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楼主: yangchuanju

有用的素数个数表

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 楼主| 发表于 2022-10-20 22:46 | 显示全部楼层
A327133-1250        A124001-475
n位最大孪生素数之小素与10^n的差        n位最小孪生素数之小素与10^n的差
——————        0  2——3-1=2
1 5——10-5=5        1  1——11-10=1
2 29——100-71=29        2  1——101-100=1
3 119        3  19
4 71        4  7
5 11        5  151
6 41        6  37
7 29        7  139
8 413        8  37
9 809        9  7
10 299        10  277
11 239        11  817
12 41        12  61
13 1511        13  1267
14 29        14  97
15 2033        15  2371
16 359        16  1549
17 1193        17  19
18 1073        18  619
19 1499        19  97
20 2261        20  391
21 5003        21  409
22 2429        22  649
23 1793        23  5527
24 4331        24  2731
25 833        25  559
26 5879        26  949
27 359        27  427
28 779        28  601
29 2813        29  2797
30 1061        30  1681
31 2099        31  7189
32 1811        32  2449
33 3281        33  6751
34 5201        34  7597
35 533        35  8419
36 5483        36  16879
37 1679        37  871
38 1421        38  5569
39 26801        39  10327
40 12089        40  16111
41 2843        41  2131
42 27773        42  6121
43 9641        43  23329
44 10841        44  5179
45 4763        45  4249
46 2129        46  2641
47 1019        47  2257
48 20531        48  3997
49 8519        49  8281
50 14339        50  18307
51 5759        51  7537
52 24389        52  41347
53 50189        53  25831
54 11303        54  3397
55 5021        55  7687
56 14783        56  6637
57 15083        57  7381
58 5069        58  16597
59 21293        59  9091
60 7091        60  23599
61 2681        61  27319
62 58619        62  4711
63 653        63  22249
64 6671        64  6517
65 4811        65  7579
66 6641        66  4051
67 581        67  1777
68 7049        68  12949
69 25643        69  38119
70 57779        70  17887
71 14393        71  3319
72 2543        72  38671
73 29159        73  829
74 8909        74  19219
75 18659        75  24721
76 21029        76  4489
77 5273        77  45469
78 21251        78  2581
79 14603        79  30511
80 6683        80  37759
81 8129        81  1867
82 33581        82  67549
83 13763        83  4849
84 29099        84  44317
85 4109        85  59587
86 25031        86  27379
87 4613        87  78757
88 23399        88  7177
89 4043        89  5407
90 43721        90  29101
91 22763        91  2677
92 96899        92  23899
93 39959        93  60811
94 133121        94  121
95 59        95  46897
96 6533        96  42007
97 2801        97  127939
98 24251        98  45487
99 7691        99  6001
100 35219        100  35737
101 38651        101  139201
102 160223        102  106759
103 2669        103  29659
104 15191        104  3457
105 83573        105  113617
106 12161        106  94789
107 5669        107  52819
108 67331        108  66517
109 26741        109  35371
110 120851        110  90577
111 32123        111  85417
112 48191        112  164191
113 6563        113  36769
114 32093        114  88237
115 28193        115  8107
116 10823        116  1831
117 165029        117  38119
118 27359        118  86989
119 83309        119  39199
120 14051        120  126997
121 38651        121  6697
122 13991        122  46201
123 10463        123  74011
124 19469        124  2149
125 78131        125  103429
126 18221        126  28471
127 71033        127  111889
128 138683        128  75901
129 893        129  73021
130 14933        130  46471
131 137003        131  29161
132 60911        132  99997
133 113969        133  11959
134 153089        134  142039
135 36923        135  76771
136 35873        136  52681
137 58943        137  16087
138 7889        138  15967
139 32741        139  184267
140 49973        140  92149
141 81491        141  84199
142 84491        142  6727
143 177113        143  227959
144 171371        144  198259
145 8723        145  52759
146 99473        146  88627
147 203231        147  10657
148 8291        148  140581
149 8039        149  181627
150 74921        150  87157
151 234329        151  23731
152 324773        152  35317
153 39893        153  431629
154 206519        154  30991
155 301811        155  155821
156 21923        156  10489
157 8693        157  62749
158 330203        158  361
159 66371        159  39637
160 56999        160  14179
161 38123        161  24277
162 46979        162  151537
163 144269        163  1819
164 22301        164  169429
165 15851        165  14317
166 17159        166  47581
167 118001        167  40207
168 48113        168  225151
169 89669        169  66907
170 228563        170  18151
171 29969        171  23359
172 3113        172  194887
173 5693        173  513631
174 75761        174  47899
175 79979        175  42559
176 86663        176  361711
177 40199        177  13297
178 28973        178  90577
179 11621        179  50947
180 50561        180  85477
181 269861        181  41929
182 6683        182  198841
183 205553        183  57781
184 182891        184  75871
185 6791        185  31267
186 242171        186  11581
187 544901        187  183109
188 293051        188  54151
189 219761        189  136561
190 17939        190  17899
191 476759        191  5107
192 122273        192  118681
193 244433        193  15727
194 171731        194  236887
195 23279        195  251881
196 204851        196  39559
197 832661        197  62497
198 15713        198  7729
199 63401        199  62209
200 17081        200  168961
…………
201-1250、201-475略
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-21 15:55 编辑

为便于日后阅读,兹将发表在崔坤《崔坤奇素数定理……》中的几个帖子连同崔坤的相关点评和关联贴复制于此:

正整数达到10^65时,π(10^65)/π(10^64)只约等于9.84628596200466;
正整数达到10^1000时,π(10^1000)/π(10^999)才约等于9.98999565138424;
只有当偶数达到无穷大时,才会有相差1个数量级的素数个数比趋近于10。

怎么大的正整数范围内的素数个数真值是不会统计出来的!

崔坤点评:
杨老师我是考虑真值的数据,你这是用素数定理来考量的,  发表于 2022-10-20 20:26
即64*10/65=9·84615384462  发表于 2022-10-20 20:28
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:52 | 显示全部楼层
杨的点评:
π(10^1000)/π(10^999)=[10^1000/ln(10^1000)]/[10^999/ln(10^999)]=10*999*ln(10)/1000*ln(10)=9.990  发表于 2022-10-20 20:43

π(10^10000)/π(10^9999)=[10^10000/ln(10^10000)]/[10^9999/ln(10^9999)]=10*9999*ln(10)/10000*ln(10)=9.999  发表于 2022-10-20 20:44
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:54 | 显示全部楼层
按照素数定理,虽然当正整数达到10^10时,π(10^10)/π(10^9)约等于9;
当正整数达到10^100时,π(10^100)/π(10^99)约等于9.9;
当正整数达到10^1000时,π(10^1000)/π(10^999)约等于9.99;
当正整数达到10^10000时,π(10^10000)/π(10^9999)约等于9.999;
……

以10为底的正整数的指数增大10倍,其素数个数的比值要增加一个9,然而正整数以内的素数密度确越来越小。
按照素数定理,当正整数达到10^10时,其内素数平均密度约等于1/ln(10^10)=0.04343,10^10附近密度约等于0.02172,(取10^20内平均密度);
当正整数达到10^100时,其内素数平均密度约等于1/ln(10^100)=0.004343,10^100附近密度约等于0.002172,(取10^200内平均密度);
当正整数达到10^1000时,其内素数平均密度约等于1/ln(10^1000)=0.0004343,10^1000附近密度约等于0.0002172,(取10^2000内平均密度);
当正整数达到10^10000时,其内素数平均密度约等于1/ln(10^10000)=0.00004343,10^10000附近密度约等于0.00002172,(取10^20000内平均密度);
……
以10为底的正整数的指数增大10倍,其素数的平均密度要缩小10倍,
在10^10000附近密度约等于0.00002172,即约46000个整数中才有一个素数;而在10^10附近密度约等于0.02172时,约46个整数中就有一个素数。
据此,在10的10万次方附近要(平均)在46万个整数中才能找到一个素数;
在10的100万次方附近要(平均)在460万个整数中才能找到一个素数;
在10的1000万次方附近要(平均)在4600万个整数中才能找到一个素数;
在10的10000万次方附近要(平均)在46000万个整数中才能找到一个素数;
……

虽然以10为底的正整数趋近于无穷大,它的指数再增大10倍时,其素数个数的比值要趋近于10;
但其素数密度(几率)确要趋近于无穷小0了,亦即素数间距变得无穷大!
由于素数发布极不均匀,虽在10的1亿次方附近平均要在4.6亿个整数中才能找到一个素数;
但间距4.6亿的相邻素数一定早就出现了,(间距4.6亿的相邻素数究竟出现在哪里无法考究)
并且在10的1亿次方附近还会有孪生素数、表兄弟素数(间距为4的相邻素数)、六素数(间距为6的相邻素数)存在!

崔坤点评:
杨老师的分析很到位,从密度的角度来看,素数定理早已给出几乎为0的结论。  发表于 2022-10-21 06:51
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:54 | 显示全部楼层
10的30-32次方内素数个数估算:                              
n        10^n/log(10^n)        10^n/[log(10^n)-1.08366]        (10^n/[log(10^n)-1]        Li(10^n)
30        1.44765E+28        1.47072E+28        1.46891E+28        1.46924E+28
31        1.40095E+29        1.42255E+29        1.42086E+29        1.42115E+29
32        1.35717E+30        1.37743E+30        1.37584E+30        1.37611E+30
与Li的比值        最小        最大        稍小        稍大一点点
30        0.985304226        1.001007619        0.999777488        1
31        0.985785443        1.000981883        0.999792029        1
32        0.98623613        1.000957321        0.999805189        1
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 yangchuanju 于 2022-10-22 08:16 编辑

崔坤修改后的帖子:
根据崔坤定理可知:
以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的指数增大N倍,其素数的平均密度要缩小N倍;
对于幂N^x,以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的底数增大N倍,同时其素数个数也增大N倍。
这在哲学上充分体现了矛盾的既对立又统一的唯物辩证法。

杨回复修改前之崔坤贴:
“以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的指数增大N倍,其素数的平均密度要缩小N倍;”——对;
“以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的指数增大N倍,……同时其素数个数却增大N倍。”——不对。
应改为“以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的指数趋近于无穷大并再增大1,……同时其素数个数却增大N倍。”

崔坤点评:
是,应该修改为  发表于 2022-10-21 08:11
以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的底数增大N倍,同时其素数个数却增大N倍。  发表于 2022-10-21 08:13
不好意思,理解错了。应该是幂N^x扩大N倍,素数的个数也扩大N倍  发表于 2022-10-22 06:49
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:59 | 显示全部楼层
按照素数定理,10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k);当指数增大10倍时,10^(10k)内素数个数约等于10^(10k)/ln(10^10k)=(10^k)^10/[10*ln(10^k)];后数/前数=(10^k)^9/10=10^9k/10=10^(9k-1)。
类推,N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k);当指数增大N倍时,N^(Nk)内素数个数约等于N^(Nk)/ln(N^Nk)=(N^k)^N/[N*ln(N^k)];后数/前数=(N^k)^(N-1)/N=N^[(N-1)*k]/N=N^[(N-1)*k-1]=N^(Nk-k-1)。
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 楼主| 发表于 2022-10-21 11:59 | 显示全部楼层
按照素数定理,10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k);
2*10^k内素数个数约等于2*10^k/ln(2*10^k)=2*10^k/[ln(2)+ln(10^k)];
10^k----2*10^k间的素数个数约等于2*10^k/[ln(2)+ln(10^k)]-10^k/ln(10^k),当k较大或趋近于无穷大时,可略去被减数分母中的ln(2),减式变成2*10^k/ln(10^k)-10^k/ln(10^k)=10^k/ln(10^k),最终等于10^k内的素数个数了;
亦即当正整数N趋近于无穷大时,N--2N区间素数个数等于N内素数个数;
类推当正整数N趋近于无穷大时,N--2N--3N--4N--KN区间素数个数都等于N内素数个数了。
素数还越来越稀少吗?——无穷大时就是这么怪,其实说怪也不怪!

崔坤点评:
其实比不怪,因为越来越稀疏是密度的概念,素数无穷多是素数量累积的概念,两者是既对立有统一的一对矛盾,这就是自然法则的魔力,所以我乐意学习数学知识,感知到了自然的无穷魔力  发表于 2022-10-21 08:51
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 楼主| 发表于 2022-10-21 12:02 | 显示全部楼层
崔坤:“以N(偶数N大于等于6)为底的正整数的底数增大N倍,同时其素数个数却增大N倍。”

按照素数定理,10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k);当底数增大10倍时,100^k内素数个数约等于100^k/ln(100^k)=(10^k)^2/[2*ln(10^k)];后数/前数=(10^k)^(2-1)/2=10^k/2。
100^3=10^6;  (10^2)^3=10^6;  (10^3)^2=10^6;  
100^5=10^10;  (10^2)^5=10^10;  (10^5)^2=10^10  
类推,N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k);当底数增大N倍时,N^2^k内素数个数约等于N^2^k/ln(N^2^k)=(N^k)^2/[2*ln(N^k)];后数/前数=(N^k)^(2-1)/2=N^k/2。

按照素数定理,10^k内素数个数约等于10^k/ln(10^k);当底数增大到10^10时,10^10^k内素数个数约等于10^10^k/ln(10^10^k)=(10^k)^10/[10*ln(10^k)];后数/前数=(10^k)^(10-1)/10=10^9k/10=10^(9k-1)。
类推,N^k内素数个数约等于N^k/ln(N^k);当底数增大到N^N时,N^N^k内素数个数约等于N^N^k/ln(N^N^k)=(N^k)^N/[N*ln(N^k)];后数/前数=(N^k)^(N-1)/N=N^(N-1)k/N=N^(Nk-k-1)。

以上推导两套推导都没有导出崔老师的结论,
以上推导是否正确,请崔老师审核!

崔坤回复:
当幂N^x的底数增大N倍,即幂N*N^x=N^(x+1)
请杨老师按照这个等式去推算

杨回复之点评:
崔坤:“当幂N^x的底数增大N倍,即幂N*N^x=N^(x+1)” 这不叫“底数增大N倍”,实际上是“幂数增大N倍”,也就是指数增加1,不用再推导了!  发表于 2022-10-21 11:03

点评

当幂N^x增大N倍奇合数对个数也增大N倍  发表于 2022-10-21 15:24
当幂N^x增大N倍哥猜数数个数也增大N倍  发表于 2022-10-21 15:24
当幂N^x增大N倍素数个数也增大N倍,应该是这个表述。  发表于 2022-10-21 15:23
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 楼主| 发表于 2022-10-21 12:03 | 显示全部楼层
间距46的相邻素数会出现在哪里?
47的素数阶乘47#=614889782588491410前后一定有间距大于等于46的相邻素数对;
其实间距46的最小素数对是81463和81509。

间距460的相邻素数会出现在哪里?
461的素数阶乘461#=1.01025748098389E+190前后一定有间距大于等于460的相邻素数对;
其实间距460的最小素数对是131956235563和131956236023。

间距4600的相邻素数会出现在哪里?
623号素数4603的素数阶乘4603#前后一定有间距大于等于4600的相邻素数对;
其实它应该早已出现。

间距46000的相邻素数会出现在哪里?
4762号素数是46021,它的素数阶乘前后一定有间距大于等于46000的相邻素数对;
其实它应该早已出现。

间距46万的相邻素数会出现在哪里?
38459号素数是460013,它的素数阶乘前后一定有间距大于等于46万的相邻素数对;
其实它应该早已出现。

间距460万的相邻素数会出现在哪里?
322422号素数是4600003,它的素数阶乘前后一定有间距大于等于460万的相邻素数对;
其实它应该早已出现。

间距4600万的相邻素数会出现在哪里?
2775054号素数阶乘前后一定有间距大于等于4600万的相邻素数对;
其实它应该早已出现。

间距46000万的相邻素数会出现在哪里?
24354549号素数阶乘前后一定有间距大于等于46000万的相邻素数对;
其实它应该早已出现。
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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