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楼主: yangchuanju

有用的素数个数表

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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-21 15:55 编辑

为便于日后阅读，兹将发表在崔坤《崔坤奇素数定理……》中的几个帖子连同崔坤的相关点评和关联贴复制于此：

正整数达到10^65时，π(10^65)/π(10^64)只约等于9.84628596200466；
正整数达到10^1000时，π(10^1000)/π(10^999)才约等于9.98999565138424；
只有当偶数达到无穷大时，才会有相差1个数量级的素数个数比趋近于10。

怎么大的正整数范围内的素数个数真值是不会统计出来的！

崔坤点评：
杨老师我是考虑真值的数据，你这是用素数定理来考量的，  发表于 2022-10-20 20:26
即64*10/65=9·84615384462  发表于 2022-10-20 20:28
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:52 | 显示全部楼层
杨的点评：
π(10^1000)/π(10^999)=[10^1000/ln(10^1000)]/[10^999/ln(10^999)]=10*999*ln(10)/1000*ln(10)=9.990  发表于 2022-10-20 20:43

π(10^10000)/π(10^9999)=[10^10000/ln(10^10000)]/[10^9999/ln(10^9999)]=10*9999*ln(10)/10000*ln(10)=9.999  发表于 2022-10-20 20:44
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:54 | 显示全部楼层
按照素数定理，虽然当正整数达到10^10时，π(10^10)/π(10^9)约等于9；
当正整数达到10^100时，π(10^100)/π(10^99)约等于9.9；
当正整数达到10^1000时，π(10^1000)/π(10^999)约等于9.99；
当正整数达到10^10000时，π(10^10000)/π(10^9999)约等于9.999；
……

以10为底的正整数的指数增大10倍，其素数个数的比值要增加一个9，然而正整数以内的素数密度确越来越小。
按照素数定理，当正整数达到10^10时，其内素数平均密度约等于1/ln(10^10)=0.04343，10^10附近密度约等于0.02172，（取10^20内平均密度）;
当正整数达到10^100时，其内素数平均密度约等于1/ln(10^100)=0.004343，10^100附近密度约等于0.002172，（取10^200内平均密度）;
当正整数达到10^1000时，其内素数平均密度约等于1/ln(10^1000)=0.0004343，10^1000附近密度约等于0.0002172，（取10^2000内平均密度）;
当正整数达到10^10000时，其内素数平均密度约等于1/ln(10^10000)=0.00004343，10^10000附近密度约等于0.00002172，（取10^20000内平均密度）;
……
以10为底的正整数的指数增大10倍，其素数的平均密度要缩小10倍，
在10^10000附近密度约等于0.00002172，即约46000个整数中才有一个素数；而在10^10附近密度约等于0.02172时，约46个整数中就有一个素数。
据此，在10的10万次方附近要（平均）在46万个整数中才能找到一个素数；
在10的100万次方附近要（平均）在460万个整数中才能找到一个素数；
在10的1000万次方附近要（平均）在4600万个整数中才能找到一个素数；
在10的10000万次方附近要（平均）在46000万个整数中才能找到一个素数；
……

虽然以10为底的正整数趋近于无穷大，它的指数再增大10倍时，其素数个数的比值要趋近于10；
但其素数密度（几率）确要趋近于无穷小0了，亦即素数间距变得无穷大！
由于素数发布极不均匀，虽在10的1亿次方附近平均要在4.6亿个整数中才能找到一个素数；
但间距4.6亿的相邻素数一定早就出现了，（间距4.6亿的相邻素数究竟出现在哪里无法考究）
并且在10的1亿次方附近还会有孪生素数、表兄弟素数（间距为4的相邻素数）、六素数（间距为6的相邻素数）存在！

崔坤点评：
杨老师的分析很到位，从密度的角度来看，素数定理早已给出几乎为0的结论。  发表于 2022-10-21 06:51
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:54 | 显示全部楼层
10的30-32次方内素数个数估算：                              
n        10^n/log(10^n)        10^n/[log(10^n)-1.08366]        (10^n/[log(10^n)-1]        Li(10^n)
30        1.44765E+28        1.47072E+28        1.46891E+28        1.46924E+28
31        1.40095E+29        1.42255E+29        1.42086E+29        1.42115E+29
32        1.35717E+30        1.37743E+30        1.37584E+30        1.37611E+30
与Li的比值        最小        最大        稍小        稍大一点点
30        0.985304226        1.001007619        0.999777488        1
31        0.985785443        1.000981883        0.999792029        1
32        0.98623613        1.000957321        0.999805189        1
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-22 08:16 编辑

崔坤修改后的帖子：
根据崔坤定理可知：
以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的指数增大N倍，其素数的平均密度要缩小N倍；
对于幂N^x，以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的底数增大N倍，同时其素数个数也增大N倍。
这在哲学上充分体现了矛盾的既对立又统一的唯物辩证法。

杨回复修改前之崔坤贴：
“以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的指数增大N倍，其素数的平均密度要缩小N倍；”——对；
“以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的指数增大N倍，……同时其素数个数却增大N倍。”——不对。
应改为“以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的指数趋近于无穷大并再增大1，……同时其素数个数却增大N倍。”

崔坤点评：
是，应该修改为  发表于 2022-10-21 08:11
以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的底数增大N倍，同时其素数个数却增大N倍。  发表于 2022-10-21 08:13
不好意思，理解错了。应该是幂N^x扩大N倍，素数的个数也扩大N倍  发表于 2022-10-22 06:49
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:59 | 显示全部楼层
按照素数定理，10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k)；当指数增大10倍时，10^(10k)内素数个数约等于10^(10k)/ln(10^10k)=(10^k)^10/[10*ln(10^k)]；后数/前数=(10^k)^9/10=10^9k/10=10^(9k-1)。
类推，N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k)；当指数增大N倍时，N^(Nk)内素数个数约等于N^(Nk)/ln(N^Nk)=(N^k)^N/[N*ln(N^k)]；后数/前数=(N^k)^(N-1)/N=N^[(N-1)*k]/N=N^[(N-1)*k-1]=N^(Nk-k-1)。
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:59 | 显示全部楼层
按照素数定理，10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k)；
2*10^k内素数个数约等于2*10^k/ln(2*10^k)=2*10^k/[ln(2)+ln(10^k)]；
10^k----2*10^k间的素数个数约等于2*10^k/[ln(2)+ln(10^k)]-10^k/ln(10^k)，当k较大或趋近于无穷大时，可略去被减数分母中的ln(2)，减式变成2*10^k/ln(10^k)-10^k/ln(10^k)=10^k/ln(10^k)，最终等于10^k内的素数个数了；
亦即当正整数N趋近于无穷大时，N--2N区间素数个数等于N内素数个数；
类推当正整数N趋近于无穷大时，N--2N--3N--4N--KN区间素数个数都等于N内素数个数了。
素数还越来越稀少吗？——无穷大时就是这么怪，其实说怪也不怪！

崔坤点评：
其实比不怪，因为越来越稀疏是密度的概念，素数无穷多是素数量累积的概念，两者是既对立有统一的一对矛盾，这就是自然法则的魔力，所以我乐意学习数学知识，感知到了自然的无穷魔力  发表于 2022-10-21 08:51
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 楼主| 发表于 2022-10-21 12:02 | 显示全部楼层
崔坤：“以N（偶数N大于等于6）为底的正整数的底数增大N倍，同时其素数个数却增大N倍。”

按照素数定理，10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k)；当底数增大10倍时，100^k内素数个数约等于100^k/ln(100^k)=(10^k)^2/[2*ln(10^k)]；后数/前数=(10^k)^(2-1)/2=10^k/2。
100^3=10^6;  (10^2)^3=10^6;  (10^3)^2=10^6;  
100^5=10^10;  (10^2)^5=10^10;  (10^5)^2=10^10  
类推，N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k)；当底数增大N倍时，N^2^k内素数个数约等于N^2^k/ln(N^2^k)=(N^k)^2/[2*ln(N^k)]；后数/前数=(N^k)^(2-1)/2=N^k/2。

按照素数定理，10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k)；当底数增大到10^10时，10^10^k内素数个数约等于10^10^k/ln(10^10^k)=(10^k)^10/[10*ln(10^k)]；后数/前数=(10^k)^(10-1)/10=10^9k/10=10^(9k-1)。
类推，N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k)；当底数增大到N^N时，N^N^k内素数个数约等于N^N^k/ln(N^N^k)=(N^k)^N/[N*ln(N^k)]；后数/前数=(N^k)^(N-1)/N=N^(N-1)k/N=N^(Nk-k-1)。

以上推导两套推导都没有导出崔老师的结论，
以上推导是否正确，请崔老师审核！

崔坤回复：
当幂N^x的底数增大N倍，即幂N*N^x=N^(x+1)
请杨老师按照这个等式去推算

杨回复之点评：
崔坤：“当幂N^x的底数增大N倍，即幂N*N^x=N^(x+1)” 这不叫“底数增大N倍”，实际上是“幂数增大N倍”，也就是指数增加1，不用再推导了！  发表于 2022-10-21 11:03

点评

cuikun-186
当幂N^x增大N倍奇合数对个数也增大N倍  发表于 2022-10-21 15:24
cuikun-186
当幂N^x增大N倍哥猜数数个数也增大N倍  发表于 2022-10-21 15:24
cuikun-186
当幂N^x增大N倍素数个数也增大N倍，应该是这个表述。  发表于 2022-10-21 15:23
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 楼主| 发表于 2022-10-21 12:03 | 显示全部楼层
间距46的相邻素数会出现在哪里？
47的素数阶乘47#=614889782588491410前后一定有间距大于等于46的相邻素数对；
其实间距46的最小素数对是81463和81509。

间距460的相邻素数会出现在哪里？
461的素数阶乘461#=1.01025748098389E+190前后一定有间距大于等于460的相邻素数对；
其实间距460的最小素数对是131956235563和131956236023。

间距4600的相邻素数会出现在哪里？
623号素数4603的素数阶乘4603#前后一定有间距大于等于4600的相邻素数对；
其实它应该早已出现。

间距46000的相邻素数会出现在哪里？
4762号素数是46021，它的素数阶乘前后一定有间距大于等于46000的相邻素数对；
其实它应该早已出现。

间距46万的相邻素数会出现在哪里？
38459号素数是460013，它的素数阶乘前后一定有间距大于等于46万的相邻素数对；
其实它应该早已出现。

间距460万的相邻素数会出现在哪里？
322422号素数是4600003，它的素数阶乘前后一定有间距大于等于460万的相邻素数对；
其实它应该早已出现。

间距4600万的相邻素数会出现在哪里？
2775054号素数阶乘前后一定有间距大于等于4600万的相邻素数对；
其实它应该早已出现。

间距46000万的相邻素数会出现在哪里？
24354549号素数阶乘前后一定有间距大于等于46000万的相邻素数对；
其实它应该早已出现。
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发表于 2022-10-21 15:27 | 显示全部楼层
本帖最后由 cuikun-186 于 2022-10-21 15:29 编辑

当幂N^x增大N倍，则素数个数也增大N倍，


当幂N^x增大N倍，则哥猜数个数也增大N倍

其中偶数N大于等于6

当幂N^x增大N倍，则奇合数对个数也增大N倍，

其中偶数N大于等于10


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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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