春风晚霞： 请继续研究

elim

被积函数在 x = 0 没有定义，首先该假设的是 [a,b] 含于函数的定义域内的情况。a = 0 的情况属于瑕积分，在正常积分没有结果之前是不会考虑的。当然，人吃上了狗屎，正经事情是做不了的。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-22 08:49
春风晚霞：你可能疏忽了，计算定积分需要有积分上下限。你没有给出上下下限。这个被积函数的图像有对称于 ...

是的。现请曹老头先计算\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^-}\)\(\int_{-1}^ε\)\(1\over  x^2\)=？；\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^+}\)\(\int_ ε^1\)\(1\over  x^2\)=？然后再说这两个积分结果有什么不同？！你看如何？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-22 01:22
是的。现请曹老头先计算\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^-}\)\(\int_{-1}^ε\)\(1\over  x^2\)=？；\(\dis ...

春风晚霞：你的先计算定积分，得到+∞--1=+∞。你的后一个你自己算吧。

春风晚霞

曹老头:你已算得\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^-}\)\(\int_{-1}^ε\)\(1\over  x^2\)=∞-1；你若继续计算，你将得到\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^+}\)\(\int_ ε^1\)\(1\over  x^2\)=-1-(+ ∞)是吧？那么\(\int_{-1}^1\)\(1\over x^2\)dx=\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^-}\)\(\int_{-1}^ε\)\(1\over x^2\)dx+\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^+}\)\(\int_ε^1\)\(1\over x^2\)dx=(+∞-1)+[-1-(+∞)]=？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-22 04:14
曹老头:你已算得\(\displaystyle\lim_{ε \to 0^-}\)\(\int_{-1}^ε\)\(1\over  x^2\)=∞-1；你若继续计算 ...

春风晚霞：你对第二个的计算，由于疏忽，把∞前边符号搞错了。你可以检查你的计算，也可以从被积函数图像的对称于y轴，两边曲线都在x轴上方，两边的曲边图形面积相等，得到两边的积分值相等，知道你计算中有符号的错误。

春风晚霞

jzkyllcjl 发表于 2022-8-22 16:58
春风晚霞：你对第二个的计算，由于疏忽，把∞前边符号搞错了。你可以检查你的计算，也可以从被积函数图像 ...

曹曹老头，我让你计算两个积分，你为什么只计算一个？按你的说法，自变量从右边逼近于0原函数的极限值为负无穷(否则就没有第二个积分为-1-(-∞)=+∞-1)，这合理吗？这与被积函数图像在x轴上方是否矛盾？

jzkyllcjl

春风晚霞 发表于 2022-8-22 09:38
曹曹老头，我让你计算两个积分，你为什么只计算一个？按你的说法，自变量从右边逼近于0原函数的极限值 ...

春风晚霞：你计算第二积分时，算错的原因可能是忽略了原函数为-1/x 的负号造成的。你也可以从被积函数图像的对称于y轴，两边曲线都在x轴上方，两边的曲边图形面积相等，得到两边的积分值相等，知道你计算中有符号的错误。第二个我也也算过，但需要你自己算。这个错误，我已经给你多次同济大学《高等数学》中，不仅指出了与你相同的错误，，而且给出了正确计算与结果。我说多了，你应当自己找出错误原因。

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【原题】}}\)已知：中学阶段的反比例函数为双曲线y=1/x ，求从a~b，那段曲线长度\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\).
\(\color{blue}{\mathbf{【一、分析】}}\)
依题意由曲线弧长公式得L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)和y=\(1\over x\)的图像知:①原题暗含a≠0，a<b，且a，b同号。②若设被积函数的原函数为F(x)，则有:
\begin{split}
&\qquad F(x)=\small\int\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx=\small\int\small\dfrac{1}{x^2}\small\sqrt{x^4+1}dx&(1)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {分部积分}\hspace{0.5cm} }}} }
-\small\dfrac{1}{x}\small\sqrt{x^4+1}+\small\int\dfrac{2x^2}{\small\sqrt{x^4+1}}dx\qquad&(2)\\
&\small\raise{6pt}{\underline{\underline{\small\mathbf{ \hspace{0.5cm} {换元用公式*}\hspace{0.5cm} }}} }-\small\dfrac{1}{x}\sqrt{x^4+1}+xLn|{t+\sqrt{t^2+1}}|-\small\int\ln|{t+\sqrt{t^2+1}}|dx&(3)
\end{split}由于没有哪个初等函数的导数是\(\small Ln|{t+\sqrt{t^2+1}}|\)，所以我们需要把\(\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}\)展开成无穷级数。
\(\color{blue}{\mathbf{【二、预备知识】}}\)二项式幂级数展开式
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)\(\quad\)u∈(-1，1]

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【三、题解】}}\)
当x∈(-1，0)U(0，1)时，\(x^4\)∈(0，1)
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)
在上式中令α=\(1\over 2\)，u=\(x^4\)，则有
则有\(\sqrt{1+x^4}\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)(\tfrac{1}{2}-2 )(\tfrac{1}{2}-3)…[\tfrac{1}{2}-(n-1)]}{n!}x^{4n}\)
\(=1+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{4n}\)
\(F_{0<|x|<1}\)(x)=\(\int\dfrac{1}{x^2}\sqrt{1+x^4}\)dx\(=\int【x^{-2}+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{4n-2}\)】dx
所以：\(F_{0<|x|<1}\)(x)\(=x^{-1}+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}x^{4n-1}\)

春风晚霞

\(\color{blue}{\mathbf{【四、题解续】}}\)
当x∈(-∞，1]U[1，+∞)时，\(1\over x^4\)∈(0，1]
\((1+u)^α\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{α(α-1)(α-2 )(α-3)…[α-(n-1)]}{n!}u^n\)
在上式中令α=\(1\over 2\)，u=\(1\over x^4\)=\(x^{-4}\)，则有
则有\(\sqrt{1+x^{-4}}\)\(=1+\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{\tfrac{1}{2}(\tfrac{1}{2}-1)(\tfrac{1}{2}-2 )(\tfrac{1}{2}-3)…[\tfrac{1}{2}-(n-1)]}{n!}x^{-4n}\)
\(=1+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{-4n}\)
\(F_{|x|≥1}\)(x)=\(\int\sqrt{1+x^{-4}}\)dx\(=\int【1+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!}x^{-4n}\)】dx
所以：\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)
\(\color{blue}{\mathbf{【五、应用举列】}}\)
因为曲线的弧长始终是正值，所以L=\(\small\int_a^b\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|F(b)-F(a)|
例1：求\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)
【解】：\(\small\int_1^2\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(2)-\(F_{|x|≥1}\)(1)|
\(=|2+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}2^{-4n+1}\)\(-\sqrt 2\)\(=(2-\sqrt 2)+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}2^{-4n+1}\)
例2：求\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)|
【 解】：\(\small\int_{0.25}^1\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(1)\(-F_{0<|x|<1}\)(0.25)|
\(=|\sqrt 2\)\(-4-{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)
\(=|(\sqrt 2-4)-{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)|
\(=(4-\sqrt 2)+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(4n-1)}\)\(0.25^{4n-1}\)

注意：在无穷级数字运算中，若没告诉精确度结果应保留算式。
例3：求\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)，结果保留10位有效数字
【解】：因为本题告诉了精确度，所以需要讨论余项。为此，我们把\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^∞\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)改写成
\(F_{|x|≥1}\)(x)\(=x+{(-1)^{n-1}}\small\displaystyle\sum_{n=1}^N\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)+R(x)，则有：0<|R(x)<|\(\dfrac{(2n-3)!!}{2n!!(-4n+1)}x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)<\(x^{-4n+1}\)|1+\(x^{-4}\)+\(x^{-8}\)+\(x^{-12}\)+…)
<\(x^{-4n+1}\)，所以当\(5^{-(4n-1)}\)≤\(10^{-10}\)时，\(F_{|x|≥1}\)(5)的余项和|R(5)|<\(10^{-10}\)，解这个关于n的不等式知，需且只需计算\(F_{|x|≥1}\)(5)前五项即符合要求，这时\(F_{|X|≥1}\)(5)\(\approx\)4.99866689512；同理算得符合条件的\(F_{|x|≥1}\)(4)\(\approx\)3.99739692189，所以\(\small\int_4^5\small\sqrt{1+\small\tfrac{1}{x^4}}dx\)=|\(F_{|x|≥1}\)(5)-\(F_{|x|≥1}\)(4)|\(\approx\)1.0012699732