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笔者在1962年提出了“物体按照瞬时速度2g下落的时段长是不是0呢？”的涉及第二次数学危机的“无穷小是不是0呢？”的问题，为此笔者自费到新乡、郑州、北京、南京、武汉、上海的许多大学、数学研究所请教，都无结果；1976年学习《非标准分析》后，笔者发现“这个著作中的正无限小数违背了正实数可以无限接近于0的事实”所以笔者否定了这个著作；也否定了《非标准分析》依赖的ZFC形式语言公理集合论。现在根据理想函数定义域与值域中的理想实数具有在绝对准意义下测不准、画不准、算不准的性质，提出了“在导数计算与定积分计算都需要使用足够准近似计算”的改革意见。
关于导数的计算，根据马克思《数学手稿》第一节，,第2页讲到：“首先取差（即取Δｘ），然后再把它扬弃……。理解微分运算的全部困难（正象理解否定的否定本身那样），恰恰在于要看到微分运算是怎样区别于这样的简单手续并因此导出实际的结果的 [8]”的论述，笔者提出了如下的定义11。
定义11，自变数x的微分dx是以 为极限的，满足任意小误差界要求的理想性足够小正实数性质的变数意义的辩证数（即dx为:不是0的足够小正数，也不是《非标准分析》中的无限小数，它近似等于0）。
根据这个定义与使用数学数学建模方法提出的 在t的瞬时速度计算中，由于建模过程使用了近似测量数据，所以计算瞬时速度时，可以使用辩证数dt。由于dt 不等于0，它可以作除数，所以，在算出 约去公因子 后，得到； ，将此式右端的含有辩证数dt的项忽略不计，就得到：在t处的右导数为gt ；同理可以得到：在t处的左导数也是gt。于是在包含t=2的足够小时段上物体下落速度的足够准数值为2g。在这个计算过程中，虽然使用了扬弃差值dt的做法，但这个做法的实质是：理想的没有长度的时刻可以使用测不准的足够小正数替换：即使用数字描述现实数量的理想时刻时，理想时刻可以用忽略不计的足够短时段替换；下落物体按照瞬时速度2g下落的时段长，不是0，而是包含t=2的足够短时段，这样一来，就解决了“下落物体按照时速度2g下落的时段长是不是0呢？”的无法解决的问题。上述瞬时速度的计算是一个足够准近似计算；于是求导数的计算也应当是一个足够准近似计算；但现行教科书中的导数的极限计算方法仍然可以使用，但需要知道：第一，如果对表达式 进行Δx趋向于0的计算，就会出现：0不能做除数的 问题，而必须在约去 中分子与分母的公因子Δx后进行求极限，这个计算也是对不定式 的一种计算；第二，需要知道：这个求导计算工作需要使用“理想点与近理想点、0与非0足够小的相互依赖的对立统一法则与收敛无穷数列可以达不到其极限值的性质”进行解说。根据这性质，对于芝诺的“飞矢不动”问题，根据时段不是理想时刻构成，而是把许多足够小时段连接起来构成的，这样一来，就不能因为“每一个理想时刻飞矢不动，得到飞矢不动的结论”，于是就消除了飞矢不动的悖论。下边再介绍几个与导数概念改革后的应用实例。
例Ⅰ 现行教科书中，称Δx为自变数的微分， 当Δx很小时，原函数增量近似等于函数微分的说法是不确切的。根据定义11与导数表示足够小区间dx上函数变化率的近似意义的上述讨论，应当提出：只有Δx是针对原函数增量计算的误差界的足够小dx时，f’(x)dx才能足够准地表示y=f(x)在区间[x,x+dx]上的原函数增量。对于确定的Δx，必须使用二阶导数，根据泰勒定理中的余项公式计算出误差的取值范围，只有这个误差满足误差界要求时，才可以使用函数微分近似表示原函数增量，否则，就需要使用高阶泰勒多项式进行函数增量的足够准近似计算。
例2 根据马克思《数学手稿》第22页讲到的“通过点M，M' 作割线M'S, h减少得越多，即pp'减少得越多，ps就越趋向于跟次切线PT重合，……，因此PT就是PS所趋向的极限”的论述，可以知道理想函数 在t处切线的斜率为gt。但根据理想点与现实近似点之间相互依赖的关系，这个斜率是割线斜率的趋向性的极限。
例3 上述导数计算，使用的是Δx为足够小正数的计算，但根据dx是以 为极限的微分定义，也可以把这个计算过程看作是：“对以Δx为函数的Δx趋向于0”的极限计算，根据文献[4]66页的海涅定理，可以使用以 为极限的数列 替换后，再根据上述第三章提出的全能近似极限，可以提出理想、近似、全能近似三种导数的定义。理想导数可以表示理想曲线的斜率或即时速度，近似导数可以表示时段长足够短的瞬时速度；使用全能近似导数可以得到：连续函数在 取得极大(小)值的充要条件是左全能近似导数大于（小于）0，右全能近似导数小于（大于）0（详细论述可参看文献[6]）。
例4 根据前述无穷级数和必须使用极限方法与极限值达不到的性质，由于菲赫金哥尔茨《微积分学教程》二卷二分册431-433页的“没有导数的处处连续函数”的两个例子都是使用无穷级数和得到的，所以这两个例子叙述的“没有导数的处处连续函数”不存在，它两造成的不可求长的曲线存在问题也是不存在的：而且那两个级数的前n项和的函数表达的曲线是可求长的。所以应当指出：任何现实曲线都是可求长的，不可求长曲线存在的问题是数学理论不完善造成的。
例5对涉及到麻烦的泛函分析与广义函数理论的亥维赛德（Heaviside,O）函数与狄拉克δ函数问题，现在可以使用理想与现实、精确与近似相互依存的对立统一法则进行如下的简单的叙述方法。首先，根据物理学中质点与点电荷的点只能是足够小而不是绝对没有大小的事实，我们可以而且应当把x=0解释为包含理想点x=0的足够小区间[-ε，ε]，式中符号ε代表以0+为极限的任意正全能足够小变数（或称辩证数，辩证数的定义可参看前述定义11）上的一个单位电荷，这时就可以得到累计电量函数为：
， (1)
式(1)中辩证数ε暂时可以看作常数，求导得电荷的分布密度为：
。 (2)
由于ε是足够小正数，所以这个电荷密度函数是一个在足够小现实点x=0处为足够大正数，其它处为0的函数；其累计电量函数是这个函数的定积分，这个定积分含有变数ε，将ε取极限，得到的是一个在x=0处近似为1/2，负实数上为0，正实数上为1的函数，这个累计电量函数可以近似写作：
(3) 或 (4)
这两个个表达式都可以说是亥维赛德函数表达式，都符合理想函数的定义，但它们在x=0处都不是连续函数；它俩在x=0处都不可导，不能求出电荷密度函数；但现在，在我们使用辩证数的近似表达式后，不仅可以求导（上述（2）就是它们的导数表达式）；而且反映了现实点电荷的真实情形（进一步的讨论可参看文献[6]）。
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发表于 2024-4-24 02:29
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