118 680 804 1725
No256 680 1320 1371
No136 699 832 1704
No140 699 864 1688
No204 699 1112 1536
No113 708 724 1749
No187 708 1044 1579
No193 708 1056 1571
No266 708 1336 1341
No130 724 804 1707
No252 725 1260 1404
No254 741 1264 1392
No180 771 984 1588
No218 771 1140 1480
No159 774 903 1634
No237 774 1161 1462
No157 780 896 1635
No195 780 1021 1560
No234 788 1149 1464
No253 792 1219 1404
No257 792 1256 1371
No261 796 1260 1365
No155 797 864 1644
No205 797 1044 1536
No188 804 972 1579
No244 804 1173 1436
No163 816 869 1632
No241 816 1156 1443
No211 832 1056 1509
No168 837 864 1624
No264 837 1256 1344
No172 840 896 1605
No248 846 1175 1410
No190 864 931 1572
No235 864 1093 1464
No260 864 1211 1368
No216 869 1056 1488
No225 876 1067 1476
No201 904 948 1539
No228 904 1056 1467
No267 904 1212 1341
No265 931 1188 1344
No226 939 1012 1476
No245 939 1068 1436
No236 948 1021 1464
No262 972 1131 1364
No258 984 1112 1371
No268 984 1148 1341
No269 1004 1155 1320
No271 1008 1164 1309
No272 1008 1221 1256
No270 1021 1140 1320
No263 1053 1056 1364
No273 1112 1149 1236
No275 1120 1179 1200
No274 1131 1156 1212

yangchuanju · 发表于 2021-11-25 05:22

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 06:25 编辑

实际计算中仅限定了b大于a这一个条件，没有限定c的大小，
导致c可以小于等于a和b，因而出现3个一组的现象，共得827个正整数解；
其中有2个c=b的也要去除，（827-2）/3=275，实际有效正整数解为275组。
若计入329^2+1410^2+1410^2=2021^2，为276组。

yangchuanju · 发表于 2021-11-25 05:40

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 06:06 编辑

令a=2021，b=2,4,6……2020，c=d-1，不定方程a^2-b^2+c^2=d^2有一大组类似解。
a b c d c递减
2021 2 2042218 2042219 ——
2021 4 2042212 2042213 6
2021 6 2042202 2042203 10
2021 8 2042188 2042189 14
2021 10 2042170 2042171 18
2021 12 2042148 2042149 22
2021 14 2042122 2042123 26
2021 16 2042092 2042093 30
2021 18 2042058 2042059 34
2021 20 2042020 2042021 38
……
2021 2010 22170 22171 4018
2021 2012 18148 18149 4022
2021 2014 14122 14123 4026
2021 2016 10092 10093 4030
2021 2018 6058 6059 4034
2021 2020 2020 2021 4038

yangchuanju · 发表于 2021-11-25 06:02

令a=2021，b=2,4,6……2020，c=d-1，不定方程a^2+b^2+c^2=d^2的一组正整数解：
a b c d c递增
2021 0 2042221 2042222 ——
2021 2 2042223 2042224 2
2021 4 2042229 2042230 6
2021 6 2042239 2042240 10
2021 8 2042253 2042254 14
2021 10 2042271 2042272 18
2021 12 2042293 2042294 22
2021 14 2042319 2042320 26
2021 16 2042349 2042350 30
2021 18 2042383 2042384 34
2021 20 2042421 2042422 38
……
2021 2018 4078383 4078384 4034
2021 2020 4082421 4082422 4038
2021 2022 4086463 4086464 4042
2021 2024 4090509 4090510 4046
2021 2026 4094559 4094560 4050
2021 2028 4098613 4098614 4054
2021 2030 4102671 4102672 4058
……

费尔马1 · 发表于 2021-11-25 06:03

不定方程:a^2+b^2+C^2+……+d^2=e^2
式中的字母均为正整数，当e=2021时，求这个方程共有多少组正整数解？并写出各组解?
答：这个方程共有无数组正整数解。
证：a^2+b^2+c^2=e^2－d^2=n^2-(n-1)^2=2n-1 (其中e=n，d=n-1)
即：a^2+b^2+c^2=a^2+(2k)^2+(2t)^2=2n-1 =2021^2－2020^2(其中a=2r+1，b=2k，c=2t)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....，t=……，都有一个(至少)对应的解。

费尔马1 · 发表于 2021-11-25 06:05

感谢杨老师关注并解答。请老师试试上楼的方法?
可以再试试立方和方程、四次方和方程……?(采用王守恩老师的方法)

yangchuanju · 发表于 2021-11-26 12:58

a^2+b^2+c^2=n^2的个数问题
当对a,b,c的相对大小做不同规定时，有不同的个数。
限定1：0≤a≤b≤c，组合数，个数较多，A016727给出了这种限定下的个数；
限定2：0≤a<b<c，组合数，个数稍少；
限定3：0<a<b<c，组合数，个数最少，A181786给出了这种限定下的个数。
上面是按组合方式（Number of inequivalent solutions 不等价方案数）给出的三个限定条件，尚可按排列方式给出三个限定条件。
限定4：0≤a≤b≤c，排列数，个数最多，A016725给出了这种限定下的个数；
限定5：0≤a<b<c，排列数，个数稍少，A181788给出了这种限定下的个数；
限定6：0<a<b<c，排列数，个数较少，A181787给出了这种限定下的个数。

yangchuanju · 发表于 2021-11-26 12:59

本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-26 14:22 编辑

A181786——Number of inequivalent不等价的 solutions方案数 to n^2 = a^2 + b^2 + c^2 with positive正数 a, b, c.
A181787——Number of solutions方案数 to n^2 = a^2 + b^2 + c^2 with positive正数 a, b, c.
A181788——Number of solutions方案数 to n^2 = a^2 + b^2 + c^2 with nonnegative非负数 a, b, c.
A016725——Number of integer整数 solutions to x^2+y^2+z^2 = n^2, allowing zeros and distinguishing signs and order.
A016727——Number of inequivalent不等价的 solutions方案数 to x^2+y^2+z^2 = n^2.
A000164——Number of partitions拆分 of n into 3 squares (allowing part zero).
A005818——Numbers n that are primitive互素的 solutions方案数to n^2 = a^2 + b^2 + c^2 (a,b,c > 0).
A005767——Solutions n to n^2 = a^2 + b^2 + c^2 (a,b,c > 0).
A000378——Sums of three squares: numbers of the form x^2 + y^2 + z^2.

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a^2+b^2+C^2=d^2，a=2021

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