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发表于 2024-4-16 09:08
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jzkyllcjl 可以拿庸俗的有限操作主义否定很多东西。例如无穷序列的项写不完,所以无穷序列具有理想性(言外之意不能被有限操作地构造)所以没有真正意义上的合法性,等等.
庸俗有穷主义还认为序列极限,集合的上下确界,甚至区间上的函数都涉及无穷次判断计算等操作,所以都是没有合法性的.
数学不可避免地涉及无穷论域上的算子等论题,其处理方式是使用变元,引入映射规则。比如 \(a^2+b^2\ge 2ab\) 这件事情,数学是不是要对每组实数 \(a,b\) 的取值来验证这个不等式,还是使用变元\(a,b\) 及等式 \(a^2+b^2-2ab=(a+b)^2\ge 0\)来证明这个普适的不等式?显然后者只涉及有限操作和判断. 选择公理或者良序公理解决了一般的映射的存在性问题,映射作为 \(A\times B\)的特殊子集也常常由概括公理确立。序列极限虽然没有一般的求法,但大部分极限均由简单极限和已知的重要极限得到。另一大类极限通过中值定理,Taylor 展开求得,其它极限,例如割圆法求圆周率等等,也都有有限分析方法得到存在性和任意精度的数值结果。
概括起来说就是变量和公理是有限操作处理无穷现象的。数学把求一个未知量的工作分为两个步骤,第一步是这个量的确定性(存在,唯一性), 第二步是得到这个量的任意所需精度的有限逼近算法。
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