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本帖最后由 春风晚霞 于 2022-3-21 03:32 编辑
jzkyllcjl的这篇贴文是宿贴，故将原来答此贴文的意见贴上与之商榷(jzkyllcjl之原贴见春风晚霞《也谈马克思的《数学手稿》和现行教科书的实数理论》主题下二楼jzkyllcjl之贴文)
一、再次解读马克思级数等式
1、马克思级数等式原文
马克思在《数学手稿》第19页倒数第3行写道:
\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限.}\)假如我把它表成级数，那末(马克思在这里给出了表成级数的方法，长除法的图示)…所以\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…在这种情况下，\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{成为它无穷级数的极限.}\)
2、对马克思级数等式的解读
①、由“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”知，马克思所说的极限并不具有“趋向但不等于”这个特性，否则必然导致\(\mathbf{1\over 3}\)≠\(\mathbf{1\over 3}\)悖论。也就是说“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”与现行教科书中所说“\(\mathbf{常数的极限就是它自身}\)”是一致的。
②、由\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…，即:\(1\over 3\)=\(3\over 10\)(即0.3)+\(3\over 100\)(即0.03)+\(3\over 1000\)(即0.003)+\(3\over 10000\)(即0.0003)+…=0.3333…即\(1\over 3\)=0.3333…。也就是从\(1\over 3\)=\(3\over 10\)+\(3\over 100\)+\(3\over 1000\)+\(3\over 10000\)+…到\(1\over 3\)=0.3333…我们只用了殴几里得等量代换公理。如果不能根据形式逻辑演译否定马克思的级数等式，或不能根据形式逻辑演译否定殴几里得等量代换公理，那么我们就应当承认\(1\over 3\)=0.3333…这个等式。毕竟“初等数学，即常数数学，是在形式逻辑范围内运作的”[1]嘛！
③、马克思“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{成为它无穷级数的极限}\)”一语中的“极限”也不能解读成“趋向但不等于”的意思，否则也将导致\(1\over 3\)≠\(1\over 3\)矛盾。
二、jzkyllcjl先生对马克思级数等式的错误解读
1、 jzkyllcjl先生认为【从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在\(\mathbf{写了1/3=3/10+3/100+}\)\(\mathbf{…的等式}\)；在这个等式之后，马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3，0.33，0.333，…的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。这个论述说明：需要提出 lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式】
①、【从1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实下，马克思在写了1/3=3/10+3/100+…的等式】；jzkyllcjl先生，你也认可[马克思在\(\mathbf{写了1/3=3/10+3/100+}\)\(\mathbf{…的等式}\)]这就足够了。因为3/10+3/100+…=0.3333…，所以1/3=0.3333…(殴几里得之等量的传递性)。它与[然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实]又有什么关系？1/3=3/10+3/100+…的省略号中，包含了无穷多个比零大得多的数，为什么又不可包含那个以零为极限的余数呢？同时这个[1被3 除法运算得到0.33的算式，然后在这个除法的永远除不尽、每一步都得出数字3的事实]，也只是你的想像中的“事实”，芝诺不就是根据这个“事实”，得出“一个人永远走不出一间屋子”的悖论吗？
②、[马克思立即根据无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义，说道：1/3成为它的无穷级数的极限。]这个解读参杂你个人的东西太多。首先[无穷次相加无法进行，无穷级数和是其前n项和的无穷数列0.3,0.33,0.333,……的趋向性极限的定义]这是你在二十世纪九十年代，为拼凑你《全能近似分析数学理论基础及其应用》提出来的定义。且不说你的这个东西至今尚未得到数学界的认可，就是从时间顺序上，也不能用此解读马克思的这个极限等式。其次是[这个论述说明：需要提出lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 的等式],中的[lim n→∞0..33……3（n个3）]即是\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}\)\(\overbrace{0.3333…3}^{n个3}\)=\(\overbrace{0.3333…3}^{∞个3}\)=0.3333…。所以[lim n→∞0..33……3（n个3）=1/3 ]这个等式也就是0.3333……=1/3。这个结果我们可根据马克思的级数等式，和殴几里得等量公理直接得出，根本就不需要你“需要提出”嘛！
2、针对杜林“可以\(\mathbf{无矛盾地}\)加以思考的无限性的最明显的形式，是数在数列中的无限积累。”[2]恩格斯写下了“杜林先生，永远做不到没有矛盾地思考现实的无限性。无限性是一个矛盾，而且充满着矛盾。无限纯粹是由有限组成的，这已经是矛盾，可是事情就是这样。物质世界的有限性所引起的矛盾，并不比它的无限性所引起的矛盾少，正像我们已经看到的，任何消除这些矛盾的尝试都会引起新的更糟糕的矛盾”[3]恩格斯这段话主要讲了两个方面:
①对杜林“可以\(\mathbf{无矛盾地}\)加以思考的无限性的最明显的形式，是数在数列中的无限积累”作出了批判；
②物质世界的有限性和物质世界的无限性都会引起矛盾(也就是矛盾的普遍性)。我们确实读不出这【也说明马克思的“极限值具有达不到的趋向性”说法是正确的】的意思。前面已经说了马克思所说极限值不“具有达不到的趋向性”，否则马克思的“\(\mathbf{1\over 3}\)\(\mathbf{本身是它自己的极限}\)”岂不就是\(\mathbf{1\over 3}\)≠\(\mathbf{1\over 3}\)吗？
【参考文献】
[1]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P143页。
[2]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P48页。
[3]恩格斯《反杜林论》2018年2月版P53页)。 |
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发表于 2022-3-11 11:20
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