数学中国

 找回密码
 注册
搜索
热搜: 活动 交友 discuz
楼主: 费尔马1

a^2+b^2+C^2=d^2,a=2021

[复制链接]
发表于 2021-11-24 19:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2021-11-25 06:16 编辑

1楼主帖:不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解?并写出各组解?

答:这个方程共有无数组正整数解。
证:a^2+b^2=d^2-C^2=n^2-(n-1)^2=2n-1    (其中d=n,C=n-1)
即:a^2+b^2=2021^2+(2k)^2=2n-1 (其中b=2k)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....,都有一个(至少)对应的解。
譬如:
2021^2+02^2+2042222^2=2042223^2
2021^2+04^2+2042228^2=2042229^2
2021^2+06^2+2042238^2=2042239^2
2021^2+08^2+2042252^2=2042253^2
2021^2+10^2+2042270^2=2042271^2
2021^2+12^2+2042292^2=2042293^2
2021^2+14^2+2042318^2=2042319^2
2021^2+16^2+2042348^2=2042349^2

回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 04:30 | 显示全部楼层
王老师您好:
您真高、真棒!您的这是一种通式解,并且还有许多的变通,例如,令a=2022,这时可令b=2k+1,……
通法,a=2t,这时可令b=2k+1,……
a=2t+1,这时可令b=2k……
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 04:35 | 显示全部楼层
王守恩 发表于 2021-11-24 19:25
1楼主帖:不定方程:a^2+b^2+C^2=d^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解? ...

下面请王守恩同志领奖!
本楼主奖励数学爱好者王守恩同志“优秀数学家”的称号!望您再接再厉,再创辉煌!
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 05:01 | 显示全部楼层
不定方程:a^2+b^2+C^2+……+d^2=e^2
式中的字母均为正整数,当a=2021时,求这个方程共有多少组正整数解?并写出各组解?
答:这个方程共有无数组正整数解。
证:a^2+b^2+c^2=e^2-d^2=n^2-(n-1)^2=2n-1    (其中e=n,d=n-1)
即:a^2+b^2+c^2=2021^2+(2k)^2+(2t)^2=2n-1 (其中b=2k,c=2t)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....,t=……,都有一个(至少)对应的解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-25 05:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 05:23 编辑
yangchuanju 发表于 2021-11-23 23:57
如若题目改为d=2021,又有多少组呢?
已知当d=541时至少26组(不全),当d=501-539时的组数见下表。
501         ...


令d=2021,a^2+b^2+c^2=d^2,当限定a<b<c时,共有275组正整数解:(按C数值倒序排列)
No        a        b        c
No001        21        60        2020
No002        32        84        2019
No003        48        76        2019
No004        36        176        2013
No005        24        189        2012
No006        84        171        2012
No007        59        336        1992
No008        189        284        1992
No009        144        328        1989
No010        176        312        1989
No011        27        384        1984
No012        99        372        1984
No013        144        357        1984
No014        252        291        1984
No015        4        405        1980
No016        85        396        1980
No017        94        423        1974
No018        282        329        1974
No019        59        456        1968
No020        291        356        1968
No021        24        504        1957
No022        216        456        1957
No023        21        508        1956
No024        67        504        1956
No025        132        491        1956
No026        176        477        1956
No027        189        472        1956
No028        276        427        1956
No029        288        419        1956
No030        356        363        1956
No031        84        528        1949
No032        372        384        1949
No033        189        504        1948
No034        171        540        1940
No035        396        405        1940
No036        84        616        1923
No037        364        504        1923
No038        84        661        1908
No039        171        644        1908
No040        60        675        1904
No041        108        669        1904
No042        291        612        1904
No043        315        600        1904
No044        357        576        1904
No045        453        504        1904
No046        252        644        1899
No047        364        588        1899
No048        32        699        1896
No049        165        680        1896
No050        276        643        1896
No051        445        540        1896
No052        396        636        1877
No053        84        747        1876
No054        171        732        1876
No055        381        648        1876
No056        483        576        1876
No057        176        741        1872
No058        364        669        1872
No059        419        636        1872
No060        504        571        1872
No061        24        771        1868
No062        384        669        1868
No063        36        792        1859
No064        504        612        1859
No065        176        792        1851
No066        528        616        1851
No067        258        774        1849
No068        59        816        1848
No069        189        796        1848
No070        381        724        1848
No071        576        581        1848
No072        94        846        1833
No073        4        864        1827
No074        284        816        1827
No075        336        796        1827
No076        576        644        1827
No077        48        869        1824
No078        76        867        1824
No079        483        724        1824
No080        581        648        1824
No081        32        876        1821
No082        148        864        1821
No083        276        832        1821
No084        384        788        1821
No085        400        780        1821
No086        500        720        1821
No087        86        903        1806
No088        473        774        1806
No089        165        904        1800
No090        445        804        1800
No091        500        771        1800
No092        571        720        1800
No093        396        840        1795
No094        504        780        1795
No095        76        939        1788
No096        144        931        1788
No097        291        896        1788
No098        491        804        1788
No099        423        846        1786
No100        252        931        1776
No101        357        896        1776
No102        67        984        1764
No103        189        968        1764
No104        644        747        1764
No105        661        732        1764
No106        36        1012        1749
No107        132        1004        1749
No108        284        972        1749
No109        356        948        1749
No110        396        932        1749
No111        508        876        1749
No112        636        788        1749
No113        708        724        1749
No114        120        1021        1740
No115        680        771        1740
No116        336        984        1733
No117        540        904        1725
No118        680        804        1725
No119        24        1056        1723
No120        384        984        1723
No121        36        1067        1716
No122        157        1056        1716
No123        176        1053        1716
No124        312        1021        1716
No125        363        1004        1716
No126        491        948        1716
No127        508        939        1716
No128        669        832        1716
No129        284        1044        1707
No130        724        804        1707
No131        60        1085        1704
No132        315        1040        1704
No133        372        1021        1704
No134        603        904        1704
No135        643        876        1704
No136        699        832        1704
No137        472        984        1701
No138        504        968        1701
No139        381        1044        1688
No140        699        864        1688
No141        171        1140        1660
No142        148        1149        1656
No143        384        1093        1656
No144        571        1008        1656
No145        644        963        1656
No146        21        1164        1652
No147        276        1131        1652
No148        76        1173        1644
No149        213        1156        1644
No150        248        1149        1644
No151        381        1112        1644
No152        491        1068        1644
No153        643        984        1644
No154        661        972        1644
No155        797        864        1644
No156        396        1120        1635
No157        780        896        1635
No158        258        1161        1634
No159        774        903        1634
No160        176        1179        1632
No161        291        1156        1632
No162        419        1116        1632
No163        816        869        1632
No164        336        1148        1629
No165        420        1120        1629
No166        644        1008        1629
No167        189        1188        1624
No168        837        864        1624
No169        288        1179        1616
No170        477        1116        1616
No171        504        1120        1605
No172        840        896        1605
No173        84        1237        1596
No174        171        1228        1596
No175        427        1164        1596
No176        508        1131        1596
No177        600        1085        1596
No178        675        1040        1596
No179        669        1056        1588
No180        771        984        1588
No181        21        1260        1580
No182        504        1155        1580
No183        60        1260        1579
No184        252        1236        1579
No185        540        1140        1579
No186        588        1116        1579
No187        708        1044        1579
No188        804        972        1579
No189        189        1256        1572
No190        864        931        1572
No191        384        1212        1571
No192        420        1200        1571
No193        708        1056        1571
No194        400        1221        1560
No195        780        1021        1560
No196        364        1236        1557
No197        644        1116        1557
No198        216        1292        1539
No199        372        1256        1539
No200        456        1228        1539
No201        904        948        1539
No202        108        1309        1536
No203        357        1264        1536
No204        699        1112        1536
No205        797        1044        1536
No206        396        1256        1533
No207        616        1164        1533
No208        4        1341        1512
No209        576        1211        1512
No210        32        1344        1509
No211        832        1056        1509
No212        84        1344        1507
No213        99        1364        1488
No214        396        1309        1488
No215        616        1221        1488
No216        869        1056        1488
No217        120        1371        1480
No218        771        1140        1480
No219        144        1373        1476
No220        213        1364        1476
No221        328        1341        1476
No222        573        1256        1476
No223        648        1219        1476
No224        661        1212        1476
No225        876        1067        1476
No226        939        1012        1476
No227        384        1336        1467
No228        904        1056        1467
No229        59        1392        1464
No230        248        1371        1464
No231        356        1347        1464
No232        603        1256        1464
No233        643        1236        1464
No234        788        1149        1464
No235        864        1093        1464
No236        948        1021        1464
No237        774        1161        1462
No238        504        1320        1445
No239        176        1404        1443
No240        636        1264        1443
No241        816        1156        1443
No242        291        1392        1436
No243        456        1347        1436
No244        804        1173        1436
No245        939        1068        1436
No246        576        1309        1428
No247        669        1264        1428
No248        846        1175        1410
No249        419        1392        1404
No250        500        1365        1404
No251        573        1336        1404
No252        725        1260        1404
No253        792        1219        1404
No254        741        1264        1392
No255        648        1336        1371
No256        680        1320        1371
No257        792        1256        1371
No258        984        1112        1371
No259        644        1341        1368
No260        864        1211        1368
No261        796        1260        1365
No262        972        1131        1364
No263        1053        1056        1364
No264        837        1256        1344
No265        931        1188        1344
No266        708        1336        1341
No267        904        1212        1341
No268        984        1148        1341
No269        1004        1155        1320
No270        1021        1140        1320
No271        1008        1164        1309
No272        1008        1221        1256
No273        1112        1149        1236
No274        1131        1156        1212
No275        1120        1179        1200
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-25 05:21 | 显示全部楼层
或按a,b排序为:
No        a        b        c
No015        4        405        1980
No073        4        864        1827
No208        4        1341        1512
No001        21        60        2020
No023        21        508        1956
No146        21        1164        1652
No181        21        1260        1580
No005        24        189        2012
No021        24        504        1957
No061        24        771        1868
No119        24        1056        1723
No011        27        384        1984
No002        32        84        2019
No048        32        699        1896
No081        32        876        1821
No210        32        1344        1509
No004        36        176        2013
No063        36        792        1859
No106        36        1012        1749
No121        36        1067        1716
No003        48        76        2019
No077        48        869        1824
No007        59        336        1992
No019        59        456        1968
No068        59        816        1848
No229        59        1392        1464
No040        60        675        1904
No131        60        1085        1704
No183        60        1260        1579
No024        67        504        1956
No102        67        984        1764
No078        76        867        1824
No095        76        939        1788
No148        76        1173        1644
No006        84        171        2012
No031        84        528        1949
No036        84        616        1923
No038        84        661        1908
No053        84        747        1876
No173        84        1237        1596
No212        84        1344        1507
No016        85        396        1980
No087        86        903        1806
No017        94        423        1974
No072        94        846        1833
No012        99        372        1984
No213        99        1364        1488
No041        108        669        1904
No202        108        1309        1536
No114        120        1021        1740
No217        120        1371        1480
No025        132        491        1956
No107        132        1004        1749
No009        144        328        1989
No013        144        357        1984
No096        144        931        1788
No219        144        1373        1476
No082        148        864        1821
No142        148        1149        1656
No122        157        1056        1716
No049        165        680        1896
No089        165        904        1800
No034        171        540        1940
No039        171        644        1908
No054        171        732        1876
No141        171        1140        1660
No174        171        1228        1596
No010        176        312        1989
No026        176        477        1956
No057        176        741        1872
No065        176        792        1851
No123        176        1053        1716
No160        176        1179        1632
No239        176        1404        1443
No008        189        284        1992
No027        189        472        1956
No033        189        504        1948
No069        189        796        1848
No103        189        968        1764
No167        189        1188        1624
No189        189        1256        1572
No149        213        1156        1644
No220        213        1364        1476
No022        216        456        1957
No198        216        1292        1539
No150        248        1149        1644
No230        248        1371        1464
No014        252        291        1984
No046        252        644        1899
No100        252        931        1776
No184        252        1236        1579
No067        258        774        1849
No158        258        1161        1634
No028        276        427        1956
No050        276        643        1896
No083        276        832        1821
No147        276        1131        1652
No018        282        329        1974
No074        284        816        1827
No108        284        972        1749
No129        284        1044        1707
No029        288        419        1956
No169        288        1179        1616
No020        291        356        1968
No042        291        612        1904
No097        291        896        1788
No161        291        1156        1632
No242        291        1392        1436
No124        312        1021        1716
No043        315        600        1904
No132        315        1040        1704
No221        328        1341        1476
No075        336        796        1827
No116        336        984        1733
No164        336        1148        1629
No030        356        363        1956
No109        356        948        1749
No231        356        1347        1464
No044        357        576        1904
No101        357        896        1776
No203        357        1264        1536
No125        363        1004        1716
No037        364        504        1923
No047        364        588        1899
No058        364        669        1872
No196        364        1236        1557
No032        372        384        1949
No133        372        1021        1704
No199        372        1256        1539
No055        381        648        1876
No070        381        724        1848
No139        381        1044        1688
No151        381        1112        1644
No062        384        669        1868
No084        384        788        1821
No120        384        984        1723
No143        384        1093        1656
No191        384        1212        1571
No227        384        1336        1467
No035        396        405        1940
No052        396        636        1877
No093        396        840        1795
No110        396        932        1749
No156        396        1120        1635
No206        396        1256        1533
No214        396        1309        1488
No085        400        780        1821
No194        400        1221        1560
No059        419        636        1872
No162        419        1116        1632
No249        419        1392        1404
No165        420        1120        1629
No192        420        1200        1571
No099        423        846        1786
No175        427        1164        1596
No051        445        540        1896
No090        445        804        1800
No045        453        504        1904
No200        456        1228        1539
No243        456        1347        1436
No137        472        984        1701
No088        473        774        1806
No170        477        1116        1616
No056        483        576        1876
No079        483        724        1824
No098        491        804        1788
No126        491        948        1716
No152        491        1068        1644
No086        500        720        1821
No091        500        771        1800
No250        500        1365        1404
No060        504        571        1872
No064        504        612        1859
No094        504        780        1795
No138        504        968        1701
No171        504        1120        1605
No182        504        1155        1580
No238        504        1320        1445
No111        508        876        1749
No127        508        939        1716
No176        508        1131        1596
No066        528        616        1851
No117        540        904        1725
No185        540        1140        1579
No092        571        720        1800
No144        571        1008        1656
No222        573        1256        1476
No251        573        1336        1404
No071        576        581        1848
No076        576        644        1827
No209        576        1211        1512
No246        576        1309        1428
No080        581        648        1824
No186        588        1116        1579
No177        600        1085        1596
No134        603        904        1704
No232        603        1256        1464
No207        616        1164        1533
No215        616        1221        1488
No112        636        788        1749
No240        636        1264        1443
No135        643        876        1704
No153        643        984        1644
No233        643        1236        1464
No104        644        747        1764
No145        644        963        1656
No166        644        1008        1629
No197        644        1116        1557
No259        644        1341        1368
No223        648        1219        1476
No255        648        1336        1371
No105        661        732        1764
No154        661        972        1644
No224        661        1212        1476
No128        669        832        1716
No179        669        1056        1588
No247        669        1264        1428
No178        675        1040        1596
No115        680        771        1740
No118        680        804        1725
No256        680        1320        1371
No136        699        832        1704
No140        699        864        1688
No204        699        1112        1536
No113        708        724        1749
No187        708        1044        1579
No193        708        1056        1571
No266        708        1336        1341
No130        724        804        1707
No252        725        1260        1404
No254        741        1264        1392
No180        771        984        1588
No218        771        1140        1480
No159        774        903        1634
No237        774        1161        1462
No157        780        896        1635
No195        780        1021        1560
No234        788        1149        1464
No253        792        1219        1404
No257        792        1256        1371
No261        796        1260        1365
No155        797        864        1644
No205        797        1044        1536
No188        804        972        1579
No244        804        1173        1436
No163        816        869        1632
No241        816        1156        1443
No211        832        1056        1509
No168        837        864        1624
No264        837        1256        1344
No172        840        896        1605
No248        846        1175        1410
No190        864        931        1572
No235        864        1093        1464
No260        864        1211        1368
No216        869        1056        1488
No225        876        1067        1476
No201        904        948        1539
No228        904        1056        1467
No267        904        1212        1341
No265        931        1188        1344
No226        939        1012        1476
No245        939        1068        1436
No236        948        1021        1464
No262        972        1131        1364
No258        984        1112        1371
No268        984        1148        1341
No269        1004        1155        1320
No271        1008        1164        1309
No272        1008        1221        1256
No270        1021        1140        1320
No263        1053        1056        1364
No273        1112        1149        1236
No275        1120        1179        1200
No274        1131        1156        1212
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-25 05:22 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 06:25 编辑

实际计算中仅限定了b大于a这一个条件,没有限定c的大小,
导致c可以小于等于a和b,因而出现3个一组的现象,共得827个正整数解;
其中有2个c=b的也要去除,(827-2)/3=275,实际有效正整数解为275组。
若计入329^2+1410^2+1410^2=2021^2,为276组。

点评

276,正确!0<a≤b≤c  发表于 2021-11-25 06:14

评分

参与人数 1威望 +20 收起 理由
王守恩 + 20 276,正确!0&amp;lt;a≤b≤c

查看全部评分

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-25 05:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2021-11-25 06:06 编辑

令a=2021,b=2,4,6……2020,c=d-1,不定方程a^2-b^2+c^2=d^2有一大组类似解。                       
a        b        c        d        c递减
2021        2        2042218        2042219        ——
2021        4        2042212        2042213        6
2021        6        2042202        2042203        10
2021        8        2042188        2042189        14
2021        10        2042170        2042171        18
2021        12        2042148        2042149        22
2021        14        2042122        2042123        26
2021        16        2042092        2042093        30
2021        18        2042058        2042059        34
2021        20        2042020        2042021        38
……
2021        2010        22170        22171        4018
2021        2012        18148        18149        4022
2021        2014        14122        14123        4026
2021        2016        10092        10093        4030
2021        2018        6058        6059        4034
2021        2020        2020        2021        4038

回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2021-11-25 06:02 | 显示全部楼层
令a=2021,b=2,4,6……2020,c=d-1,不定方程a^2+b^2+c^2=d^2的一组正整数解:                               
a        b        c        d        c递增
2021        0        2042221        2042222        ——
2021        2        2042223        2042224        2
2021        4        2042229        2042230        6
2021        6        2042239        2042240        10
2021        8        2042253        2042254        14
2021        10        2042271        2042272        18
2021        12        2042293        2042294        22
2021        14        2042319        2042320        26
2021        16        2042349        2042350        30
2021        18        2042383        2042384        34
2021        20        2042421        2042422        38
……
2021        2018        4078383        4078384        4034
2021        2020        4082421        4082422        4038
2021        2022        4086463        4086464        4042
2021        2024        4090509        4090510        4046
2021        2026        4094559        4094560        4050
2021        2028        4098613        4098614        4054
2021        2030        4102671        4102672        4058
……
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2021-11-25 06:03 | 显示全部楼层
不定方程:a^2+b^2+C^2+……+d^2=e^2
式中的字母均为正整数,当e=2021时,求这个方程共有多少组正整数解?并写出各组解?
答:这个方程共有无数组正整数解。
证:a^2+b^2+c^2=e^2-d^2=n^2-(n-1)^2=2n-1    (其中e=n,d=n-1)
即:a^2+b^2+c^2=a^2+(2k)^2+(2t)^2=2n-1 =2021^2-2020^2(其中a=2r+1,b=2k,c=2t)
并写出各组解。当b=2,4,6,8,10,.....,t=……,都有一个(至少)对应的解。
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

Archiver|手机版|小黑屋|数学中国 ( 京ICP备05040119号 )

GMT+8, 2025-7-11 05:36 , Processed in 0.090307 second(s), 15 queries .

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2020, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表