求\({2∏{{P_j-3}\over{P_j-4}}}\over{ln(N)}\)的极限值

天山草

主帖中要求的那个极限是 2.4527......

天山草

n =3 和 n=4 时的梅腾斯推广公式：

注意，Prime[k] 表示第 k 个素数，下面连乘公式中 k 的起始值都是 k=3，即 Prime[3]=5。并不是从 2 或 3 起始的。

天山草

主帖中的那个表达式，其理论值按大傻前面的推导，整理如下：

独木星空谁

天山草 发表于 2021-8-26 20:21
主帖中的那个表达式，其理论值按大傻前面的推导，整理如下：

γ        -0.577215665        0.561459483567746
n=3        17.14949157        3.035334195
n=4        24.90708517        2.475121902
在天山草先生的提示下发现了问题所在。

独舟星海

∏(1-\(1\over P\))=\(e^{-γ}\over{ln(x)}\)推出\({ln(x)}e^γ\)=∏\(P\over{P-1}\),  所以\(({P\over{P-1}})^n\)=\(({ln}(x)e^γ)^n\)=\({ln}^n(x)e^{nγ}\)，而最密三生素数的系数为：\({P^2(P-3)}\over(P-1)^3\)，当P≥5时，为此形式，对于素数2，\({2^2(2-1)}\over(2-1)^3\)=\({1\over 2}{2^3\over(2-1)^3}\),同样素数3，\({3^2(3-2)}\over(3-1)^3\)=\({1\over 3}{3^3\over(3-1)^3}\)，当素数P≥5后，\({P^2(P-3)}\over(P-1)^3\)=\({P^3\over(P-1)^3}{{P-3}\over P}\)=\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P})}\),把素数2,3的放进去：\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2.

独舟星海

\(C_3\)=\(1\over 6\)∏\(({P\over{P-1}})^3{(1-{3\over P_i})}\)，\(P_i\)≥5. P≥2. 把\(({P\over{P-1}})^3\)替换为\({ln}^3(x)e^{3γ}\)，则\(C_3\)=\(1\over 6\)\({ln}^3(x)e^{3γ}\)\({(1-{3\over P_i})}\)=\(1\over 6\)\(e^{3γ}{ln}^3(x)\)\({(1-{3\over P_i})}\)，此时已经看到n=3的情形，把后半部分用梅腾斯的推广公式代替。

独舟星海

如果用\(T_3\)表示梅腾斯公式的推广值，则根据天山草的计算值为：3.03533，\(e^{3γ}\)=5.649951690116860
，其1/6为0.9416586150194770 ，它乘3.03533，最终得值：2.858244643927070 ，与我k生素数的数量公式中所给的\(C_3\)=2.858249176885160 ，相差不大。这与天山草，及我的系数精确度都有关联。从理论上它们的值应该一致（无论什么渠道获得）。所以每一个梅腾斯公式的推广中的n与k生素数的k形成一一对应关系。
用同样方法，求出的\(C_4\)也相差无几（都是有精确度引起，深层理论上完全吻合）。所以，天山草先生的梅腾斯公式的推广，解开k生素数数量公式中系数的新篇章。

独舟星海

天山草 发表于 2021-8-26 20:21
主帖中的那个表达式，其理论值按大傻前面的推导，整理如下：

我把k生素数的数量公式中的系数，用恒等变形，表示成与梅腾斯公式的推广有关的式子，用到您给的值，求出了k生素数的数量公式中的系数，而且与我以前求出的值基本吻合。

大傻8888888

独舟星海 发表于 2021-8-27 21:58
我把k生素数的数量公式中的系数，用恒等变形，表示成与梅腾斯公式的推广有关的式子，用到您给的值，求出 ...

     我在白新岭的“[原创]k生素数群的数量公式”的帖子里已经用梅腾斯公式的推广有关的式子得出k生素数的数量公式中的系数。具体情况复制如下：
发表于 2020-6-13 21:49 | 显示全部楼层
4生素数的公式如下：
(N/6)*∏(1-4/p)/[2e^(-γ)]^4，（其中3﹤p≤√N）
32 c^3 ∏[1-1/（p-2)^2]^2 ∏[1-1/（p-3)^2] N/（lnN)^4 （其中3﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......）
32 c^2 ∏[1-1/（p-2)^3] ∏[1-1/（p-3)^2]=4.151180......
5生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-5/p)/[2e^(-γ)]^5，（其中5﹤p≤√N）
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2]  N/（lnN)^5（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588.......
256 c^4 ∏[1-1/（p-2)^2] ^3 ∏[1-1/（p-3)^2]^2 ∏[1-1/（p-4)^2] =10.13179......
6生素数的公式如下：
(N/30)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中5﹤p≤√N）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2] N/（lnN)^6（其中5﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......）
2048 c^5 ∏[1-1/（p-2)^2]^4 ∏[1-1/（p-3)^2]^3 ∏[1-1/（p-4)^2]^2 ∏[1-1/（p-5)^2]=17.23860......
7生素数的公式如下：
(N/210)*∏(1-6/p)/[2e^(-γ)]^6，（其中7﹤p≤√N）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2 ∏[1-1/（p-6)^2]  N/（lnN)^6（其中7﹤p≤√N  c是拉曼纽扬系数  ∏[1-1/（p-2)^2]=0.81980245......∏[1-1/（p-3)^2]=0.6708911......∏[1-1/（p-4)^2]=0.8402588......∏[1-1/（p-5)^2]=0.6995361......）
32768 c^6 ∏[1-1/（p-2)^2]^5 ∏[1-1/（p-3)^2]^4 ∏[1-1/（p-4)^2]^3 ∏[1-1/（p-5)^2]^2∏[1-1/（p-6)^2]=53.97189......
上面5生素数和7生素数的系数和白新岭的“5生素数群从素数7就走到正规了,系数为10.1318018169296 ；
7生素数群从素数11就走到正规了,系数为53.9720251184226 ；”非常吻合。
我和白新岭先生虽然方法不同，但是结果一致，基本上可以认为是客观真理。
我刚看到这个帖子2楼4生素数和6生素数的系数也和我的计算吻合，心里很欣慰。

大傻8888888

这是我在天山草先生的帖子“[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？”里的观点，现在复制如下，供参考：

发表于 2011-10-11 14:43
[猜想] 这些表达式均有极限，谁能给出极限的一般表达式？
下面引用由天山草在 2011/10/11 02:14pm 发表的内容：
    估计数学杂志才不搭理这点小玩艺儿呢。再说，其价值在哪里，现在也不清楚。可以算是个梅腾斯公式的推广吧？
    对于数学来说，无所谓什么价值，只要前人没有发表这种东西，你发现了它就是有价值的，起码大家以后再遇到这种问题时，不会去无谓的浪费时间和生命。当然可以算是个梅腾斯公式的推广。同时用 liudan 先生的话说“这个定理计算素数分布，发现与欧拉乘积相似，还优于欧拉乘积。这是一个广阔的素数分布研究课题。也许s对复数也成立。有机遇改s为复数，那么 其意义不低于黎曼函数。”我个人认为∏(1-1/p)和素数个数有函数关系，而
∏(1-2/p)和孪生素数个数也有函数关系，∏(1-k/p)和k生素数个数也应该有函数关系。
点评
独舟星海
就好比纯粹数学，抛开具体问题，只去研究这个抽象的问题，有朝一日，她会浮出水面，得到开采和利用。  发表于 2021-1-16 11:25