梅森素数特别判定法

太阳

三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
假设命题是正确的，它没有意义了，判断大素数难度大，很难求出r的值，2^127-1是素数，有整数解
估计r最小值大于于\(\sqrt{2^{127}-1}\)，\(r^8\)值数据很大，如果找1亿位大素数，r最小值大于100万亿位大数，这个数据极大

yangchuanju

太阳 发表于 2024-9-7 10:46
三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c，有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
...

2^127-1中的整数解
一级小解等于2^64=，
一级大解等于2^127-1-2^64=；
二级4解的最小解可能小于一级的小解2^64，也可能大于一级的小解2^64，
二级4解的最大解可能大于一级的大解2^127-1-2^64，也可能小于一级的大解2^127-1-2^64：（小解越小大解越大，和等于2^127-1）
三级8解的最小解可能比二级4解的最小解小，也可能比二级4解的最小解大，
三级8解的最大解可能比二级4解的最大解大，也可能比二级4解的最大解小：（小解越小大解越大，和等于2^127-1）

解级数        解个数        2^p-1之p        整数解总数
1        2        3        2
2        4               
3        8        5        14
4        16               
5        32        7        62
6        64               
7        128        9        254
8        256               
9        512        11        1022
10        1024               
11        2048        13        4094
12        4096               
13        8192        15        16382
14        16384               
15        32768        17        65534
16        65536               
17        131072        19        262142
18        262144               
19        524288        21        1048574
20        1048576               
21        2097152        23        4194302
22        4194304               
23        8388608        25        16777214
24        16777216               
25        33554432        27        67108862
26        67108864               
27        134217728        29        268435454
28        268435456               
29        536870912        31        1073741822
30        1073741824               
31        2147483648        33        4294967294
32        4294967296               
33        8589934592        35        17179869182
34        17179869184               
35        34359738368        37        68719476734
36        68719476736               
37        1.37439E+11        39        2.74878E+11
38        2.74878E+11               
39        5.49756E+11        41        1.09951E+12
40        1.09951E+12               
41        2.19902E+12        43        4.39805E+12
42        4.39805E+12               
43        8.79609E+12        45        1.75922E+13
44        1.75922E+13               
45        3.51844E+13        47        7.03687E+13
46        7.03687E+13               
47        1.40737E+14        49        2.81475E+14
48        2.81475E+14               
49        5.6295E+14        51        1.1259E+15
50        1.1259E+15               
51        2.2518E+15        53        4.5036E+15
52        4.5036E+15               
53        9.0072E+15        55        1.80144E+16
54        1.80144E+16               
55        3.60288E+16        57        7.20576E+16
56        7.20576E+16               
57        1.44115E+17        59        2.8823E+17
58        2.8823E+17               
59        5.76461E+17        61        1.15292E+18
60        1.15292E+18               
61        2.30584E+18        63        4.61169E+18
62        4.61169E+18               
63        9.22337E+18        65        1.84467E+19
64        1.84467E+19               
65        3.68935E+19        67        7.3787E+19
66        7.3787E+19               
67        1.47574E+20        69        2.95148E+20
68        2.95148E+20               
69        5.90296E+20        71        1.18059E+21
70        1.18059E+21               
71        2.36118E+21        73        4.72237E+21
72        4.72237E+21               
73        9.44473E+21        75        1.88895E+22
74        1.88895E+22               
75        3.77789E+22        77        7.55579E+22
76        7.55579E+22               
77        1.51116E+23        79        3.02231E+23
78        3.02231E+23               
79        6.04463E+23        81        1.20893E+24
80        1.20893E+24               
81        2.41785E+24        83        4.8357E+24
82        4.8357E+24               
83        9.67141E+24        85        1.93428E+25
84        1.93428E+25               
85        3.86856E+25        87        7.73713E+25
86        7.73713E+25               
87        1.54743E+26        89        3.09485E+26
88        3.09485E+26               
89        6.1897E+26        91        1.23794E+27
90        1.23794E+27               
91        2.47588E+27        93        4.95176E+27
92        4.95176E+27               
93        9.90352E+27        95        1.9807E+28
94        1.9807E+28               
95        3.96141E+28        97        7.92282E+28
96        7.92282E+28               
97        1.58456E+29        99        3.16913E+29
98        3.16913E+29               
99        6.33825E+29        101        1.26765E+30
100        1.26765E+30               
101        2.5353E+30        103        5.0706E+30
102        5.0706E+30               
103        1.01412E+31        105        2.02824E+31
104        2.02824E+31               
105        4.05648E+31        107        8.11296E+31
106        8.11296E+31               
107        1.62259E+32        109        3.24519E+32
108        3.24519E+32               
109        6.49037E+32        111        1.29807E+33
110        1.29807E+33               
111        2.59615E+33        113        5.1923E+33
112        5.1923E+33               
113        1.03846E+34        115        2.07692E+34
114        2.07692E+34               
115        4.15384E+34        117        8.30767E+34
116        8.30767E+34               
117        1.66153E+35        119        3.32307E+35
118        3.32307E+35               
119        6.64614E+35        121        1.32923E+36
120        1.32923E+36               
121        2.65846E+36        123        5.31691E+36
122        5.31691E+36               
123        1.06338E+37        125        2.12676E+37
124        2.12676E+37               
125        4.25353E+37        127        8.50706E+37
累计解数        8.50706E+37               

2^127-1之125级最小解不一定很大，最大解可能接近于2^127-1。
       

太阳

三级不定方程(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)/(2^p-1)=c
有正整数解时2^p-1是素数，无正整数解时2^p-1是合数
这个命题没有意义，
判断2^127-1是素数，r最小值大于\(\sqrt{2^{127}-1}\)，(r^8-8*r^6+20*r^4-16*r^2+2)数值最小大于200位
2^127-1是39位，200多位数，39位数，试除得整数，难度大，无法精确计算出r最小值，命题没有意义

太阳

如果找1亿位大素数，r最小值大于50000000位大数，r^8值大于五千万位的8次方，这个是超大数

yangchuanju

弄清了2^p-1的各级整数解个数以后，再关注一下2^p-1的各个余数列中的循环节长和个数——
令r=1,2,3,4，……，2^p-1，依次计算r^2-1模2^p-1的余数1(r2)，r2^2-1模2^p-1的余数2(r3)，r3^2-1模2^p-1的余数3(r4)，……
当某一级的余数等于0时，即表示对应的r有正整数解，一旦某一余数等于0，则下面的余数便是-2,2,2,2，……；
否则余数列呈循环状态趋于无穷，循环节长不可能大于2^p-1（余数种类数最多2^p-1个）。
当r=1时余数列是-1,-1,-1,-1，……；
当r=2时余数列是2,2,2,2，……；
当r=2^p-3时，余数列也是2,2,2,2，……；
当r=2^p-2时，余数列也是-1,-1,-1,-1，……；
当r=2^p-1时，余数列是-2,2,2,2，……；
上述5种余数列结构简单，略去不谈。

对于梅森素数2^3-1=7，当r=1--7时，减去5剩2，再减去整数解个数2，不再剩余；
对于梅森素数2^5-1=31，当r=1--31时，减去5剩26，再减去整数解个数2+4+8=14，还剩12种余数列；计算知循环节长4的8种，循环节长2的4种；
对于梅森素数2^7-1=127，当r=1--127时，减去5剩122，再减去整数解个数2+4+8+16+32=62，还剩60种余数列；计算知循环节长6的48种，循环节长3的12种；
对于梅森素数2^13-1=8191，当r=1--8191时，减去5剩8186，再减去整数解个数2+4+8+16+……+2048=4094，还剩4092种余数列；计算知循环节长12的3960种，循环节长6的108种，循环节长4的8种，循环节长3的12种，循环节长2的4种；
对于梅森素数2^17-1=131071，当r=1--131071时，减去5剩131066，再减去整数解个数2+4+8+16+……+32768=65534，还剩65532种余数列；计算知循环节长16的65024种，循环节长8的480种，循环节长4的24种，循环节长2的4种；

yangchuanju

对于非梅森合数2^9-1=511，当r=1--511时，减去5，再减去整数解个数4，还剩502种余数列；计算知循环节长18的252种，循环节长3的168种，循环节长1的82种，其中r=4的循环节长为3；

对于梅森合数2^11-1=2047，当r=1--2047时，减去5，再减去整数解个数4，还剩2038种余数列；计算知循环节长60的240种，循环节长20的80种，循环节长15的60种，……循环节长2的52种，其中r=4的循环节长为60；
循环节长        个数        备注
1        91        含5个特殊r及4个整数解
2        52       
3        78       
4        104       
5        990       
6        0       
10        40       
12        312       
15        60       
20        80       
30        0       
60        240        r=4在其中
总计        2047       

对于非梅森合数2^15-1=32767，当r=1--32767时，减去5，再减去整数解个数8，还剩32754种余数列；计算知循环节长36的4032种，循环节长18的11818种，循环节长9的12796种，……，其中r=4的循环节长为9；
循环节长        个数        备注
1        929        含5个特殊r及8个整数解
2        840       
3        0       
4        2352       
5        0       
9        12796        r=4在其中
18        11818       
36        4032       
总计        32767       
上面数字不全对，应改为
循环节长        半个数        个数
1        465        931
2        420        840
4        1176        2352
9        4788        9576
10        1610        3220
18        1008        2016
20        4900        9800
36        2016        4032
合计        16383        32767

yangchuanju

对于非梅森合数2^21-1=2097151，当r=1--2097151时，减去5，再减去整数解个数8，还剩2097138种余数列；计算知循环节长78的970790种，循环节长6的912984种，循环节长3的171504种，……，其中r=4的循环节长为3；
循环节长        总个数        备注
1        41873        含5个特殊r及8个整数解
2        0       
3        171504        r=4在其中
6        912984       
78        970790       
总计        2097151       

yangchuanju

2^23-1主要有三种循环节，32340=2*1470，3234=2*147，528=22*24；4+16=20个整数解。
2^29-1主要有三种循环节，924=28*33，252=28*9，84=28*3；另外还有循环节长等于660的，它不是28的整数倍。

对于2^23-1的LL检验余数，虽然没有0出现，但它的一系列余数是循环重复出现的，循环节长为32340；
由于2^23-1不是素数，它的余数循环节长32340不是2^23-1的分数，也不是两素因子减1的乘积的分数；它是指数23减1的1470倍。
将r1=4，换成5,10,14,19,21,23,24,26,28,31时循环节长也是32340，循环是从r2或r1开始的；
将r1=4，换成8,9,20,22,25,27,29,32时循环节长都是3234，循环是从r4或r5开始的；
将r1=4，换成3,6,7,11,12,13,15,16,17,18,30时循环节长都是528，循环是从r1、r2、r4或r5开始的；需要注意的是，528=22*24不是32340的分数(32340/528=61.25)。

r1        循环节长        循环开始        循环节/22
4        32340        r2        1470
5        32340        r1        1470
10        32340        r2        1470
14        32340        r1        1470
19        32340        r2        1470
21        32340        r2        1470
23        32340        r1        1470
24        32340        r2        1470
26        32340        r1        1470
28        32340        r2        1470
31        32340        r2        1470
8        3234        r5        147
9        3234        r5        147
20        3234        r5        147
22        3234        r4        147
25        3234        r4        147
27        3234        r5        147
29        3234        r5        147
32        3234        r4        147
3        528        r5        24
6        528        r2        24
7        528        r4        24
11        528        r5        24
12        528        r4        24
13        528        r5        24
15        528        r4        24
16        528        r3        24
17        528        r5        24
18        528        r5        24
30        528        r1        24

对于2^29-1，若将r1=4换成r1=3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14的循环节长较多，有的还不是28的整数，当r1=1--32时循环节长分别为：                       
r1        循环节长        循环开始        循环节/28
19        13860        ——        495
30        13860        ——        495
31        13860        ——        495
16        2772        ——        99
20        1980        ——        70.71428571
26        1980        ——        70.71428571
29        1980        ——        70.71428571
17        1260        ——        45
24        1260        ——        45
25        1260        ——        45
8        924        r5        33
11        924        r5        33
12        924        r2        33
13        924        r2        33
15        924        ——        33
21        924        ——        33
22        924        ——        33
32        924        ——        33
5        660        r5        23.57142857
23        660        ——        23.57142857
4        252        r2        9
6        252        r3        9
9        252        r4        9
10        252        r2        9
14        252        r1        9
27        252        ——        9
28        252        ——        9
3        84        r5        3
7        84        r4        3
18        84        ——        3

yangchuanju

25        p=25的循环节结构较简单，循环节长不是很大——               
r        循环节长        循环开始       
3        60        r3=47       
4        60        r6=25732079       
5        420        r5=24204089       
6        60        r3=1154       
7        60        r2=47       
8        60        r4=14760962       
9        520        r6=12539843       
10        60        r6=3076070       
11        520        r7=2067144       
12        420        r2=142       
13        2184        r2=167       
14        60        r5=25732079       
15        2184        r2=223       
16        420        r2=254       
17        546        r5=13349873       
18        20        53=103682       
19        60        r4=353294       
20        546        r6=3874630       
21        420        r6=25580334       
22        60        r6=12481873       
23        420        r4=24204089       
24        140        r4=4532389       
25        520        r3=388127       
26        210        r5=3213245       
27        728        r6=30398819       
28        520        r3=611522       
29        2184        r2=839       
30        210        r3=806402       
31        60        r4=2920822       
32        420        r2=1022       

27        p=27时的循环节结构复杂，循环节长要么是9，要么非常大——       
r1        循环节长       
3        537210        r4=2207
4        9        r7
5        537210        r2=23另1套循环节
6        9        r8
7        537210        r3=2207同3
8        107442        r2=62
9        9        r10
10        9        r7
11        537210        r5=66259552同5
12        9        r10
13        9        r10
14        9        r6
15        9        r10
16        >200000       
17        >200000       
18        >200000       
19        9        r10
20        >200000       
21        29845       
22        >200000       
23        >200000       
24        9       
25        89535       
26        107442       
27        18       
28        3        r10
29        18       
30        >200000       
31        89535       
32        9        r10
>20000的循环节长很可能都是537210               

31        p=31的循环节结构比较简单——       
r1        循环节长        循环开始
3                r30=0
4                r30=0
5        30        r2=23
6        30        r1=6
7                r29=0
8        30        r2=62
9        30        r2=79
10                r30=0
11        30        r1=11
12        30        r2=142
13                r28=0
14                r29=0
15        30        r1=15
16                r28=0
17        30        r1=17
18                r30=0
19        30        r1=19
20                r30=0
21        30        r1=21
22        30        r=482
23        30        r1=23
24                r29=0
25                r30=0
26        30        r2=674
27        30        r1=27
28        30        r1=28
29        30        r2=839
30                r29=0
31        30        r1=31
32        30        r1=32
33                r29=0
34        30        r1=34,r30=6
35        30        r1=35

yangchuanju

25        p=25的循环节结构较简单，循环节长不是很大——               
r        循环节长        循环开始       
3        60        r3=47       
4        60        r6=25732079       
5        420        r5=24204089       
6        60        r3=1154       
7        60        r2=47       
8        60        r4=14760962       
9        520        r6=12539843       
10        60        r6=3076070       
11        520        r7=2067144       
12        420        r2=142       
13        2184        r2=167       
14        60        r5=25732079       
15        2184        r2=223       
16        420        r2=254       
17        546        r5=13349873       
18        20        53=103682       
19        60        r4=353294       
20        546        r6=3874630       
21        420        r6=25580334       
22        60        r6=12481873       
23        420        r4=24204089       
24        140        r4=4532389       
25        520        r3=388127       
26        210        r5=3213245       
27        728        r6=30398819       
28        520        r3=611522       
29        2184        r2=839       
30        210        r3=806402       
31        60        r4=2920822       
32        420        r2=1022       

27        p=27时的循环节结构复杂，循环节长要么是9，要么非常大——       
r1        循环节长       
3        537210        r4=2207
4        9        r7
5        537210        r2=23另1套循环节
6        9        r8
7        537210        r3=2207同3
8        107442        r2=62
9        9        r10
10        9        r7
11        537210        r5=66259552同5
12        9        r10
13        9        r10
14        9        r6
15        9        r10
16        >200000       
17        >200000       
18        >200000       
19        9        r10
20        >200000       
21        29845       
22        >200000       
23        >200000       
24        9       
25        89535       
26        107442       
27        18       
28        3        r10
29        18       
30        >200000       
31        89535       
32        9        r10
>20000的循环节长很可能都是537210               

31        p=31的循环节结构比较简单——       
r1        循环节长        循环开始
3                r30=0
4                r30=0
5        30        r2=23
6        30        r1=6
7                r29=0
8        30        r2=62
9        30        r2=79
10                r30=0
11        30        r1=11
12        30        r2=142
13                r28=0
14                r29=0
15        30        r1=15
16                r28=0
17        30        r1=17
18                r30=0
19        30        r1=19
20                r30=0
21        30        r1=21
22        30        r=482
23        30        r1=23
24                r29=0
25                r30=0
26        30        r2=674
27        30        r1=27
28        30        r1=28
29        30        r2=839
30                r29=0
31        30        r1=31
32        30        r1=32
33                r29=0
34        30        r1=34,r30=6
35        30        r1=35